謝寶昌

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240)

交流電機(jī)繞組的氣隙磁勢(shì)和電勢(shì)計(jì)算是“電機(jī)學(xué)”課程中交流電機(jī)的基本內(nèi)容，是研究和分析異步電機(jī)和同步電機(jī)的理論基礎(chǔ)。兩者計(jì)算方法既具有相似性又具有差異性，既要緊緊圍繞交流繞組的排列和連接規(guī)律，又要靈活分析抓住本質(zhì)。只有讓學(xué)生對(duì)交流繞組排列規(guī)律、三相對(duì)稱電流與氣隙旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)表達(dá)形式有清晰認(rèn)識(shí)，才能很好地理解氣隙磁勢(shì)與氣隙磁場(chǎng)的關(guān)系。學(xué)生應(yīng)該明白計(jì)算氣隙磁勢(shì)的重要性，理解氣隙磁勢(shì)和繞組相電勢(shì)計(jì)算的方法，同時(shí)明確各相繞組空間軸線(相軸)的位置，電勢(shì)與產(chǎn)生電勢(shì)的磁場(chǎng)相位關(guān)系。我們?cè)谟?jì)算中引入的短距、分布和繞組系數(shù)的含義，逐步建立起用等效三相整距集中繞組作為單元電機(jī)分析交流電機(jī)的理論依據(jù)。

本文推導(dǎo)了三相交流繞組磁勢(shì)時(shí)空函數(shù)和相電勢(shì)瞬時(shí)值表達(dá)式，彌補(bǔ)了“電機(jī)學(xué)”教材分析中將幅值與空間或時(shí)間相位分離的不足［1，2］。

1 三相對(duì)稱繞組的實(shí)現(xiàn)

三相對(duì)稱繞組不僅空間排列要對(duì)稱，而且通過(guò)連接方式實(shí)現(xiàn)正弦旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)下的電壓、電流和電勢(shì)在時(shí)間上也是對(duì)稱的，即滿足圖1的對(duì)稱耦合關(guān)系。

圖1 對(duì)稱性耦合關(guān)系

為簡(jiǎn)化分析，我們假設(shè)每個(gè)線圈結(jié)構(gòu)和匝數(shù)相同且空間均勻分布;每極每相槽數(shù)為整數(shù);氣隙均勻且很小，忽略氣隙磁場(chǎng)徑向不均勻性;鐵芯相對(duì)磁導(dǎo)率無(wú)窮大，槽內(nèi)導(dǎo)體集中在槽口中心位置。

電樞鐵芯沖片均勻分布齒槽。設(shè)第一個(gè)槽中心空間電角為零，編號(hào)為k的槽空間電角表示為

其中，槽間電角α=2πp/Z，極對(duì)數(shù)p和槽數(shù)Z。

線圈空間電角等于線圈有效邊所在槽空間電角平均值，那么線圈軸線電角 γk=(θk+θk+y)/2，其中線圈兩有效邊之間的節(jié)距為y槽。

用槽空間電角和節(jié)距系數(shù)β=2py/Z表示為

槽分配要對(duì)稱，分母D不能為相數(shù)m的倍數(shù)。對(duì)稱繞組的槽分配原則是將N盡可能均勻的分為D等分所獲得的循環(huán)序列。例如三相四極15槽電樞，q=5/4，槽分配循環(huán)序列是2111。

本文討論整數(shù)槽雙層繞組，D=1，連續(xù)q=N個(gè)槽分配給一相帶的上層邊，下層邊由線圈節(jié)距確定。三相對(duì)稱繞組上層邊槽號(hào)k分配規(guī)律如下:

線圈連接規(guī)律是每極下各相帶內(nèi)線圈依次串聯(lián)構(gòu)成極相組，相鄰磁極同相極相組線圈可以反相并聯(lián)或串聯(lián)，但每條并聯(lián)支路上的線圈數(shù)必須相同。

