秦飛馬，周星德，張安樂(lè)，李勇直，王露健，張 翔

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京210098)

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分在工程領(lǐng)域方面的研究應(yīng)用逐漸增多［1-3］，Mandolboort首次指出自然界許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域存在大量分?jǐn)?shù)維這一事實(shí)［4］。在控制領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)階控制策略近幾年取得了一些研究成果:針對(duì)最簡(jiǎn)單的PID控制器，先后提出了PDμ控制器、CRONE控制器、PIλDμ控制器等。有關(guān)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制的研究主要集中于 PID 單自由度控制系統(tǒng)［5-7］，包括分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的仿真［8］、優(yōu)化［9］、新控制策略［10］等，目前研究表明，采用簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)階控制器可取得比整數(shù)階控制器更優(yōu)的動(dòng)態(tài)特性和魯棒性［11-12］。

結(jié)構(gòu)阻尼采用分?jǐn)?shù)階表示與實(shí)際更為吻合?？刂破髟O(shè)計(jì)時(shí)，原系統(tǒng)為含α階導(dǎo)數(shù)的振動(dòng)系統(tǒng)，本文假設(shè)其分?jǐn)?shù)階階次為β，為建立β階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)和原α階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)之間的聯(lián)系，取兩者的輸出變量一致，并采用輸出控制策略使所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階控制器能夠應(yīng)用于原模型。根據(jù)第3代基準(zhǔn)建筑物定義的性能指標(biāo)，通過(guò)搜索的方式確定最優(yōu)β。分?jǐn)?shù)階階次在0和2之間均有阻尼效果，初定搜索范圍為［0，2］。

1 控制器設(shè)計(jì)方法

設(shè)含分?jǐn)?shù)階α、阻尼為比例阻尼的建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

式中:M、C、K——結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，均為n×n維矩陣;X(α)——位移向量的α階微分(α為小數(shù)或分?jǐn)?shù));Bs∈Rn×p——作動(dòng)器定位矩陣;U(t)∈Rp×1——作動(dòng)器控制力向量;p——作動(dòng)器數(shù);Es∈Rn×q——外部激勵(lì)定位矩陣;F(t)∈Rq×1——外部激勵(lì)向量;q——外部激勵(lì)數(shù)。

采用模態(tài)降階法，設(shè)系統(tǒng)的前r階模態(tài)為Φr，令X(t)=ΦrXr(t)，將其代入式(1)，并左乘Φr的轉(zhuǎn)置，得

其中

式(2)中包含r個(gè)單自由度系統(tǒng)，則r個(gè)單自由度系統(tǒng)可表示為

其中

式中:Bri——Br的第i行元素矩陣;Eri——Er的第i行元素矩陣。

對(duì)式(3)進(jìn)行Laplace變換，可得

式中:Gi(s)——整個(gè)系統(tǒng)中輸入為vri、輸出為xri的第i個(gè)單自由度系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

本文采用Oustaloup提出的算法對(duì)s(α)進(jìn)行整數(shù)階近似，假設(shè)擬合頻率段為(ωl，ωh)，則可構(gòu)造如下濾波器的傳遞函數(shù):

式中Kf、ωj、ω'j的表達(dá)式見(jiàn)文獻(xiàn)［7］。

用式(5)的Gf(s)代替式(4)中的s(α)，則傳遞函數(shù)Gi(s)可近似為

式中mi、ni均為正整數(shù)，且mi＜ni。

將式(6)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程:

把vri(t)=BriU(t)+EriF(t)代入式(7)，可得

其中

將式(8)組裝為整體狀態(tài)方程:

其中

設(shè)觀測(cè)輸出方程為Yˉ(t)=H?Xr(t)，考慮到X(t)=ΦrXr(t)，則

其中

聯(lián)立式(9)(10)，可得

其中

為了測(cè)試其他階次分?jǐn)?shù)階控制器在原α階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)上的控制效果，假設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼與位移向量的β階導(dǎo)數(shù)成正比，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

