作者簡介：丘成桐，著名華裔數(shù)學(xué)家，哈佛大學(xué)終身教授、美國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院外籍院士及多個國家科學(xué)院的外籍院士。曾獲得數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)菲爾茲獎、有數(shù)學(xué)家終身成就獎之稱的以色列沃爾夫數(shù)學(xué)獎、瑞典皇家科學(xué)院克拉福德獎等數(shù)學(xué)界頂級榮譽(yù)。

幾何起源：畢達(dá)哥拉斯-柏拉圖-歐幾里得-傅里葉

“數(shù)學(xué)跟大自然一祥廣泛、豐富，和大勻然走的是相同的軌道，也共同見證著宇宙的包容、簡潔、穩(wěn)定”。

今天很高興在這邊做這個演講。我對文學(xué)、人文科學(xué)其實都不是很懂，都是自學(xué)，所以講人文方面都是班門弄斧，希望你們能夠原諒。今天講的幾何學(xué)倒是我的專長。我研究幾何學(xué)45年，對幾何一直都是很喜歡，我的數(shù)學(xué)就是從幾何學(xué)來，以后更應(yīng)用到很多方面。

現(xiàn)在我們來講幾何的起源。幾何起源很老，基本上有4000年的歷史。古代人在生活實踐中發(fā)現(xiàn)了很多簡單的幾何圖形。發(fā)覺它們滿足了一定的規(guī)律——簡潔、明了，具有一種美感。于是他們開始研究幾何，這種美感令人贊嘆。幾何圖形，在埃及、巴比倫都有很多論述，但這些論述都不是系統(tǒng)化的。

泰勒斯

到公元前68年。幾何學(xué)在希臘文明中才得到明確的推崇。第一位對幾何有興趣的希臘哲學(xué)家叫泰勒斯，他開始曉得不能夠用神秘宗教來解釋自然。要創(chuàng)造一個演繹的方法，利用邏輯的思想來統(tǒng)一自然界與幾何的現(xiàn)象。這是一個很大的突破，以前哪個國家的文化都沒有這種想法。

畢達(dá)哥拉斯

他的學(xué)生畢達(dá)哥拉斯采取了定理證明的概念，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派很重要，影響了整個西方的科學(xué)思想，這里不是一個人，是一群數(shù)學(xué)家。他們認(rèn)為宇宙的實體有兩個：一個是數(shù)字，萬物都是數(shù)字，數(shù)的存在是有限方面的實體；一個是無限的空間，空間是存在的無限的實體。數(shù)字跟空間合在一起，生出宇宙萬象。這個概念一路影響到今天，不僅僅是幾何本身，早在16世紀(jì)發(fā)展解析幾何的時候，就用到坐標(biāo)系統(tǒng)、用到數(shù)字來描述，到現(xiàn)在計算機(jī)能夠用數(shù)字來描述，世界上一切東西都跟這個有關(guān)；而我們看到物體的分布影響到空間幾何，也受到空間幾何的影響，這個概念也是近代物理愛因斯坦推崇的主要概念。

柏拉圖的三個著名幾何問題

第三個重要的人物是柏拉圖，他是一位哲學(xué)家也是數(shù)學(xué)家。他在雅典郊外成立了一個很出名的學(xué)院叫Academy（也稱柏拉圖學(xué)園），相傳他的文章講“不懂幾何學(xué)者，不能進(jìn)這個學(xué)園的門”，可見柏拉圖在希臘學(xué)界多么重視幾何學(xué)。這種理念也影響了西方科學(xué)相當(dāng)長的時間。柏拉圖雖是哲學(xué)家，但他對數(shù)學(xué)有很濃厚的興趣。他認(rèn)為幾何在三維空間里只有五個正多面體，跟二維空間不一樣。這個命題在歐幾里得的《幾何原本》中被證明。

柏拉圖提出了三個著名的幾何問題：三等分一角；構(gòu)造正方形與單位圓同面積；構(gòu)造立方體，其體積是單位立方體的兩倍。我希望你們在中學(xué)學(xué)過這三個問題，這三個問題影響數(shù)學(xué)界差不多2000多年，第三個問題在中國、印度亦出現(xiàn)過。如果容許用復(fù)雜的機(jī)械來解決這三個問題，古代數(shù)學(xué)家早已找到答案，但柏拉圖堅持我們用最單純的幾何方法，即只靠圓規(guī)和直尺來構(gòu)造，也因此這三個問題影響了很久。

