母德強， 楊君

（長春工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，長春130012）

0 引言

隨著工程機械、軌道交通、能源、航空航天等行業(yè)的快速發(fā)展，大、重型機械零部件被大量應(yīng)用于關(guān)鍵裝備制造產(chǎn)品上。龍門導(dǎo)軌磨床用于工件的平面、斜面、底面等的磨削，適用于各類床身、模板、平板等的磨削精加工。在重型裝備制造業(yè)領(lǐng)域發(fā)揮著重大作用［1］。

傳統(tǒng)的設(shè)計方法采用的是類比法，將單個的結(jié)構(gòu)單元擴展到整個立柱結(jié)構(gòu)上去，出現(xiàn)了諸如井字筋等方法，此類方法都屬于經(jīng)驗法。雖然能夠快速、有效地設(shè)計出立柱結(jié)構(gòu)，但是對于日趨苛刻的機床性能要求以及不斷提高的機床動、靜剛度及成本、外形等方面的需求，僅利用傳統(tǒng)設(shè)計方法所設(shè)計出的立柱結(jié)構(gòu)越來越不能滿足設(shè)計需求，因此引入更加精細、準(zhǔn)確的設(shè)計方法，使設(shè)計的產(chǎn)品為今后的設(shè)計工作提供更加有效的參考，則需引入新的定量化設(shè)計方法。有限元方法就針對此類設(shè)計提出了良好的設(shè)計方案［2］。

利用有限元軟件Hyperworks（以下簡稱HM）對龍門導(dǎo)軌磨床的立柱進行拓撲優(yōu)化，應(yīng)用Optistruct（以后簡稱OS）求解器，以體積為原來的85%為約束，使得應(yīng)變能力最小為目標(biāo)函數(shù)建立有限元模型。拓撲優(yōu)化過程采用的是密度法拓撲優(yōu)化理論對龍門導(dǎo)軌磨床進行輕量化設(shè)計，不但提高其第1階的固有頻率和減少其靜態(tài)位移，同時使得使用的材料減少，以達到降低成本保證性能的要求［3］。

1 密度法拓撲優(yōu)化理論

本文采用了基于變密度方法，在SIMP插值模型的基礎(chǔ)上對結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化計算的連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法。密度法結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式表達單元相對密度與材料彈性模量之間的對應(yīng)關(guān)系［4］。這種方法基于各向同性材料，不需引用微結(jié)構(gòu)和附加的均勻化過程，以有限元模型設(shè)計空間的每個單元的單元密度作為設(shè)計變量，該“單元密度”同結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)有關(guān)（單元密度與材料彈性模量E之間具有某種函數(shù)關(guān)系），在0～1之間連續(xù)取值，優(yōu)化求解后單元密度為1（或接近1）表示該單元位置處的材料很重要，需要保留；單元密度為0（或接近0）表示該單元處的材料不重要，可以去除，從而實現(xiàn)材料的高效利用，實現(xiàn)輕量化設(shè)計［5］。

密度法結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化主要是把材料的彈性張量與密度之間建立聯(lián)系，首先引用變量0≤籽≤1及常數(shù)p，其中，建立如下關(guān)系式：

SIMP插值模型是對各向同性材料所建立的，結(jié)合Hashin-Shtrikman邊界條件則二維結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題滿足如下關(guān)系：

式中，k0為彈性模量，u0為剪切模量。

其彈性模量滿足如下關(guān)系式：

則根據(jù)式（1）及式（2）之間的關(guān)系整理得：

當(dāng)p≥3時此不等式恒成立。因是各項同性材料，泊松比與密度不發(fā)生關(guān)系，則可得出如下關(guān)系式：

將其帶入式（1）中推導(dǎo)出：

上述為SIMP插值模型在對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化計算中的表達方式，比均勻化方法進行拓撲優(yōu)化更清晰明了，當(dāng)然，它是基于均化法理論衍生出來的方法，該方法目前得到了廣泛應(yīng)用［6］。

2 優(yōu)化流程圖

本文是針對MM52160龍門導(dǎo)軌磨床立柱的拓撲優(yōu)化及動靜態(tài)分析，要在保證原有性能或者有所提高的前提下達到其質(zhì)量最小的目標(biāo)。對立柱拓撲優(yōu)化的具體流程如圖1所示。

圖1 流程圖

3 原立柱及簡化模型動靜態(tài)特性分析

3.1 原立柱

原立柱總體尺寸為：860 mm×660 mm×2 000 mm；壁厚為25 mm；筋的高度為70 mm，寬度為20 mm；原立柱三維模型如圖2所示。

在有限元分析之前去掉立柱上的一些特征，只保持原有的外形以及總體尺寸，利用SolidWorks軟件重新建模得到如圖3所示的簡化模型。

圖2 原立柱三維模型

圖3 簡化模型

可以看出原立柱模型里面采用的是豎直筋的結(jié)構(gòu)，采用的材料為灰鑄鐵HT200，其質(zhì)量為1.35 t，對其建立有限元模型分析其動靜態(tài)特性得到如下結(jié)果：