2 氣隙磁勢(shì)計(jì)算

三相對(duì)稱繞組氣隙磁勢(shì)由三相對(duì)稱電流產(chǎn)生，各相電流為時(shí)間正弦波且三相對(duì)稱，統(tǒng)一表示為

現(xiàn)在，我們定義氣隙磁勢(shì)為氣隙磁場(chǎng)由轉(zhuǎn)子到定子磁位降:

其中，氣隙處轉(zhuǎn)子半徑為Rr，定子電樞半徑為Ra。

由上式可知，計(jì)算氣隙磁勢(shì)空間分布間接地獲得了氣隙磁場(chǎng)空間分布。為此引入與線圈相關(guān)聯(lián)的波形函數(shù)，它是以2pπ電角為周期的函數(shù)，線圈有效邊所在位置發(fā)生單位階躍突變，一個(gè)周期內(nèi)正負(fù)半波面積相同，如圖2所示。

圖2 波形函數(shù)

波形函數(shù)表示1匝線圈1A電流產(chǎn)生的氣隙磁勢(shì)，該空間對(duì)稱的周期函數(shù)經(jīng)過(guò)傅立葉分解得到

根據(jù)上式具有Nk匝且電流為ik(t)的線圈產(chǎn)生的磁勢(shì)空間分布表示為

它是時(shí)間和空間變量分離的波形，時(shí)間和空間都具有周期性。根據(jù)上式得到三相雙層對(duì)稱交流繞組氣隙磁勢(shì)空間分布為

整數(shù)槽繞組每相每極q個(gè)連續(xù)線圈串聯(lián)構(gòu)成極相組，因此極相組內(nèi)線圈電流相同，但同相相鄰兩個(gè)極相組電流相反;不同相繞組電流對(duì)稱，60°相帶繞組極相組空間依次按照AZBXCY排列，三相磁勢(shì)可以按照不同相，不同極相組和不同磁極分別求和計(jì)算，設(shè)極距 τ=Z/2p，令K=2nq+1+l+kτ，則上式轉(zhuǎn)化為

其中，a為每相繞組的并聯(lián)支路數(shù)。

設(shè)交流繞組每相串聯(lián)匝數(shù)W=2pqNc/a，則將式(10)和式(11)代入式(9)得到

將式(12)空間變量用復(fù)數(shù)表示，并考慮到上式中變量n，l和k是可以通過(guò)復(fù)指數(shù)乘積分離的，交換求和次序，得到一相繞組磁勢(shì)表示形式:

其中，A相繞組相軸位置 θ=γ1+(q－1)α/2，繞組系數(shù)kwv=kyvkqv，短距系數(shù)kyv=sin(vβπ/2)，分布系數(shù)kqv=sin(vqα/2)/qsin(vα/2)。

上式說(shuō)明每極每相一個(gè)線圈產(chǎn)生的氣隙磁勢(shì)是以2電角度為周期的奇數(shù)次正弦波之和，不存在偶數(shù)次和分?jǐn)?shù)次諧波磁勢(shì)。

對(duì)于分?jǐn)?shù)槽繞組，由于每相每極下線圈空間分布既不對(duì)稱也不均勻，因此除了基波磁勢(shì)和整數(shù)次諧波磁勢(shì)，還含有分?jǐn)?shù)次諧波磁勢(shì)，即以2πD/p機(jī)械角為周期的自然數(shù)次磁勢(shì)波各分量。

一相磁勢(shì)基波幅值所在位置稱為相軸，相軸位置與起始線圈空間位置關(guān)系

式(14)表明每相繞組產(chǎn)生的氣隙磁勢(shì)是隨電流交變的所有奇數(shù)次脈振磁勢(shì)波之和。將相電流式(4)化為復(fù)數(shù)形式

上式表明每個(gè)脈振磁勢(shì)波又可以分解為兩個(gè)幅值和轉(zhuǎn)速相同而轉(zhuǎn)向相反的旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)波。三相合成正、反轉(zhuǎn)磁勢(shì)波的存在性取決于各相電流時(shí)間初始相位φn，繞組相軸空間相位θn和磁勢(shì)波次數(shù)v值。

