□ 供稿 / IOAA組委會(huì) 翻譯 / 戴巖

第八屆國際天文與天體物理奧林匹克競賽理論試題（上）

□ 供稿 / IOAA組委會(huì) 翻譯 / 戴巖

短問題

1.拉格朗日點(diǎn)

小物體在只受引力作用下繞兩個(gè)大質(zhì)量物體作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，軌道系統(tǒng)中會(huì)包含五個(gè)拉格朗日點(diǎn)。例如人造衛(wèi)星相對(duì)地球和月亮運(yùn)動(dòng)，或者衛(wèi)星相對(duì)地球和太陽運(yùn)動(dòng)。圖1中給出了日地系統(tǒng)中拉格朗日點(diǎn)L的兩個(gè)可能的位置L133和 L32，一個(gè)在地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道以內(nèi)，一個(gè)在地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道以外。

請找出L31和 L32中哪個(gè)才是真正的拉格朗日點(diǎn)L3，證明你的結(jié)論，并求出太陽到拉格朗日點(diǎn)L3的距離和日地距離相比的差。

已知日地距離為dES=14.96.107km，地球和太陽的質(zhì)量滿足ME/MS=1/332946。

圖1A

圖1B

2. 太陽的引力災(zāi)變

一次引力災(zāi)變使太陽瞬間損失了一半的質(zhì)量。如果假定地球的軌道是橢圓的，軌道周期是T0=1年，地球軌道的橢率是e0=0.0167。

分別計(jì)算在以下時(shí)間發(fā)生引力災(zāi)變后地球軌道的運(yùn)動(dòng)周期：

（1）7月3日（遠(yuǎn)日點(diǎn)）；（2）1月3日。

3.宇宙輻射

在研究宇宙輻射時(shí)，認(rèn)證了一種中性不穩(wěn)定的粒子——π0介子。π0的靜止質(zhì)量比電子的靜止質(zhì)量大得多。研究發(fā)現(xiàn)，它在飛行過程中分解成了兩個(gè)光子。在一種特定情況下，一個(gè)產(chǎn)生的光子具有最大的能量Emax，此時(shí)另一個(gè)產(chǎn)生的光子則具有最小的能量Emin。

請以Emax和Emin為已知量，推導(dǎo)π0介子分解前初速度的表達(dá)式。

已知c表示光速，且相對(duì)論粒子的能量和動(dòng)量滿足E2=p2c2+m02c4。

4. 桑德拉·布魯克和喬治·布魯尼

一個(gè)質(zhì)量為M=100kg的宇航員出艙執(zhí)行修理衛(wèi)星的任務(wù)。衛(wèi)星相對(duì)太空船靜止，間距為d=90m。維修任務(wù)結(jié)束后，宇航員發(fā)現(xiàn)返航系統(tǒng)出現(xiàn)故障。他身上帶的空氣給養(yǎng)只能再支持3分鐘。他的手套上結(jié)實(shí)地綁有一個(gè)密封了m=200g冰的圓柱形罐頭（橫截面積為S=30cm2）。罐子里的冰并不是滿滿一罐。

如果宇航員沿著正確的方向打開罐頭，請確定他能否在空氣給養(yǎng)耗盡前平安返回太空船，并通過計(jì)算說明。宇航員不能丟下任何裝備或者通過觸碰衛(wèi)星借力。

已知如下數(shù)據(jù)：罐頭中冰的溫度T=272K，在T=272K時(shí)所對(duì)應(yīng)的水的飽和蒸汽壓為Ps=550Pa，宇宙氣體常數(shù)R=8300J/（kmol.K），水的摩爾質(zhì)量μ=10kg/kmol。

5. 一顆主序星的壽命

圖5給出了根據(jù)觀測大量恒星得到的質(zhì)光函數(shù)log（L/ Ls）=f（log（M/Ms））關(guān)系圖。L和M代表一顆恒星的光度和質(zhì)量，Ls和Ms代表太陽的光度和質(zhì)量。