第三個問題又叫Delos問題，傳說Delos城的居民為了解除太陽神阿波羅降給他們的瘟疫，向智慧女神神廟的祭司求救，祭祀要求他們做一個立方體。它的體積要剛巧是阿波羅祭壇立方體的一倍。他們不懂得怎么解決，只好向柏拉圖請教。這個問題有很久的歷史，可能是蠻有興趣的一個傳說。

伽羅華群論

柏拉圖提出的這三個幾何問題直到19世紀(jì)伽羅華理論出現(xiàn)后，才得到完滿的解決。伽羅華是位年輕數(shù)學(xué)家，21歲就去世了，他解決這個問題的時候才20歲，留下了很多重要手稿。他的方法中用到一個很重要的概念叫群論。用群論解決了這三個問題。他們發(fā)現(xiàn)這些問題跟用圓規(guī)與直尺構(gòu)造的數(shù)字有密切關(guān)系。他們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字必須滿足一些以整數(shù)位系數(shù)多項式方程式。然而，假如用圓規(guī)與直尺來做的話，這三個問題所產(chǎn)生的數(shù)字并不能滿足這些方程，因此，這些古典問題是不能用圓規(guī)和直尺來解決的。

這三個很古老的問題，直到19世紀(jì)用相當(dāng)高深的數(shù)學(xué)才能完滿地解決。這三個問題只不過是好奇，可是解決它們的方法卻影響到近代數(shù)學(xué)與近代科學(xué)的發(fā)展。伽羅華群論成為20世紀(jì)、21世紀(jì)最重要的理論之一。

歐幾里得五條公理

歐幾里得是柏拉圖之后幾何學(xué)的集大成者。他由五條公理推到大量有趣的命題，實開千古科學(xué)演繹法之先河，直接影響到以后牛頓力學(xué)體系。牛頓利用三個基本定律來推導(dǎo)天體的運(yùn)行，其中邏輯運(yùn)用之妙。無與倫比。

邏輯運(yùn)用，是很重要的事情，這也是整個中國科學(xué)發(fā)展缺少的一部分，西方從希臘數(shù)學(xué)家就開始了。歐幾里得其實用了柏拉圖的學(xué)生亞里士多德發(fā)明的三段論證法。三段論證有大前提、小前提、結(jié)論。看起來簡單，可是學(xué)生很少明白，中國的科學(xué)也很少用。

歐幾里得就是通過歸納法。發(fā)現(xiàn)平面幾何上有五條顯而易見的性質(zhì)。舉例來講，兩點可以用一條直線連起來等種種不同方法，歸納出五條公理，并根據(jù)這個公理推導(dǎo)出平面幾何所有的定理。這是一個漂亮偉大的貢獻(xiàn)。

第5條公理叫平行公理，在直線外任何一點，必有唯一的直線通過這點而不與原來的直線相交，就是一個平行線。我們都學(xué)過這個公理，很多人現(xiàn)在認(rèn)為可以接受?？墒遣畈欢嘤?0世紀(jì)。哲學(xué)家都不大愿意接受這條公理，他們企圖用其他四條公理去證明。都沒有辦法成功。到19世紀(jì)初期，算術(shù)幾何的面世，才發(fā)現(xiàn)平行公理是不能用其他四條公理證明的。

高斯、黎曼、傅里葉

因此，我們又產(chǎn)生了一個新的幾何——算術(shù)幾何。算術(shù)幾何跟平面幾何不大一樣。平行公理最重要的是影響到算術(shù)幾何的誕生，也影響到幾何學(xué)對空間觀念的完全改變。

算術(shù)幾何以后，通過兩個偉大的幾何學(xué)家——高斯與黎曼，對空間的觀念開始完全改變?？臻g不再是歐式幾何那樣簡單的一個空間，而是能夠變動、能夠影響我們天天看到的物理現(xiàn)象有關(guān)的空間。由于平行公理的變化，從平行移動的觀念引出了內(nèi)對稱的觀念。進(jìn)而影響到高等物理粒子的變化。內(nèi)對稱主宰一切已知粒子的變化，著名的物理學(xué)家楊振寧先生的理論就是要從內(nèi)對稱演繹的。近代數(shù)學(xué)開始影響近代物理學(xué)的發(fā)展。

19世紀(jì)偉大的法國數(shù)學(xué)家傅里葉，他講數(shù)學(xué)可以用來決定最一般的規(guī)律。同時也可以量度時間、空間、溫度，所以他講數(shù)學(xué)跟大自然一樣廣泛、豐富，和大自然走的是相同的軌道，也共同見證著宇宙的包容、簡潔、穩(wěn)定。