對(duì)于基波v=1，時(shí)間正相序，空間正相序，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)各相旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)相位互差2π/3而抵消，合成磁勢(shì)逆時(shí)針以同步速旋轉(zhuǎn)，由式(17)得到

上式表明三相合成基波磁勢(shì)幅值所在位置總是超前A相繞組軸線位置電流時(shí)間相位角。

對(duì)于三次及其倍數(shù)次諧波v=2mN－m，時(shí)間正相序，空間同相位，正、反轉(zhuǎn)磁勢(shì)與合成磁勢(shì)都為零。

對(duì)于v=2mN－1次諧波，時(shí)間正相序，空間反相序，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)各相磁勢(shì)相位互差2π/3而抵消，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)各相相位相同，合成磁勢(shì)為

對(duì)于v=2mN+1次諧波，時(shí)間正相序，空間正相序，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)各相磁勢(shì)互差2π/3而抵消，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)各相磁勢(shì)同相位，合成磁勢(shì)為

式(19)和式(20)表明v=2mN±1次諧波磁勢(shì)的轉(zhuǎn)速只有三相合成基波磁勢(shì)轉(zhuǎn)速的1/v，削弱5次和7次等低次諧波磁勢(shì)是繞組設(shè)計(jì)主要考慮因素。如β=4/5可以消除5次諧波，β=5/6可以同時(shí)削弱兩者。

3 相電勢(shì)計(jì)算

時(shí)空正弦波旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)分兩類氣隙磁場(chǎng):磁極磁場(chǎng)和電樞磁場(chǎng)。它們產(chǎn)生的電勢(shì)是不同的。

磁極磁場(chǎng)只有奇數(shù)次正弦波且空間轉(zhuǎn)速相同

其中，電樞直徑為Da，軸向有效長(zhǎng)度為lfe，線圈電勢(shì)與線圈邊所在磁感應(yīng)強(qiáng)度之差呈正比。

線圈空間相位轉(zhuǎn)變?yōu)殡妱?shì)計(jì)算的時(shí)間初相位。

考慮到式(22)，則上式用復(fù)數(shù)表示為

線圈電勢(shì)等于槽電勢(shì)之差乘以線圈匝數(shù)，滯后的時(shí)間初相位取決于槽所在磁場(chǎng)空間相位。

將式(2)和式(22)代入上式并化簡(jiǎn)后得

4 電勢(shì)與磁勢(shì)的關(guān)聯(lián)性

磁勢(shì)與電勢(shì)計(jì)算中都出現(xiàn)短距、分布和繞組系數(shù)，它們將電勢(shì)和磁勢(shì)緊密聯(lián)系在一起，本質(zhì)是將三相對(duì)稱短距分布整數(shù)槽繞組等效成三相集中整距繞組，具有極對(duì)數(shù)個(gè)單元電機(jī)，因此對(duì)于基波來(lái)說(shuō)只要分析2π電角度三相集中整距繞組。

基波和奇數(shù)次諧波具有如下的物理意義:

(1)短距系數(shù)的物理意義是:將短距線圈等效成軸線位置不變的整距線圈引起的等效匝數(shù)之比。也等價(jià)于正弦波氣隙磁場(chǎng)中實(shí)際線圈磁通(磁鏈，電勢(shì))與相同匝數(shù)整距線圈磁通(磁鏈，電勢(shì))之比:

(2)分布系數(shù)的物理意義是:將分布線圈等效成軸線位置不變的集中線圈引起的等效匝數(shù)之比。也等價(jià)于正弦波氣隙磁場(chǎng)中實(shí)際分布線圈極相組磁鏈(電勢(shì))與總匝數(shù)和軸線相同的集中線圈磁鏈(電勢(shì))之比:

(3)繞組系數(shù)的物理意義是:將極相組等效成相軸位置不變的整距集中線圈引起的等效匝數(shù)之比。也等價(jià)于正弦波氣隙磁場(chǎng)中實(shí)際一相繞組磁鏈(電勢(shì))與相同匝數(shù)整距集中線圈一相繞組磁鏈(電勢(shì))之比。

