吳辰宸，顧左

（蘭州空間技術(shù)物理研究所真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州 730000）

Kaufman放電室二次電子溫度的計(jì)算方法研究

吳辰宸，顧左

（蘭州空間技術(shù)物理研究所真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州 730000）

二次電子溫度計(jì)算是研究Kaufman放電室的核心內(nèi)容之一。針對Kaufman放電室建立穩(wěn)態(tài)平板非均勻放電模型對二次電子溫度進(jìn)行求解。穩(wěn)態(tài)平板非均勻放電模型從擴(kuò)散方程出發(fā)，重點(diǎn)考慮離子漂移造成的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)和雙極性電場對放電室徑向密度梯度造成的影響，進(jìn)一步結(jié)合粒子數(shù)守恒方程，給出用于求解二次電子溫度的方程的解析表達(dá)式。代入典型的Kaufman放電室結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果表明，用穩(wěn)態(tài)平板非均勻放電模型計(jì)算出來的二次電子溫度符合實(shí)驗(yàn)測量的范圍，同時(shí)說明在中低壓放電條件下，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)和雙極性電場是影響放電性能的關(guān)鍵參數(shù)。

非均勻放電；擴(kuò)散；雙極性電場；二次電子溫度；解析模型

0 引言

離子推力器作為當(dāng)今宇航推進(jìn)領(lǐng)域極具競爭力的一種動(dòng)力裝置，其主要特點(diǎn)是小推力、高比沖、推力可精確調(diào)節(jié)，已經(jīng)在中高軌道衛(wèi)星位置保持和軌道轉(zhuǎn)移、深空探測等宇航任務(wù)中得到應(yīng)用。發(fā)展小衛(wèi)星進(jìn)行阻尼補(bǔ)償、軌道升降、位置保持、姿態(tài)控制、編隊(duì)飛行等任務(wù)所需要的微小電推進(jìn)技術(shù)[1]，意義十分重大。離子推力器主要由放電室、空心陰極、離子光學(xué)系統(tǒng)以及中和器四個(gè)部分組成，其中放電室作為離子推力器的核心組件，其性能的優(yōu)劣直接影響著離子推力器的性能，研究離子推力器放電室放電機(jī)理，對于改善放電室性能，進(jìn)一步提升離子推力器的性能有重要意義。

目前的離子推力器主要采用Kaufman離子源放電室。Kaufman離子源通過空心陰極發(fā)射原初電子轟擊注入放電室內(nèi)的中性氣體工質(zhì)，通過電離產(chǎn)生等離子體，原初電子和電離過程產(chǎn)生的二次電子一起近似服從Maxwell分布，等離子體中的離子通過離子光學(xué)系統(tǒng)的聚焦作用，被加速引出進(jìn)而產(chǎn)生推力。在Kaufman放電室中，作為等離子體組分的電子和離子的輸運(yùn)機(jī)制，是影響放電室性能的重要因素。為了有效約束放電室內(nèi)電子的平均自由程，進(jìn)一步提升電離率，通常采用磁場進(jìn)行約束。因此研究磁場作用下的電子、離子輸運(yùn)過程顯得極為關(guān)鍵。

目前對Kaufman放電室內(nèi)的等離子體放電機(jī)制的研究主要手段有兩種：數(shù)值模擬和理論分析。其中，理論分析對于解釋放電室內(nèi)放電機(jī)理和損耗機(jī)制更為有效。國內(nèi)外開展Kaufman放電室理論模型的研究已經(jīng)有40余年，期間比較具有代表性的模型有Brophy等[2-3]在1984年提出的離子推力器放電室簡化靜態(tài)模型；Goebel等[4-5]在此基礎(chǔ)上豐富了模型的內(nèi)容，Goebel[6]的模型分析了磁場對離子、原初電子的約束效果，引入了陽極鞘層的物理性質(zhì)，Goebel的模型構(gòu)建了一組完備的描述Kaufman放電室性能的方程組，適合于計(jì)算機(jī)求解。