已知太陽在主序階段的壽命是τs，一顆恒星的質(zhì)量轉(zhuǎn)化成能量的百分率是η，太陽的質(zhì)量轉(zhuǎn)化成能量的百分率是ηs，恒星的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的n倍，即n=M/Ms，并假設(shè)恒星在主序階段的光度是保持不變的。請推導(dǎo)這顆恒星在主序階段的壽命的表達(dá)式。

圖5

6.恒星表面的有效溫度

研究一顆恒星的兩種輻射，它們的波長都在一個(gè)窄小的波段內(nèi)（△λ〈〈λ），即在λ到λ+△λ之間。根據(jù)普朗克定律（對(duì)于絕對(duì)黑體），已知如下關(guān)系：r=2πhc2/λ5（ehc/kλT-1）。該式表示了，單位時(shí)間、恒星表面單位面積、單位波長間隔內(nèi)，恒星所釋放的能量。在地球上測得，變化范圍均在△λ內(nèi)的兩種輻射（波長分別為λ1和λ2）的光譜輻射強(qiáng)度分別是I1（λ1）和I2（λ2）（不需考慮大氣影響）。

如果光譜輻射強(qiáng)度滿足I1（λ1）=2I2（λ2），且hc〈〈λkT，請推導(dǎo)兩種輻射的波長λ1和λ2之間的關(guān)系。

已知：h代表普朗克常數(shù)，k代表玻爾茲曼常數(shù)，c代表真空中的光速，當(dāng)x〈〈1時(shí)ex≈1+x。

7.光壓

對(duì)于地球上的觀測者，接收到的來自太陽的壓力為prad,s，接收到的來自某一顆恒星∑的壓力是prad,∑。如果太陽的視星等是ms，請推導(dǎo)恒星∑的視星等。

以下提示可能有助于你解題：通常，電磁輻射的壓力等于電磁輻射的能量密度（prad=△E/△V）。

已知太陽的質(zhì)量為Ms，太陽的半徑為Rs，宇宙引力常數(shù)為G，斯蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)為σ，真空中的光速為c。

8.繞日運(yùn)動(dòng)的太空船

一艘球形太空船在以圓軌道繞太陽運(yùn)動(dòng)，并繞垂直軌道面的軸自轉(zhuǎn)。飛船外表面的溫度是TN。假定太空船是理想黑體，且飛船內(nèi)部沒有活動(dòng)。

計(jì)算太空船中的宇航員看到的太陽的視星等和角直徑。已知TS代表太陽的有效溫度，RS代表太陽半徑，d0代表日地距離，m0代表太陽在地球表面的視星等，RN代表太空船的半徑。

9.鏡中織女

如圖所示，在相機(jī)物鏡的光軸上有一個(gè)平面鏡。鏡子的長度等于物鏡焦距的一半。相機(jī)的焦面上放置了一張照相底片。底片上捕獲了兩個(gè)亮度不同的圖像?？椗遣辉谕哥R的光軸上。圖像∑1到光軸的距離是r/2。

試求底片上的兩個(gè)織女星圖像的星等差。

圖9

10.以羅馬尼亞語命名的星星

兩個(gè)羅馬尼亞天文學(xué)家最近發(fā)現(xiàn)了兩顆變星。兩顆恒星的銀經(jīng)和銀緯分別是：Galati V1（l1=144.371°，b1=-11.35°）和Galati V2（l2=113.266°，b2=-16.177°）。

請計(jì)算Galati V1 和 Galati V2之間的角距離。

11.舉頭望月識(shí)星等

已知從太陽上看月球的視星等是MM=0.25m。

請分別計(jì)算滿月和上弦月月相時(shí)從地球上看到的月球的視星等。

12. 造父變星的絕對(duì)星等

造父變星是變星的一類，它們光度的變化取決于星體的脈動(dòng)。已知一顆造父變星的脈動(dòng)周期滿足：P=2πR R/GM，其中R代表造父變星的平均半徑，M代表造父變星的質(zhì)量（脈動(dòng)期間為常量）。假定脈動(dòng)期間恒星的溫度為常數(shù)。

證明造父變星的絕對(duì)星等Mcep可以表示為如下函數(shù)形式：Mcep=-2.5m.logk-（10/3）m.logP，其中P為造父變星的脈動(dòng)周期。（未完待續(xù)）