5 結(jié)語(yǔ)

本文從波形函數(shù)出發(fā)，給出了三相合成磁勢(shì)空間分布函數(shù)的疊加表達(dá)式;然后針對(duì)三相對(duì)稱整數(shù)槽繞組的線圈排列規(guī)律形成快速計(jì)算氣隙磁勢(shì)多重和式，并確定各相相軸位置;再利用磁極旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的特點(diǎn)獲得線圈電勢(shì)，利用繞組連接規(guī)律和空間相位引起線圈電勢(shì)相位不同的求和獲得繞組相電勢(shì)瞬時(shí)表達(dá)式，并確定電勢(shì)與磁場(chǎng)的相位關(guān)系，進(jìn)一步得到電樞磁場(chǎng)引起的繞組相電勢(shì);最后對(duì)繞組系數(shù)的物理意義作了深入分析，并得到如下重要結(jié)論:

(1)一個(gè)線圈或極相組的磁勢(shì)是以2π機(jī)械角或2pπ電角為周期。一個(gè)線圈的磁勢(shì)波形等于波形函數(shù)與線圈匝數(shù)和電流三者乘積，包含所有自然數(shù)次數(shù)的正弦波脈振磁勢(shì)，每個(gè)正弦磁勢(shì)波的幅值位于線圈軸線上。

(2)每相每極一個(gè)線圈空間互差π電角組成一個(gè)集中子繞組，其磁勢(shì)是以2π電角為周期，包含所有基波和奇數(shù)次數(shù)諧波的脈振正弦磁勢(shì)波，每個(gè)正弦磁勢(shì)波的幅值位于線圈軸線。對(duì)稱整數(shù)槽繞組每相相當(dāng)于存在q個(gè)集中子繞組，空間依次互差一個(gè)槽間電角α。

(3)每個(gè)正弦波脈振磁勢(shì)都可以分解成幅值和轉(zhuǎn)速相同而轉(zhuǎn)向相反的圓形旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)，旋轉(zhuǎn)的電角速度等于電流角頻率與正弦波次數(shù)之比。

(4)三相對(duì)稱整數(shù)槽繞組磁勢(shì)沒(méi)有三次及其倍數(shù)次諧波，只有基波和2mN±1次諧波。基波順相序旋轉(zhuǎn)，三相基波磁勢(shì)幅值等于每相基波磁勢(shì)幅值的3/2倍。2mN+1次諧波與基波轉(zhuǎn)向相同，2mN－1次諧波與基波轉(zhuǎn)向相反，n次諧波轉(zhuǎn)速應(yīng)是基波的1/n。磁勢(shì)幅值與諧波次數(shù)成反比，主要用短距和分布繞組消除或削弱5次和7次氣隙磁勢(shì)諧波。

(5)基波電流產(chǎn)生的電樞磁場(chǎng)在自身繞組中感應(yīng)基波電勢(shì)，同步旋轉(zhuǎn)磁極諧波磁場(chǎng)產(chǎn)生諧波電勢(shì)。

(6)三相磁勢(shì)計(jì)算采用模為幅值且空間相位為復(fù)角的一系列復(fù)數(shù)求和，相電勢(shì)計(jì)算采用模為幅值且磁場(chǎng)相位為復(fù)角的一系列復(fù)數(shù)求和。繞組系數(shù)的物理意義是將實(shí)際繞組等效成相軸空間位置不變的極對(duì)數(shù)個(gè)整距集中繞組單元電機(jī)引起的每極每相等效匝數(shù)變化。因此n次波對(duì)應(yīng)的繞組系數(shù)也等價(jià)為n次正弦波氣隙磁場(chǎng)在實(shí)際繞組一相磁鏈(電勢(shì))與等效整距繞組一相磁鏈(電勢(shì))之比。

［1］許實(shí)章，電機(jī)學(xué)［M］，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，1982年

［2］周順榮，電機(jī)學(xué)［M］，北京，科學(xué)出版社，2007年