劉玉周，趙 斌

（華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院儀器系，武漢430074）

移相相關(guān)法計(jì)算相位差的研究

劉玉周，趙 斌*

（華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院儀器系，武漢430074）

為了提高相位式測(cè)距儀的測(cè)量精度，采用移相相關(guān)方法來估計(jì)兩同頻正弦信號(hào)的相位差。首先將每路信號(hào)移相2π后和原信號(hào)做相關(guān)來計(jì)算自相關(guān)，以減少噪聲的影響；其次用少許數(shù)據(jù)初步估算相位差，并將一路信號(hào)移相，使兩路信號(hào)的相位差移到π/2（或3π/2）附近；然后用較多的采樣數(shù)據(jù)計(jì)算兩路信號(hào)的相位差，將結(jié)果再減去移相量得到最終的相位差。同時(shí)分析了頻率誤差對(duì)相位差計(jì)算精度的影響，進(jìn)行了理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，該方法計(jì)算的誤差大大減小。這對(duì)提高測(cè)距儀的測(cè)量精度是有幫助的。

測(cè)量與計(jì)量；移相相關(guān)法；相位差；頻率誤差

引 言

相位式激光測(cè)距在3-D成像［1］、機(jī)器人導(dǎo)航［2］、表面檢測(cè)［3］等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它通過測(cè)量光波往返的相位差來計(jì)算時(shí)間延遲從而計(jì)算待測(cè)距離［4-5］。與模擬測(cè)相方法相比，數(shù)字方法測(cè)量相位差具有不受環(huán)境干擾、兩路信號(hào)間無串?dāng)_等優(yōu)點(diǎn)，但也有不足。過零比較法［6］在信號(hào)頻率較高、噪聲較大時(shí)誤差較大［7］；當(dāng)實(shí)際的傅里葉變換的最大值出現(xiàn)在兩采樣點(diǎn)之間時(shí)，快速傅里葉變換［8］會(huì)有較大誤差，若頻率擾動(dòng)，插值快速傅里葉變換法也很難達(dá)到較高的精度［4］；擬合法［9］計(jì)算相位差的缺點(diǎn)是計(jì)算時(shí)間太長并且迭代可能不收斂［10］。在頻率較高時(shí)，商業(yè)化相位差測(cè)量儀器分辨率很難超過0.05°，而有些文獻(xiàn)中的方法只是達(dá)到了較高的分辨率，而不是較高的精度［4］。相比上面所述的相位差測(cè)量方法，相關(guān)法計(jì)算相位差［11］被認(rèn)為是最優(yōu)的時(shí)間延遲算法［12-13］，采用快速算法［14］后計(jì)算速度快，且具有抑制噪聲能力較強(qiáng)并可計(jì)算中頻信號(hào)的相位差等優(yōu)點(diǎn)。但在采用相關(guān)算法的測(cè)距試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，距離連續(xù)移動(dòng)時(shí)，非?？拷?°或180°相位差出現(xiàn)的幾率很低，并且在理論相位差處于0°或180°附近時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生1°以上的相位差誤差。作者對(duì)相關(guān)法估計(jì)相位差的理論分析后，提出一種移相相關(guān)法，可消除上述缺陷，進(jìn)一步提高相位差測(cè)量精度。

1 移相相關(guān)法計(jì)算相位差的原理及分析

1.1 普通相關(guān)法估計(jì)相位差的誤差分析

設(shè)有頻率為f0的兩個(gè)正弦信號(hào)x（k）和y（k），幅值分別為A和B，初相位分別為φx和φy，相位差φ=φx-φy?，F(xiàn)對(duì)其進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs=nf0，整數(shù)n≥3，則數(shù)字頻率f=f0/fs。對(duì)x（t）和y（t）均做采樣長度N0同步整周期采樣后的數(shù)據(jù)序列x（k）和y（k）為（k為序號(hào)）：

式中，噪聲Nx（k）和Ny（k）一般是互不相關(guān)的加性白噪聲，均值為0，方差為σx2和σy。則普通相關(guān)法按照下式得估計(jì)相位差：

這表明普通相關(guān)法對(duì)含有噪聲的信號(hào)的相位差估計(jì)不是無偏估計(jì)。

（3）式是關(guān)于隨機(jī)變量Nx（k）和Ny（k）的函數(shù)，計(jì)算出自相關(guān)的方差為和，互相關(guān)的方差為，按照2維隨機(jī)變量非線性函數(shù)方差的計(jì)算方法［15］，可得到普通相關(guān)法計(jì)算估計(jì)相位差的方差：

因此，普通相關(guān)法估計(jì)相位差的均方差（mean square error，MSE）E（?φ）為：

在（6）式中取N0=480×103，R=30dB時(shí)，均方誤差與實(shí)際相位差φ的關(guān)系圖見圖1。

（6）式表明，普通相關(guān)法估計(jì)相位差有兩點(diǎn)不足：（1）增加采樣長度N0只能減?。?）式中的v（?φ）項(xiàng)，而偏離量b項(xiàng)不變，精度無法再提高；（2）誤差隨相位差真值φ變化而不同，當(dāng)實(shí)際相位差越靠近0°或180°時(shí)，估計(jì)的偏離量越大。