以簡制繁的觀念也影響到藝術(shù)的發(fā)展。大部分學(xué)者認(rèn)為統(tǒng)御自然界的共通原理必須簡潔，從牛頓、到愛因斯坦、到笛卡爾、到楊振寧，都是這樣的看法。所以，描述自然界的繪畫，或者表露心靈與自然界交接的詩篇與頌詞亦必如此。這種觀念，我認(rèn)為起源于希臘的基本精神。幾何之源——古希臘“調(diào)和”之精神

調(diào)和的思想貫穿了古代數(shù)學(xué)到近代欺學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)的美，使我們與大自然更為接近，大自然的姜開闊了我們的胸襟，加深了我們的視野。

下面講講古希臘人的精神，也是從我父親的一本書里所引。英國一個出名的作者叫狄更遜，在其所著《希臘人的人生觀》中說：調(diào)和喲！就在這一詞的意義上，我們可以解說希臘文明的主要觀念。

希臘人視美與善、身與心、個人與國家、神與人為調(diào)和統(tǒng)一的。

1.美與善之調(diào)和

柏拉圖在《理想國》中講：“美術(shù)家能洞鑒美與善之真性，發(fā)揮之于技術(shù)，使吾伎之青年，身之所居，目之所見，耳之所聞，無一而非善，而善之真際，即同時流露于其身目，有如清風(fēng)之來自蓬萊，人之靈魂與同情之美，于不知不覺之間?！?/p>

2.身與心之調(diào)和

希臘大政治家伯里克理斯講：“我們是美之愛好者，但我們的趣味是淡雅的，我們陶冶心靈，但我們也不失卻丈夫氣?！?/p>

柏拉圖在《理想國》中以體育和音樂為教育之基。前者是養(yǎng)身，后者是修心，可見注重身心調(diào)和。

3.個人與國家的調(diào)和

亞里士多德說：“國家系相同的人們，求達(dá)可能的最善生活的一種組合?！彼韵ＥD人絕不能逃避對國家應(yīng)盡的義務(wù)，但也要個人的自由，個人與國家在一定分限上調(diào)和無間。

4.神與人的調(diào)和

希臘人認(rèn)為神是美麗而人性的生物。男神是雄偉的美男子，女神是純潔的美女子。你可以講它是宗教，其實不是宗教，這是希臘人的理想，假借眾神來表現(xiàn)。

調(diào)和的思想貫穿了古代數(shù)學(xué)到近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)的美，使我們與大自然更為接近，大自然的美開闊了我們的胸襟，加深了我們的視野。也正由于這個原因。從宇宙的起源、星球的運(yùn)行、原子的結(jié)構(gòu)。一直到山水人物的繪畫都有許多幾何學(xué)家參與其中，進(jìn)行研究，作出了基本的貢獻(xiàn)。

遠(yuǎn)古的時候，無論埃及人、巴比倫人、印度人和中國人都對歷法有濃厚的興趣。這些關(guān)于星體運(yùn)行的學(xué)問，自然牽涉到幾何學(xué)。事實上。古希臘人早已知道如何量度地球的半徑和地球到太陽的距離。

古代中國人對地圖的制作有重要貢獻(xiàn)。劉安在《淮南子》中也討論了如何計算地日的距離，可見古人一方面好奇，一方面由實際需要來發(fā)展幾何，傳說中國同余定理的發(fā)現(xiàn)始于歷法的計算。

而希臘天文學(xué)家西帕恰斯發(fā)明正弦的概念來測量星體的運(yùn)行；托勒密則造弦表，以后阿拉伯和印度數(shù)學(xué)家將三角發(fā)展出來，可見天文學(xué)對數(shù)學(xué)的影響。

現(xiàn)在回頭再講數(shù)學(xué)、幾何學(xué)，從古希臘想法發(fā)展出來的結(jié)果，對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來講，萬物皆數(shù)，第一個他發(fā)現(xiàn)音樂可以用數(shù)字來解釋，這個學(xué)問表面上跟幾何學(xué)毫無關(guān)系，但到19世紀(jì)，傅里葉對波動力學(xué)開始研究后，譜分析逐漸在幾何學(xué)生根，任何一個圖形都有它的譜，這些譜的研究已經(jīng)成為幾何學(xué)的主流。

是怎么產(chǎn)生的呢？舉一個例子來講。我們設(shè)想幾何圖形由一片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何幾何圖形做成的鼓，擊打這個鼓，會發(fā)出不同的聲音，這個聲音用譜來分析，可以推測鼓的形狀，這是一個重要的問題。也可以看出幾何與音樂的關(guān)系，從幾何圖形產(chǎn)生的音樂，我們可以推導(dǎo)出幾何圖形是怎樣的。

