楊正理

（三江學(xué)院，江蘇　南京　210012）

正弦量的相量變換方法定義與研究

楊正理

（三江學(xué)院，江蘇南京210012）

摘要：正弦量信號表示為相量的實(shí)質(zhì)是一種時(shí)域到復(fù)頻域的變換關(guān)系，但各種教科書及文獻(xiàn)并沒有對這種變換關(guān)系進(jìn)行嚴(yán)格的變換定義，而只有“表示”方法，因而在應(yīng)用中帶來諸多不便。提出了一種正弦量與相量的數(shù)學(xué)變換方法即相量變換法，運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程證明了這種變換關(guān)系的正確性與唯一性，并對其各種性質(zhì)進(jìn)行了討論，分析了這種相量變換法在應(yīng)用中的便利性，具有較大的推廣價(jià)值。

關(guān)鍵詞：正弦穩(wěn)態(tài)電路；相量法；相量變換法

1　引言

在分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，將正弦信號“表示”為相量（該方法通常稱為相量法），就可以采用各種線性電路的定理來分析和求解正弦電路。從數(shù)學(xué)上的觀點(diǎn)來看，正弦量是信號的時(shí)域表示方法，而相量是信號的復(fù)頻域表示方法。所以，當(dāng)采用正弦量用相量“表示”或?qū)⑾嗔俊斑€原”成正弦量的思路，體現(xiàn)了信號在時(shí)域與復(fù)頻域之間的變換關(guān)系，是信號在兩種域之間的變換與反變換的關(guān)系。這種很明顯的變換理論，國內(nèi)外的教科書及文獻(xiàn)均沒有明確的理論支持和定義，而只說明了正弦量與相量之間僅存在著一種“表示”關(guān)系。因缺少相應(yīng)的系統(tǒng)理論說明，因而往往會(huì)影響讀者的理解，在分析和解決問題的過程中錯(cuò)誤以為兩種表示法是同一個(gè)概念，難以體會(huì)兩個(gè)域之間的明顯區(qū)別，產(chǎn)生誤解甚至錯(cuò)誤。而且由于正弦量既可以用sin函數(shù)形式表示，又可以用cos函數(shù)形式表示，用相量法表示為相量時(shí)其形式不同，在應(yīng)用時(shí)不小心更容易得到錯(cuò)誤的結(jié)論。

本文明確對正弦量與相量之間的這種變換關(guān)系，提出了完整的理論支持，并稱其為相量變換法。將正弦量和相量在時(shí)域和頻域的這種變換和反變換的關(guān)系建立在嚴(yán)密數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，并運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程證明了這種變換關(guān)系的正確性與唯一性。并對其各種性質(zhì)進(jìn)行了討論，分析了這種相量變換法在應(yīng)用中的便利性，具有較大的推廣價(jià)值。

2　相量變換法

2.1定義

設(shè)有正弦函數(shù)想x（t），x（t）既可以是sin函數(shù)形式，又可以是cos函數(shù)形式，其相量變換均可定義為

2.2相量變換法的證明

由于正弦量有兩種函數(shù)形式表示，須分兩種情況進(jìn)行證明。

2.2.1用 函數(shù)形式表示正弦量時(shí)的相量變換法證明

先證明相量變換，當(dāng)用 函數(shù)形式表示正弦量時(shí)，如

將上式及x（t）代入式（1），得

2.2.2用 函數(shù)形式表示正弦量時(shí)的相量變換法證明

先證明相量變換，當(dāng)用cos函數(shù)形式表示正弦量時(shí)，如

3　相量主要性質(zhì)討論

正弦量乘以常數(shù)，正弦量的微分、積分及同頻正弦量的代數(shù)和，結(jié)果仍為同頻的正弦量，這是正弦量的基本性質(zhì)。下面采用相量變換法將正弦量的這些基本性質(zhì)轉(zhuǎn)換為相對應(yīng)的相量運(yùn)算。

3.1線性

式中，a，b為常數(shù)。

證明如下，

3.2時(shí)移（延時(shí)）性

證明如下，

3.3微分性

3.4積分性

4　相量變換法在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)勢

（1）由相量變換法定義知，用sin函數(shù)形式表示的正弦量其相量變換結(jié)果為：當(dāng)用cos函數(shù)形式表示正弦量時(shí)，其相量變換的結(jié)果為：；兩種不同函數(shù)表示形式的正弦量采用相量變換法所得到的結(jié)果雖然不同，但因?yàn)閮煞N變換結(jié)果均由同一數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程得到，雖然應(yīng)用時(shí)增加了一定的繁瑣程度，但卻不容易混淆。一如兩種不同函數(shù)表示形式的正弦量具有不同的拉氏變換結(jié)果一樣，各自具有其對應(yīng)的結(jié)果。

（2）當(dāng)一個(gè)正弦量中既有sin函數(shù)形式，也有cos函數(shù)形式時(shí)，應(yīng)用相量法表示其相量時(shí)需首先對正弦量的函數(shù)表示形式進(jìn)行統(tǒng)一。而當(dāng)用本文所提到的相量變換法將正弦量變換成相量時(shí)，則不要求首先對正弦量的函數(shù)表示形式進(jìn)行統(tǒng)一，而且當(dāng)?shù)玫诫娐讽憫?yīng)結(jié)果后，再對響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行反變換時(shí)，所得到的正弦量則自動(dòng)統(tǒng)一為同一類型函數(shù)表示形式。這是相量變換法的一個(gè)神奇之處。

（3）嚴(yán)格區(qū)分正弦量的兩種函數(shù)表達(dá)形式，并區(qū)分其在頻域的不同變換結(jié)果，作者認(rèn)為是十分必要的。因?yàn)樵诤芏鄬?shí)際問題中，正弦量兩種表達(dá)形式：sin函數(shù)和cos函數(shù)，很多文獻(xiàn)認(rèn)為其沒有區(qū)別，具體采用哪一種函數(shù)形式，其依據(jù)是“該文獻(xiàn)的習(xí)慣”。將應(yīng)該有嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)定義建立在習(xí)慣的基礎(chǔ)上，這種提法作者認(rèn)為是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

（4）將正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法建立在相量變換法的基礎(chǔ)上，由于采用了變換和反變換的數(shù)學(xué)計(jì)算過程，可以有效避免學(xué)生因混淆相量和正弦量的區(qū)別而導(dǎo)致的一些簡單但卻常犯的錯(cuò)誤，如：

5　應(yīng)用實(shí)例

如圖1示，已知輸入的正弦電壓信號為

求響應(yīng)i（t）。

解：按定義并結(jié)合相量變換的性質(zhì)，由式（1），u（t）的相量表達(dá)式為

由式（2），得 的正弦量表達(dá)式

此實(shí)例顯示，計(jì)算時(shí)不再需要將正弦量化為統(tǒng)一表達(dá)式，且計(jì)算過程引入變換理論后更為合理與便捷。

6　結(jié)語

將信號的相量與正弦量建立在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，形成一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)變換理論，并在實(shí)際應(yīng)用中體現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值，希望能得到同行們的支持，并能得以推廣。這種變換方法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，也希望同行們共同進(jìn)行探索。

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