1）靜態(tài)特性。

將低端整個面施加全約束，也就是約束6個自由度；在上端面建立一個上表面的幾何中心點并創(chuàng)建節(jié)點用于施加載荷（以后簡稱O點），且用RBE2單元將上端面的所有節(jié)點與創(chuàng)建的幾何中心節(jié)點連接起來。

施加載荷分別為X=3 000 N，Y=3000N，Z=12250N建立的有限元模型如圖4所示。

利用Hyperview

提取O點的位移量，如表1所示。

2）動態(tài)特性。取其前5階模態(tài)，其固有頻率如表2所示。

圖4 有限元模型

表1 O點位移量mm

表2 前5階固有頻率Hz

3.2 原立柱模型簡化以及動靜態(tài)特性分析

對原立柱模型簡化的要求是，質(zhì)量與原立柱一樣，且動靜態(tài)特性不能下降，圖5為利用SolidWorks軟件對原立柱進行的簡化，將內(nèi)部的筋的結(jié)構(gòu)去掉，去掉的質(zhì)量加在立柱的外壁上。在保證了外形總體尺寸和質(zhì)量不變的前提下完成模型的簡化。

對其建立有限元模型，分析其靜態(tài)受力下的位移以及固有頻率。在進行靜力學(xué)分析的時候所加載荷與加在原立柱上的相同，以便對比。得到結(jié)果分別如表3（位移），表4（固有頻率）所示。

結(jié)果表明簡化后的模型的動靜態(tài)剛度與原立柱對比，最大靜態(tài)位移小于原模型2.42滋m，第 1階固有頻率大于原模型2.85%，可見其動靜態(tài)剛度都要優(yōu)于原立柱模型。

圖5 有限元模型簡化圖

表3 立柱在靜態(tài)受力下的位移mm

表4 前5階固有頻率Hz

4 拓撲優(yōu)化及動靜態(tài)特性分析

4.1 拓撲優(yōu)化

直接對簡化后的模型進行拓撲優(yōu)化，邊界條件不變，設(shè)置優(yōu)化設(shè)計參數(shù)。

1）設(shè)計變量。設(shè)計區(qū)的單元密度。

2）約束函數(shù)。體積分數(shù)＜85%。

3）位移約束。針對O點的位移約束為：

0＜X＜1.051E-02，

0＜Y＜1.621E-02，

0＜Z＜2.263E-03，

0＜總位移＜1.945E-02。

目標(biāo)函數(shù)：應(yīng)變能力最小。

建立的有限元模型如圖6所示。

提交Optistruct運算，迭代12次后結(jié)束迭代，得到結(jié)果的目標(biāo)函數(shù)變化曲線如圖7所示。

圖6 有限元模型

圖7 目標(biāo)函數(shù)變化曲線

從目標(biāo)函數(shù)的變化曲線可以看到，應(yīng)變能從74 300 J降低到了57 800 J。

利用Hyperview查看優(yōu)化有的密度分布云圖如圖 8（a）和 8（b）所示。

4.2 對優(yōu)化后結(jié)構(gòu)靜態(tài)剛度分析及對比

靜態(tài)特性對比在分析結(jié)果中直接查看位移云圖，優(yōu)化后最大位移量與原立柱最大位移量對比如圖9、表5所示。

表5 優(yōu)化前后最大位移量對比mm

從圖9、表5所示結(jié)果可以看出優(yōu)化后的立柱比原立柱的位移各個方向都有所減少。

4.3 對優(yōu)化后結(jié)構(gòu)動態(tài)態(tài)剛度分析及對比

利用OSSMOOTH模塊取閥值0.3導(dǎo)出IGS模型并自動劃分網(wǎng)格，對導(dǎo)出的模型進行模態(tài)分析提取其前五階固有頻率與原立柱固有頻率對比如圖10、表6所示。

從圖10、表6可以看出優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率大于原立柱。

如上所述：在通過對立柱的簡化模型的拓撲優(yōu)化后，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的動靜態(tài)剛度明顯提高了，最大位移減小了3.53%，第一階固有頻率提高了3.72%。

圖8 密度分布云圖

圖9 優(yōu)化前后最大位移量對比

圖10 優(yōu)化前后固有頻率對比

表6 優(yōu)化前后固有頻率對比Hz

5 結(jié)論

1）建立了立柱有限元模型，進行了系統(tǒng)的拓撲優(yōu)化。

2）利用OS求解器進行了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。結(jié)果表明：動靜態(tài)剛度提高了，而且質(zhì)量減少了15%，降低了制造所需材料的成本。

3）經(jīng)過優(yōu)化得到了在特定工況下的材料最佳分布，本文只提出了對立柱設(shè)計的理論依據(jù)，并沒有做具體設(shè)計和進一步的參數(shù)優(yōu)化，具體設(shè)計時的各個參數(shù)還有待研究。

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