音樂的美由耳朵來感受。幾何的美由眼睛來感受。美麗的音樂與圖形都有調(diào)和的意義，這是剛才希臘人的調(diào)和之意。這種調(diào)和的意思可以用數(shù)學(xué)來定義，舉個例子，我們固定兩端的琴弦，彈奏時會形成很多不同的波，這些波由基本的正弦函數(shù)組成，這是個很漂亮的函數(shù)，有調(diào)和的意思在里邊。

什么叫調(diào)和函數(shù)？它定義于空間，并滿足于一個重要性質(zhì)，即它在每個點上的值等于它在環(huán)繞這點上球的平均值。這些函數(shù)有著“中道”的性質(zhì)，這與希臘哲學(xué)中所追求的中道和儒家的中庸有著共同的意思。

函數(shù)跟我們講的基本波有很多共同的東西。擊鼓時，鼓的振動由基本波組成，這些基本波的描述與上述的調(diào)和函數(shù)極為相似，也許這就是音樂和美術(shù)有共通之處的原因。

有趣的是，這些基本波都有物理意義。這些波都有能量，在一定的條件下，音樂的基本波具有最少的能量。這是物理和幾何學(xué)中基本的原則：物質(zhì)的狀態(tài)。總是在具有最低能量時最穩(wěn)定。這是個基本的看法，影響了物理學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)幾百年。

我們喜歡最低能量的狀態(tài)，正如一般人所講“水向低流”，因為向下流它的位能是最低的。在社會給定的條件下，人的欲望達(dá)到最低時可說是“至善”的一個判斷防范，所以清心寡欲是一個調(diào)和的概念，因此美與善可以調(diào)和，數(shù)學(xué)家喜歡平靜與天真。我的老師陳省身如此，20世紀(jì)偉大的法國幾何學(xué)家E.carton也說：“在聽數(shù)學(xué)大師演說數(shù)學(xué)時。我感到一片平靜和純真的喜悅。這種感覺大概就如貝多芬在作曲時讓音樂在他靈魂深處表現(xiàn)出來一樣?！?/p>

幾何學(xué)里還有一個重要的概念就是對稱，對稱的概念影響了數(shù)學(xué)幾百年，也影響到整個物理學(xué)界幾百年。對稱是調(diào)和觀念的另一種表現(xiàn)，希臘人喜歡柏拉圖多面體，就是因為他們具有極好的對稱性，他們甚至將其與宇宙的五個元素聯(lián)系起來：火——正四面體；土——正六面體；氣——正八面體；水——正十二面體；正十二面體代表第五元素。是宇宙的基本要素。

這種解釋大自然的方法雖然并不成功。但是對稱的觀念卻由始至終地左右著物理學(xué)的發(fā)展，并終于演化成群的觀念，對稱群成為現(xiàn)代幾何與現(xiàn)代物理的支柱。

近30年來，所謂鏡對稱的概念出現(xiàn)在描述宇宙結(jié)構(gòu)的弦論中，至大的空間和至小的空間，至強(qiáng)的理論與至弱的理論有著相同的結(jié)構(gòu)。在對偶理論里，大的空間跟最小的空間，是對偶，互相影響對方；強(qiáng)的理論跟弱的理論也有相同的對偶性，這是一個很奇怪的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)上是可以證明的，只是到目前為止還沒辦法證明。假如弦論能由試驗證明。道家的陰陽或可由數(shù)學(xué)觀念來解釋。

古希臘人崇拜雄偉的男神與美麗的女神，也可以看做是剛?cè)岬膶ε?，剛?cè)峄?jì)，發(fā)展出來的幾何學(xué)也是多姿多彩的。文藝復(fù)興的時候，很多藝術(shù)家想將景物有深度感覺地表現(xiàn)在畫布上，他們發(fā)覺這個問題與射影幾何有很重要的關(guān)系。

布魯涅內(nèi)斯基得到一些成果，在研究透視學(xué)上，非阿爾貝蒂寫了兩本書，研究不同的屏幕映像的關(guān)系。圓錐截痕跟對偶原則得到更深入的研究，由此可見繪畫藝術(shù)對幾何的影響。

投影幾何對整個數(shù)學(xué)有很大的影響。奧斯幾何跟很多幾何研究距離、長度的問題，到了投影幾何，我們不研究距離，因為將一個三維的圖投射到二維花布上時，量不出其長度，而開始研究線和線的相交或線和面的相交，對偶觀念由此產(chǎn)生。投影幾何在十九世紀(jì)成為主流的學(xué)問。

