林友通

摘 要：本文對2013年福建省泉州市中考數(shù)學(xué)第25題試題的命制從考點(diǎn)分析及其思想方法的體現(xiàn)，解題思路的分析，題目的拓展延伸及變式分析，反思及感悟等幾個方面做深入探討.

關(guān)鍵詞：泉州；中考；考題命制；探究

2013年福建省泉州市中考數(shù)學(xué)第25題是綜合性較強(qiáng)的試題，值得我們深入探究。下面就題目的考點(diǎn)分析及其思想方法的體現(xiàn)，解題思路的分析，題目的拓展延伸及變式分析，反思及感悟等方面做探討.

一、考題內(nèi)容

如圖1，直線y=

-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使∠APO=30°；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：

當(dāng)BC在不同位置時，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個數(shù)有幾個？若改變，指出點(diǎn)P的個數(shù)情況，并簡要說明理由.

二、考題分析

考題分析如表1：

三、解題思路

題（1）分析：求角的值，已知一些線段的長度，一般可考慮利用求該角的三角函數(shù)值.由條件可得B（2，0），C（0，2■）

則OB=2，OC=2■

于是在Rt△COB中tan∠ABC=■=■=■，

∴∠ABC=60° .

題（2）分析：（解法一）如圖2，利用特殊三角形的性質(zhì)，本小題注意到△ABC為等邊三角形，易得∠ACO=30°，即C是所求的一點(diǎn)P，另注意到邊BC的中點(diǎn)P，由等邊三角形ABC可得∠APB=90°，且O為AB中點(diǎn)，故得OB=OP，∠OPB=∠ABC=60°，所以∠APO=∠APB-∠OPB=30°.

（解法二）如圖3，利用解法一知∠ACO=30° . 以AC為直徑作圓，與直線BC的兩個交點(diǎn)即滿足題目條件的點(diǎn)P.

題（3）分析：以AO為弦，且所對圓心角為60°的圓有兩個（⊙Q和⊙Q′），直線BC與兩圓的公共點(diǎn)P都滿足∠APO=■∠AQO=■∠AQ′O=30°.當(dāng)BC在不同位置時，滿足P的個數(shù)情況有五種.即當(dāng)BC在不同位置時，點(diǎn)P的個數(shù)會發(fā)生改變，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)情況有五種：1個、2個、3個、4個、0個.（如圖4）

四、拓伸變式

拓變一：條件拓變，結(jié)論不變.

變式1：如圖5，直線y=-x+2分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使∠APO=30°；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：

當(dāng)BC在不同位置時，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個數(shù)有幾個？若改變，指出點(diǎn)P的個數(shù)情況，并簡要說明理由.

變式2：如圖6，直線 y=-■x+■■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).

（1）求∠ABC的大??；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使∠APO=30°；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：

當(dāng)BC在不同位置時，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個數(shù)有幾個？若改變，指出點(diǎn)P的個數(shù)情況，并簡要說明理由.

變式3：如圖7，直線y=kx-2k（k<0）分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使∠APO=30°；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：

當(dāng)BC在不同位置時，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個數(shù)有幾個？若改變，指出點(diǎn)P的個數(shù)情況，并簡要說明理由.

說明：變式1-3運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法來變式命題.

拓變二：條件不變，結(jié)論拓變.

變式1：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).求線段AP的最小值.

變式2：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).試問是否存在點(diǎn)P，使得△AOP周長最短.若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

說明：變式1-2從數(shù)學(xué)中常見的求最值問題方面來變式命題.

變式3：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).試問是否存在點(diǎn)P，以A、P、B為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似.若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

變式4：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).試問是否存在點(diǎn)P，以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似.若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

說明：變式3-4從數(shù)學(xué)中相似三角形的綜合應(yīng)用方面來變式命題.

變式5：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).試問是否存在點(diǎn)P，使得S△AOP=S△OBC .若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

變式6：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn) . 試問是否存在點(diǎn)P，使得S△AOP=S△ABC .若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

說明：變式5-6體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中面積應(yīng)用問題的變式命題.

拓變?nèi)涸鎏項(xiàng)l件，拓展延伸.

變式1：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的點(diǎn).若以A為圓心，以AP為半徑的圓與直線BC相切，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

變式2：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的點(diǎn). 若以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑的圓與直線BC相切，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

變式3：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，P是直線BC上的點(diǎn).若以P為圓心，以為半徑的圓與兩坐標(biāo)軸均相切，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

變式4：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動點(diǎn).試問是否存在點(diǎn)P，以P為圓心，以r為半徑的圓P，與以A為圓心，以AO為半徑的圓A相切，且與橫軸也相切.若存在，請求出r值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

說明：變式1-4從直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用來進(jìn)行變式命題.

五、反思感悟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對數(shù)學(xué)評價提出了明確建議：“在設(shè)計試題時，應(yīng)該關(guān)注并且體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的設(shè)計思路中提出的幾個核心詞：數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念.”“根據(jù)評價的目的合理地設(shè)計試題的類型，有效地發(fā)揮各種類型題目的功能.例如，為考查學(xué)生從具體情境中獲取信息的能力，可以設(shè)計閱讀分析的問題；為考查學(xué)生的探究能力，可以設(shè)計探索規(guī)律的問題；為考查學(xué)生解決問題的能力，可以設(shè)計具有實(shí)際背景的問題；為了考查學(xué)生的創(chuàng)造能力，可以設(shè)計開放性問題.”為今后數(shù)學(xué)中考命題指明了方向.總之，中考試題要體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的課程理念，要有利于改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)、提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，有效地評價學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況.在基礎(chǔ)知識與基本技能的考查方面，避免簡單的記憶，注重真正的理解，避免重復(fù)的訓(xùn)練，注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，命題應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)與社會實(shí)際和學(xué)生生活的聯(lián)系，注重考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的真正理解與掌握情況，特別是在具體情境中合理運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力，在基本思想與基本活動經(jīng)驗(yàn)的考查方面，突出創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識，重視歸納能力的考查.要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更要關(guān)注他們在數(shù)學(xué)活動中所呈現(xiàn)出的基本活動經(jīng)驗(yàn)，突出評價的創(chuàng)新性、創(chuàng)造性.