在研究放電室放電性能時(shí)，近似服從Maxwell分布的二次電子溫度是一個(gè)非常核心的參數(shù)，作為關(guān)鍵的等離子體參數(shù)，承前啟后地連接著Kaufman放電室輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)。因此，為了更好的理解Kaufman放電室放電機(jī)制，為更進(jìn)一步研究Kaufman放電室放電性能提供理論基礎(chǔ)，尋找一種理論上求解電子溫度的方法是非常有意義的。文章從等離子體基本物理原理出發(fā)，根據(jù)Kaufman放電室的幾何結(jié)構(gòu)和放電條件，建立合適的放電模型，通過研究Kaufman放電室徑向帶電粒子密度梯度分布，同時(shí)結(jié)合粒子數(shù)守恒方程求解二次電子溫度的平均值。由于放電損耗是二次電子溫度的函數(shù)，研究成果可以為深入研究Kaufman放電室的放電損耗提供理論依據(jù)。

1 理論模型

現(xiàn)有Kaufman放電室等離子體放電屬于部分電離等離子體，其中重要的物理過程是帶電粒子與中性粒子之間的碰撞，穩(wěn)態(tài)放電過程是通過不斷電離中性粒子來維持的，電子和離子之間并不存在熱平衡。

根據(jù)典型的低壓等離子體放電數(shù)據(jù)對建模判據(jù)進(jìn)行估算，Te～1～10 V，Ti約為室溫（0.026 V）的數(shù)倍，因此有Ti/Te≈5.2×10-3；典型的Kaufman放電室尺寸l則在10～30 cm量級，因此：

根據(jù)離子平均自由程的半經(jīng)驗(yàn)公式，結(jié)合典型的離子推力器Kaufman放電室放電氣壓1.33 Pa，得：

不難發(fā)現(xiàn)，（Ti/Te）l≤λi≤l，在這種情況下，擴(kuò)散和雙極性電場決定了離子輸運(yùn)過程。在主等離子體區(qū)域內(nèi)，離子的漂移速度遠(yuǎn)高于熱運(yùn)動(dòng)速度，此時(shí)擴(kuò)散方程是非線性的[7]。

根據(jù)上面的分析，采用穩(wěn)態(tài)平板非均勻放電模型對Kaufman放電室進(jìn)行研究，如圖1所示。

圖1 離子推力器放電室穩(wěn)態(tài)平板非均勻放電模型示意圖

在最普遍的等離子體放電情形下，等離子體同時(shí)含有相同數(shù)目的離子和電子，此時(shí)擴(kuò)散方程具有Helmholtz方程的形式：

式中:n為等離子體密度；νiz為電離頻率；D=Da為雙極擴(kuò)散系數(shù)。

在一維情形下，三維Helmholtz方程退化為：

令β2=viz/D，β成為Helmholtz方程的最低階本征值。根據(jù)微分方程理論，只有本征值對應(yīng)的最低階本征函數(shù)[8]，才是滿足在區(qū)域內(nèi)密度處處為正的條件的解。相應(yīng)的本征函數(shù)為：

由于在碰撞電離的過程中會(huì)產(chǎn)生相同數(shù)量的電子和離子，其中電子的運(yùn)動(dòng)速度較快，離子的運(yùn)動(dòng)速度較慢。由于ve?vi，因此等離子體的準(zhǔn)電中性將被破壞，離子和電子之間形成了具有加速離子、抑制電子速度的電場，稱之為雙極性電場。雙極性電場是系統(tǒng)自平衡的響應(yīng)方式，目的是為了讓等離子系統(tǒng)恢復(fù)準(zhǔn)電中性狀態(tài)。由于在穩(wěn)態(tài)平板模型中，雙極性電場是指向陽極壁面的，所以可以約束遷移率較高的電子，這個(gè)意義上講，在（Ti/Te）l≤λi≤l的條件下，選取邊界條件（n±l）/2=0是合適的，即β=π/l。

根據(jù)離子數(shù)守恒方程：

式中：Γi為離子通量。

進(jìn)一步結(jié)合Fick定律：

式中：Da為雙極性擴(kuò)散系數(shù)。

將公式（7）代入公式（6）并在[0，l/2]的區(qū)間上進(jìn)行積分可得：

簡化后獲得關(guān)系式：

進(jìn)一步考慮有軸向磁場、電場和密度梯度存在時(shí)的擴(kuò)散過程。由于在Kaufman放電室中，等離子體為弱電離等離子體，軸向磁場對具有較小回旋軌道電子的擴(kuò)散過程的影響更為重要。通常放電室為圓柱形，密度梯度為徑向，雙極性電場的方向也為徑向。因此，離子和電子垂直磁場方向的運(yùn)動(dòng)必須加以考慮。