普林斯頓高等研究所。我曾經(jīng)在那里教過5年書，愛因斯坦也曾在那里工作過30年。它的徽章是真和美，左手是裸體的女神，右手邊是穿著衣服的女神。“真”是一個赤裸裸的女神；“美”是漂亮的、穿著衣服的女神。無論文學(xué)家、美術(shù)家、音樂家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家都在不斷發(fā)掘美的意義，和如何去表達(dá)大自然眾生誘導(dǎo)出的美，這是很重要的事情。

用崇高的思想學(xué)習(xí)真美

未經(jīng)烈火的煎熬，沒有辦法完成大學(xué)問。

現(xiàn)在我來談?wù)勼w育，無論希臘哲學(xué)也好，儒家哲學(xué)也好，都很注重體魄的訓(xùn)練。亞里士多德認(rèn)為希臘人要有超卓的意志，意旨希臘人昂昂然若千里之駒，自視甚尊，憐人而不為人憐，奴人而不為人奴。正如孟子所謂“富貴不能淫，貧賤不能移。威武不能屈”。

其實任何有深度的學(xué)問都有其本質(zhì)所在，數(shù)千年累積下來的學(xué)問就是我們的體魄，沒有這個實質(zhì)，就沒有辦法創(chuàng)新，就沒有辦法尋找新的空間，就沒有辦法離開古人的范疇。這是我自己的看法。很多人講，做數(shù)學(xué)是一個天才的活動，可是數(shù)千年來，偉大的天才數(shù)學(xué)家至少有兩三百，他們累積下來的學(xué)問是很有意義的，我們不能夠超越他們，因為我們的腦袋不大可能超越幾百個天才累積下來的經(jīng)驗，所以我們一定要想辦法了解前人的思想，才能夠向前走，才能夠昌盛。我們能夠培養(yǎng)我們的美，也一定要有學(xué)習(xí)的能力，能夠?qū)W習(xí)前人做過的事情。

所以屈原說，紛吾既有此內(nèi)美兮。又重之以修能。

賈誼說，夫天地為爐兮，造化為工；陰陽為炭兮，萬物為銅。

未經(jīng)烈火的煎熬。沒有辦法完成大學(xué)問。

我們很多同學(xué)以為自己是天才。以為自己很有本領(lǐng)，不用念書，不用看書，就能夠完成很好的學(xué)問。你可能考試比人家好，可是要做大學(xué)問是不可能的事。我們看了很多大學(xué)生，到了做研究生的時候，遇到很大的問題，就是因為他沒有好好學(xué)，自以為是天才。

我在國外40多年，接觸了很多偉大的數(shù)學(xué)家，偉大的物理學(xué)家，我不認(rèn)為有任何一個是天才，他們都是經(jīng)過很大的努力才完成的工作。

縱觀古今。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家主要貢獻(xiàn)都在年輕時代，這與年輕人有良好的體魄有關(guān)。有了良好的體魄。在解決問題的時候，才能夠集中精神，尤其是你們這個年紀(jì)，才能夠做大的學(xué)問，因為有良好的體力，能夠持久集中精力解決問題。

我解決的很多相當(dāng)重要的問題，往往是經(jīng)過5到10年才能夠完成，假如沒有辦法集中精神。是沒有辦法解決的。要經(jīng)得起這樣的煎熬，一定要有好的體力，也必須要有濃厚的熱情。正如《荷馬史詩》里所描述的英雄，不怕艱苦，勇往直前；如玄奘西行，有著無比的毅力，能夠大漠獨(dú)自堅持一個多月：這都是靠無比的毅力和無比的熱情，才能夠完成的大事業(yè)。

希臘學(xué)問極盛時代，一般學(xué)者都有充分的時間去思考、去辯論。政府與學(xué)者也有極好的調(diào)和精神，學(xué)者能夠以自由的意志、獨(dú)立的精神去追求自己的理想。歷史上在窮困中掙扎能否成功的，畢竟是極少數(shù)。

所以，曹丕典論論文：“貧賤則懾于饑寒，富貴則流于逸樂，遂營目前之務(wù)，而遺千載之功。”何時我們才能不受生活的影響，在學(xué)問的領(lǐng)域里成為雄偉的丈夫、潔美的女神？

我父親的書上有一句《文心雕龍》里的一句話：“嗟夫！身與時舛，志共道申，標(biāo)心于萬古之上，而送懷于千載之下。”

今天講這些，就是希望我們年輕人能夠有崇高的思想來學(xué)習(xí)美真的想法。

摘自鳳凰《大學(xué)問》