劉 倩

（武漢理工大學(xué)，湖北 武漢 430070）

1 《偏微分方程》課程的重要性和特點(diǎn)

在自然科學(xué)和實(shí)際工程問(wèn)題中的大量數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來(lái)描述，很多重要的物理、力學(xué)等學(xué)科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微積分理論剛成立后不久，人們就開(kāi)始用偏微分方程來(lái)描述、解釋或預(yù)見(jiàn)各種自然現(xiàn)象，并將所得到的的研究方法和研究成果運(yùn)用于各門(mén)科學(xué)和工程技術(shù)中，不斷地取得了顯著的成效，顯示了偏微分方程對(duì)人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地，以物理、力學(xué)等各門(mén)學(xué)科中的實(shí)際問(wèn)題為背景的偏微分方程的研究成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的內(nèi)容，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題，不斷地提出和產(chǎn)生出需要解決的新課題和新方法，不斷地促進(jìn)著許多相關(guān)數(shù)學(xué)分支（如泛函分析、微分幾何、計(jì)算數(shù)學(xué)等）的發(fā)展，并從它們之中引進(jìn)許多有力的解決問(wèn)題的工具。偏微分方程已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的組成部分，是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一座重要的橋梁。

2 《偏微分方程》在學(xué)習(xí)中的幾個(gè)重點(diǎn)和方法

2.1 以學(xué)生為中心

對(duì)于這一點(diǎn)是站在教師教學(xué)的角度上提出的，現(xiàn)如今的課堂教學(xué)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)中的主體，而教師是引導(dǎo)者。要達(dá)到以學(xué)生為中心的教學(xué)目的，就必須首先在教材額內(nèi)容上做到以學(xué)生為中心，充分體現(xiàn)并滿(mǎn)足學(xué)生對(duì)這門(mén)課程的需求。目前，教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)結(jié)合的仍不夠緊密，讓學(xué)生感覺(jué)不到這門(mén)課程有很強(qiáng)的應(yīng)用背景。結(jié)合《偏微分方程》這門(mén)課程的特點(diǎn)，需要在教材中適當(dāng)融入一些有實(shí)際背景的案例。這樣可以方便學(xué)生借鑒，縮小教材和實(shí)際的差距，達(dá)到服務(wù)學(xué)生的目的。對(duì)于這些有實(shí)際背景的問(wèn)題，是比較容易理解甚至非常熟悉，如果有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從這些實(shí)際問(wèn)題中提出各種各樣的問(wèn)題，讓學(xué)生主動(dòng)去尋求解決問(wèn)題的途徑，就能使學(xué)生把被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的學(xué)習(xí)方式。在這里，分組討論共同一個(gè)問(wèn)題或知識(shí)點(diǎn)，不失為一種有效的教學(xué)手段。

2.2 建立有效的學(xué)習(xí)方法

對(duì)于小組討論的問(wèn)題，要積極主動(dòng)去查閱各種資料，先發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后解決問(wèn)題。以自身為例，我們小組討論的問(wèn)題是推導(dǎo)弦振動(dòng)方程。最先拿到教材上推導(dǎo)過(guò)程，基本上看不懂，然后就不得不翻閱其他參考書(shū)，才慢慢弄明白。弦振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的F=ma，但是弦并不是質(zhì)點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律并不適用在弦振動(dòng)的研究上，然而，如果把弦細(xì)細(xì)地分成若干個(gè)極小極小的小段，每一小段抽象地看做是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本定律了。

2.3 選擇合適的教學(xué)方法

要對(duì)我們學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo)，把背景的提出與問(wèn)題的解決相結(jié)合。在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，以講解式和啟發(fā)式相結(jié)合采取類(lèi)比法、提問(wèn)題等教學(xué)法，引導(dǎo)我們學(xué)生從實(shí)際北京出發(fā)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在對(duì)模型的分析和掌握中自然地得到解決問(wèn)題的方法。例如在我們講解弦振動(dòng)方程時(shí)，老師曾經(jīng)讓我們思考這樣的問(wèn)題：給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦，在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的規(guī)律。首先建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)u（x，t）表示弦上各點(diǎn)在t時(shí)刻沿垂直于x方向的位移，弦上單位長(zhǎng)度所受外力為F（x，t）。引導(dǎo)我們用所學(xué)的微積分的思想及相應(yīng)的物理知識(shí)對(duì)此問(wèn)題建模，可得：

其中ρ為弦的密度。模型建立后，老師給我們介紹這就是一維的波動(dòng)方程。我們認(rèn)識(shí)了一維波動(dòng)方程后，老師再提出問(wèn)題：類(lèi)似的薄膜振動(dòng)、聲波的傳播等可以用波動(dòng)方程來(lái)描述嗎？如果能，是什么樣的波動(dòng)方程？從而引出二維波動(dòng)方程、三維波動(dòng)方程，同時(shí)也給我們布置了新的小組討論任務(wù)，促進(jìn)我們主動(dòng)學(xué)習(xí)。

注重課堂氣氛的培養(yǎng)，與學(xué)生形成互動(dòng)。在教學(xué)中，老師可以從相關(guān)資料上收集最新的學(xué)科信息，尋找一些與《偏微分方程》相關(guān)的實(shí)用性較強(qiáng)的題目，在課堂上引導(dǎo)我們積極思考，自由討論解決問(wèn)題，還可以在討論之后提出新問(wèn)題。這樣既能激發(fā)我們學(xué)習(xí)的興趣，又能使我們對(duì)課堂內(nèi)容實(shí)踐化，培養(yǎng)其解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)物理方程的講授多采用傳統(tǒng)的板演方式，這種方式，公式推導(dǎo)直觀，學(xué)生容易理解；但由于推導(dǎo)過(guò)程長(zhǎng)，我們往往容易迷失于密密麻麻的板書(shū)中。但如果全部用多媒體來(lái)進(jìn)行教學(xué)的話，由于信息量大和過(guò)程跨度大，我們往往對(duì)公式的推導(dǎo)理解困難，也收不到良好的教學(xué)效果。鑒于此，以傳統(tǒng)的教學(xué)方式為主，不時(shí)輔以多媒體教學(xué)。在重難點(diǎn)處仍然使用傳統(tǒng)的板演，給我們更多思考的空間和時(shí)間，既突出了重點(diǎn)，又借助良好的互動(dòng)使我們的理解更加透徹。

這樣，通過(guò)運(yùn)用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，增加實(shí)踐環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了我們掌握知識(shí)和解決問(wèn)題的能力，提高了我們的學(xué)習(xí)熱情和興趣，同時(shí)也創(chuàng)造了良好的學(xué)習(xí)氛圍，最終收到很好的學(xué)習(xí)效果。

［1］湯燕斌,吳娥子.應(yīng)用偏微分方程[M].北京：科學(xué)出版社,2010.

［2］谷超豪.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：高等教育出版社,2002.

［3］梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].4 版.北京：高等教育出版社,2010.

［4］陳軍斌,等.創(chuàng)新教學(xué)方法提高研究生《數(shù)理方程與數(shù)值解》課程教學(xué)質(zhì)量[J].2011(9)：33.

［5］林家翹,西格爾 LA.自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].趙國(guó)英，等,譯.北京：科學(xué)出版社,2010.