在磁約束等離子體中，電子的擴(kuò)散過程受到嚴(yán)重阻礙，此種情形下的擴(kuò)散系數(shù)[9]為：

式中：νm為碰撞的動(dòng)量轉(zhuǎn)移頻率；ωc為帶電粒子的回旋頻率。

進(jìn)一步考慮強(qiáng)磁場約束下弱電離等離子體垂直于磁場方向的雙極擴(kuò)散系數(shù)[9]：

式中：D⊥a為垂直于磁場方向的雙極性擴(kuò)散系數(shù)；D⊥e為垂直于磁場方向的電子擴(kuò)散系數(shù)。

將公式（10）、（11）代入公式（9）可得：

式中：σ0為初始碰撞截面；εiz為電離時(shí)電子能量的損失。

2 計(jì)算結(jié)果

通常的離子推力器都使用氙氣作為氣體工質(zhì)。Xe原子的第一電離能εiz為12.13 eV，Kaufman放電室中原初電子的平均自由程為1.3 cm[10]，基本電荷e=1.6022×10-19C，電子質(zhì)量m=9.1095×10-31kg，真空介電常數(shù)ε0=8.8542×10-12F/m，玻爾茲曼常數(shù)k=1.3807×10-23J/K，磁場強(qiáng)度B=0.01T，放電室中中性原子密度量級在1019m-3量級。

另取放電室直徑l=20cm，將數(shù)據(jù)代入公式（13），并使用Matlab求解得：Te=1.12eV。

3 結(jié)論

在Kaufman放電室放電條件下，離子輸運(yùn)過程主要由擴(kuò)散過程和雙極性電場決定。通過建立穩(wěn)態(tài)平板非均勻放電模型，從擴(kuò)散方程出發(fā)，描述帶電粒子在磁場中的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)過程，并進(jìn)一步利用粒子數(shù)守恒方程可以求出放電室中的二次電子溫度。將Kaufman放電室假設(shè)為穩(wěn)態(tài)平板非均勻放電模型，重點(diǎn)考察離子擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)和雙極性電場導(dǎo)致的徑向等離子體密度梯度，進(jìn)一步求解二次電子溫度。計(jì)算結(jié)果表明，穩(wěn)態(tài)平板非均勻等離子體模型計(jì)算結(jié)果在通常試驗(yàn)測得的二次電子溫度1～10 eV范圍內(nèi)。同時(shí)也在理論上說明了在中低氣壓放電條件下，離子漂移速度遠(yuǎn)高于熱速度，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)和雙極性電場對放電室等離子體性質(zhì)有著重要的影響。

[1]張?zhí)炱?，周昊澄，孫小菁，等.小衛(wèi)星領(lǐng)域應(yīng)用電推進(jìn)技術(shù)的評述[J].真空與低溫，2014，20（4）：187-192.

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THE RESEARCH OF CALCULATING THE SECONDARY ELECTRON TEMPERATURE IN KAUFMAN DISCHARGE CHAMBER

WU Chen-chen，GU Zuo
（Science and Technology on Vacuum Technology and Physics Laboratory，Lanzhou Institute of Space Technology and Physics，LanzhouGansu730000，China）

The calculation of secondary electron is one of the main research content of Kaufman discharge chamber. This paper is aimed at establishing non uniform steady discharge model to solving the secondary electron temperature. Non uniform steady discharge model starts from diffusion equation，we emphases the consideration of the effect of ion diffusion motion and ambipolar electron field to discharge chamber radial density gradient.Furthermore，consider the particle conservation equation，it can obtain the analytical representation for solving the secondary electron temperature.Using the typical date of Kaufman discharge chamber，the calculation illustrates that the result of non uniform steady discharge model is according with experiment result，at the same time，it also illustrates that in mid-pressure discharge condition or lower，diffusion motion and ambipolar electric field are the key facts which affects the discharge performance.

non uniform discharge；diffusion；ambipolar electric field；secondary electron temperature；analytical model

V443文獻(xiàn)識(shí)別碼：A

1006-7086（2014）06-0325-04

10.3969/j.issn.1006-7086.2014.06.004

2014-09-03

吳辰宸（1988-），男，浙江新昌人，碩士研究生，主要從事離子電推進(jìn)放電室研究。

E-Mail：wuchenchen2008kaka@163.com