與上述方法相同，將分?jǐn)?shù)階進(jìn)行整數(shù)階近似以及組裝為整體狀態(tài)方程后，得

為保證該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)控制器能夠應(yīng)用到原α階系統(tǒng)，本文采用基于系統(tǒng)輸出的控制策略，選擇控制輸出矩陣使得Yˉ(t)=Y?(t)。

定義性能指標(biāo)為

式中:Q、R——權(quán)矩陣。

通過(guò)極小化性能指標(biāo)可得控制力為

矩陣Pˉ為滿足下列Riccati方程的解

結(jié)合實(shí)際情況，假設(shè)每個(gè)作動(dòng)器最大控制力為umax，則

其中

為了將該控制器應(yīng)用到原α階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)，結(jié)合式(17)將控制力U(t)代入原系統(tǒng)狀態(tài)方程，則整體狀態(tài)方程可化為

其中

為了驗(yàn)證該控制器的控制效果，本文選取了第3代基準(zhǔn)建筑物中的2個(gè)控制指標(biāo):

式中:di(t)、hi——第i樓層的層間位移和層間高度;δmax——未控時(shí)的最大層間位移比;fl(t)——第l個(gè)作動(dòng)器出力的時(shí)程曲線上的所有值;‖fl(t)‖——時(shí)程曲線上所有值的范數(shù);W——地面以上建筑物(即不包含地下室)振動(dòng)時(shí)的質(zhì)量。

控制指標(biāo)J1和J2的值隨β而變化，結(jié)合變化曲線可以求出控制指標(biāo)的最優(yōu)值。

圖1 5層框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Five-story frame structure

2 仿真分析

本文以5層剪切型框架結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象(圖1)，在樓層一、二布置作動(dòng)器。初始處于靜止?fàn)顟B(tài)，外部激勵(lì)為水平方向的地震荷載，選擇Elcentro波作為水平方向激勵(lì)，結(jié)構(gòu)阻尼比為0.02;各樓層的質(zhì)量均為320 t，剛度為43MN/m。采用分?jǐn)?shù)階微分濾波器近似時(shí)，考慮到建筑結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，選擇的擬合頻率段為(0.001，100)rad/s，N=2，取濾波器的階次為 2N+1，即濾波器的階次為5。選擇分?jǐn)?shù)階α為0.8，表示阻尼力與位移的0.8階導(dǎo)數(shù)成正比。在控制器設(shè)計(jì)中，β在［0，2］區(qū)間內(nèi)進(jìn)行變化，式(14)定義的性能指標(biāo)中權(quán)矩陣選擇為:Q為21維對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素均為1×107，R為2×2階對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素均為1.3。

通過(guò)改變?chǔ)轮档玫溅屡cJ1和J2的關(guān)系如圖2所示。對(duì)于圖2中的控制指標(biāo)J1和J2可分別取得不同的β值達(dá)到最佳控制效果，以圖1為例，當(dāng)β取0.8時(shí)等同于傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階控制模型，此時(shí)J1=0.098，當(dāng)取最佳控制效果時(shí)，β=0.75，J1=0.051，由此可以看出，本文設(shè)計(jì)的變異階次控制器比傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階控制具有更好的控制效果。

以第4樓層為例，控制效果見(jiàn)圖3，第一作動(dòng)器控制力時(shí)程曲線見(jiàn)圖4。

圖2 控制指標(biāo)隨分?jǐn)?shù)階階次β的變化曲線Fig.2 Variation of control effect indicator with fractional-orderβ

圖3 第4樓層位移響應(yīng)控制效果Fig.3 Control effect of displacement response of fourth story

圖4 第1作動(dòng)器控制力時(shí)程曲線Fig.4 Time-history curve of control force of first controller

3 結(jié) 論

本文提出了一種變異階次控制器設(shè)計(jì)方法，針對(duì)原α階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)，通過(guò)搜索的方式來(lái)確定最優(yōu)參數(shù)β，從圖3和圖4可以看出，本文提出的控制方法的控制效果較好，仿真結(jié)果表明，在0到2范圍內(nèi)，存在不同于α的β值可獲得更優(yōu)的控制效果，同時(shí)，針對(duì)不同的性能指標(biāo)，最優(yōu)β的選取亦不同，說(shuō)明本文所提出的方法是有效的。

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