在激光相位式測(cè)距中，采用普通相關(guān)法估計(jì)相位差的不足具體表現(xiàn)為：當(dāng)待測(cè)距離連續(xù)變化時(shí)，測(cè)距誤差周期性變化，且很少出現(xiàn)359°～360°，0°～1°和179°～181°內(nèi)的相位差。

1.2 移相相關(guān)法計(jì)算相位差的原理

移相是指將采樣序列x（k）或y（k）的前面的幾個(gè)數(shù)據(jù)去掉，即采樣序列向左移位，從而改變其初相位的方法。

移相相關(guān)法在計(jì)算相位差時(shí)，先后有兩次移相：一是用移相360°后的信號(hào)與原信號(hào)做相關(guān)，代替原來的自相關(guān)運(yùn)算，簡稱為移相自相關(guān)；二是以較少的數(shù)據(jù)初步估計(jì)相位差后，將一路信號(hào)移相Δθ，使兩路信號(hào)的相位差約為90°或者270°，將此時(shí)估計(jì)的相位差減去附加移相量Δθ后得到實(shí)際相位差，簡稱為移相計(jì)算相位差。

1.2.1 移相自相關(guān) 由于不同時(shí)間的隨機(jī)噪聲是不相關(guān)的，因此，若將信號(hào)與向左移位一個(gè)周期的信號(hào)做相關(guān)，可消除自相關(guān)中的噪聲項(xiàng)：

（9）式是相位差φ的無偏估計(jì)。按（9）式估計(jì)相位差的均方誤差等于方差v（?φ）：

同樣固定N0=480×103，R=30dB時(shí)，（10）式中均方誤差隨相位差真值的變化情況見圖2。對(duì)于固定的采樣長度N0和信噪比R，（10）式與（6）式的第2項(xiàng)（方差項(xiàng)）數(shù)量級(jí)相當(dāng)，但其比（6）式少了b這一項(xiàng)，因此其真值在90°和270°以外的均方誤差要小得多，在90°和270°附近均方誤差變化也平緩一些，但在0°和180°附近的相位差誤差仍然較大。

1.2.2 移相計(jì)算相位差 注意到（10）式在φ=90°和φ=270°時(shí)有極小值，這是由于估計(jì)相位差（9）式中反余弦的特性導(dǎo)致的。為避免在0°和180°附近較大的計(jì)算誤差，首先用較少的數(shù)據(jù)初步估算相位差，然后將y（k）或x（k）移相Δθ（Δθ≤90°），從而使相位差在90°或270°附近，再以較多采樣數(shù)據(jù)重新計(jì)算相位差，將結(jié)果減去Δθ得到精確相位差。

信號(hào)的一個(gè)周期內(nèi)有n個(gè)采樣點(diǎn)，移相后的相位差相距90°（或270°）不超過360°/n。因此在不考慮信號(hào)頻率誤差時(shí)，經(jīng)過上述兩次移相后計(jì)算的相位差均方誤差為下式：

1.2.3 頻率誤差引起的相位差估計(jì)誤差 晶振的老化和頻率漂移均會(huì)引起信號(hào)頻率的誤差，頻率誤差將導(dǎo)致兩次移相不準(zhǔn)確，從而產(chǎn)生相位差估計(jì)誤差。

若信號(hào)數(shù)字頻率的相對(duì)誤差（準(zhǔn)確度）為δf，理論數(shù)字頻率為f，實(shí)際數(shù)字頻率為f（1+δf），則不考慮噪聲時(shí)，x（k）移相360°后的自相關(guān)為：

將上兩式的Rx′（0）和Ry′（0）代入相位差的估計(jì)（9）式，得到移相自相關(guān)引起的相位差誤差φf1為：

另外，頻率誤差引起的附加相位差Δθ的誤差為：

式中，ABS表示取絕對(duì)值。

因此若在程序中未校正頻率，則頻率誤差引起的總的移相誤差Δφf為：

對(duì)于不同數(shù)字頻率準(zhǔn)確度δf和一個(gè)信號(hào)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)n，對(duì)應(yīng)的最大移相誤差Δφf，max見圖3。在相位式激光測(cè)距應(yīng)用中，采用溫補(bǔ)晶振或恒溫晶振驅(qū)動(dòng)數(shù)字鎖相環(huán)等方法產(chǎn)生的信號(hào)的頻率穩(wěn)定度較高，一般其數(shù)字頻率準(zhǔn)確度優(yōu)于10×10-6，當(dāng)n≥6時(shí)，由頻率誤差引起的最大移相誤差小于0.002°。即使頻率準(zhǔn)確度為20×10-6，n≥48時(shí)，由頻率誤差引起的最大移相誤差小于0.002°，小于預(yù)期精度0.01°的1/5。

在考慮噪聲和頻率誤差時(shí)，移相相關(guān)法估計(jì)相位差的均方誤差為：

在理論相位差0°至360°整個(gè)區(qū)間內(nèi)，移相相關(guān)法估計(jì)的均方誤差小于-48dB，即相位差估計(jì)誤差小于0.004°。

與普通相關(guān)法相比，移相相關(guān)法估計(jì)相位差的誤差在不同相位差真值處的估計(jì)誤差基本相同，且誤差大大減小了；在0和180°理論相位差附近，不再有很大的估計(jì)偏差；在計(jì)算量上只是增加了3次移相和一周期采樣點(diǎn)參與運(yùn)算的相位差初步估計(jì)，因此在精度大大提高的同時(shí)，計(jì)算時(shí)間并沒有明顯增加，當(dāng)N0=480×103時(shí)，在普通計(jì)算機(jī)上的計(jì)算時(shí)間約為8ms，滿足實(shí)時(shí)測(cè)距的要求。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

以Monte Carlo方法生成信噪比R=30dB、采樣長度480×103的兩個(gè)正弦信號(hào)x（k）和y（k），對(duì)于不同的實(shí)際相位差φ，按（3）式表述的普通相關(guān)法仿真計(jì)算1000次相位差，仿真計(jì)算的均方誤差隨實(shí)際相位差φ變化的曲線見圖4，帶圈的曲線為按（6）式計(jì)算的理論值，帶點(diǎn)的曲線為仿真實(shí)驗(yàn)值，理論值和仿真實(shí)驗(yàn)值一致。圖中均方差的最大仿真值為8.1dB，對(duì)應(yīng)的相位差誤差為2.54°。

圖5為移相相關(guān)法估計(jì)的相位差估計(jì)誤差，仿真條件和圖4一樣，并增加頻率誤差為10×10-6這一條件。其中圖5a為理論最大均方誤差和仿真的均方誤差隨著實(shí)際相位差φ變化的曲線，仿真的均方誤差為帶點(diǎn)的曲線，而帶圈的曲線為當(dāng)數(shù)字頻率誤差δf=10×10-6，N0=480×103，n=48時(shí)，按（17）式計(jì)算的理論最大均方誤差，該圖中最大均方誤差的仿真值為-48dB。而圖5b為仿真的平均誤差和標(biāo)準(zhǔn)差，平均誤差反映的是（16）式所示的頻率誤差引起的相位差誤差。

3 結(jié) 論

移相相關(guān)法計(jì)算相位差適用于計(jì)算包含噪聲的、頻率相同且已知的兩正弦信號(hào)的相位差。該方法不但具有普通相關(guān)法計(jì)算速度快和能計(jì)算中、低頻信號(hào)相位差的優(yōu)點(diǎn)，而且進(jìn)一步抑制了噪聲的影響。在頻率誤差不大于10×10-6、信噪比R= 30dB、采樣長度480×103時(shí)，相位差誤差為0.004°。若信號(hào)頻率穩(wěn)定度高于20×10-6，且每周期采樣點(diǎn)數(shù)大于48時(shí)，頻率誤差引起的移相誤差不超過0.002°，可以滿足0.01°的相位差估計(jì)精度。當(dāng)信號(hào)頻率準(zhǔn)確度很低且要求很高的相位差估計(jì)精度時(shí)，可以在計(jì)算相位差以前先校正頻率。通過增加采樣長度、提高采樣速率、減小頻率誤差或者多次測(cè)量求平均值等辦法，可以進(jìn)一步減小相位差誤差。

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Study on phase difference algorithm based on phase-shift correlation analysis

LIU Yuzhou，ZHAO Bin
（Department of Instrumentation，School of Mechanical Science and Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China）

In order to improve the accuracy of a phase-shift range finder，a phase-difference algorithm based on phase-shift correlation analysis was proposed to estimate the phase-difference between two sinusoidal signals with same frequency.For reducing the influence of noise，the autocorrelation between the original and 2π shifted signal was calculated firstly.Secondly，the phase difference was estimated approximately with a few sampled data and the initial phase of one signal was shifted by Δθ to make the phase difference between two signals to be near π/2（or 3π/2）.Then，the phasedifference was calculated with whole set of data by correlation method and the final phase difference was obtained by subtracting Δθ.The influence of frequency error was analyzed.Theoretical analysis and simulation shows that the error of this method is greatly reduced.The proposed method can improve the accuracy of a range finder.

measurement and metrology；phase-shift correlation analysis；phase difference；frequency error

TH741

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.013

1001-3806（2014）05-0638-05

國家九七三重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013CB035405）

劉玉周（1968-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)楣怆娋軠y(cè)量。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：zhaobin63@sohu.com

2013-11-29；

2014-01-13