張 波 張丹婷 胡 沖

（1.西安市導航技術研究所，陜西 西安 710068；2.西安電子科技大學 雷達信號處理國防科技重點實驗室，陜西 西安 710071）

0 引言

海雜波是雷達發(fā)射脈沖照射的局部海面的后向散射回波。對海雜波進行特性分析和建模仿真對于設計有效的雷達檢測方案和評價雷達檢測性能至關重要。傳統(tǒng)的研究主要是研究其統(tǒng)計特性，建立統(tǒng)計分布模型，如典型的瑞利(Rayleigh)分布、對數(shù)正態(tài)(Log-normal)分布、韋布爾(Weibull)分布和K分布等[1]。然而，這些模型把海雜波視為某一隨機過程的樣本函數(shù)，這在很大程度上并非因為海雜波的物理本質，而是出于其看似隨機的波形。實際上，高分辨率雷達在低掠射角情況下測量的海雜波往往不具有高斯分布特性，海雜波并不是平穩(wěn)的，而是呈現(xiàn)為非線性的不平穩(wěn)性[2-4]。這樣經(jīng)典雷達目標檢測所作的獨立、線性，平穩(wěn)等假設均不符合真實情況，基于這些假設而采用的經(jīng)典雷達目標最佳檢測策略不可避免導致檢測性能下降。

分形理論[5]的發(fā)展不僅為數(shù)學和物理提供了全新的觀察視角和觀察深度，也為雜波建模和分析提供了新的動力和方向：S.Haykin等人[6-7]對海雜波的研究表明，海雜波存在分數(shù)維的混沌吸引子，且存在大于零的Lyapunov指數(shù)，進而表明，用非線性學科中的混沌與分形方法研究雜波模型比傳統(tǒng)的隨機方法更為有效。

已有很多學者對海雜波的分形特性進行過不同方面的研究，也取得了不少成果[8-9]。本文從實測海雜波數(shù)據(jù)入手，首先計算了海雜波的盒維數(shù)，又通過分析海雜波的統(tǒng)計特性，發(fā)現(xiàn)其偏離高斯分布并具有長時相關性，且在較大的范圍內(nèi)具有尺度不變性，因此，利用多重分形模型可以較好的刻畫海雜波的復雜特性。本文從時間和空間上綜合考慮，利用雜波與含目標單元多重分形譜的差別，提出一種新的檢測方法。對實測數(shù)據(jù)的分析表明該方法是有效的，并且具有較小的計算量，為海雜波背景下的目標檢測提供了一條新的思路和有效手段。

1 分形維數(shù)（盒維數(shù)）

分形是一類復雜性頗高的、沒有特征長度，但具有一定意義下的自相似的圖形和結構的總稱[10]。分形維數(shù)是分形對象的復雜度和不規(guī)則度的定量描述，分形維數(shù)是分形的極其重要的特征數(shù)，是刻畫分形的不變量。當海面上存在艦船目標時，會改變該區(qū)域海面的運動狀態(tài)，將在雷達回波信號的分數(shù)維差異中體現(xiàn)出來。

對于分形維數(shù)有很多不同的定義，最好的理論定義是Hausdorf維。但由于Hausdorf維數(shù)計算復雜，實際中一般用其他定義來計算分形維數(shù)。在求解分形維數(shù)的方法中，盒維數(shù)是應用最廣泛的維數(shù)之一。盒維數(shù)的計算方法如下[11]：

（1）選擇一個一定長度的曲線F將其長度與幅度歸一化后放入一正方形內(nèi)。

（2）選取邊長為εm(m=1,2,…,M)的方格網(wǎng)（盒子）去覆蓋單位正方形，計算不同尺寸εm下與F交疊的盒子個數(shù)Nm(ε)。當εm→0時，則盒子恰好包含F(xiàn)的一個點，亦可認為此時盒子與點的形狀完全符合，正好填滿F。

（3）定義盒維數(shù) Db=lgNm(ε)/(-lgεm)。 分數(shù)維是盒維數(shù)在 εm→0 時的極限值。實際中盒子尺寸不可能無窮小，但只要小到一定程度后，結果差距相當微弱，就可以用盒維數(shù)來取代分數(shù)維作為分析的對象.

（4）如果曲線是一種完全的分形，則對數(shù)比曲線Db=lgNm(ε)/(-lgεm)為一直線，盒維數(shù)Db就是該直線的斜率，如果對數(shù)比曲線不是理想直線，說明該圖形分形特征不明顯，則用對數(shù)比曲線的最小方差擬合直線的斜率來代替。同時，Mandelbrot有效維數(shù)的概念也說明分形特征是有尺寸范圍的。所以實際處理盒維數(shù)時，應該從對數(shù)比值趨于穩(wěn)定，對數(shù)比曲線趨于直線的范圍內(nèi)開始擬合。

本文使用的實測海雜波數(shù)據(jù)為本研究所采用的海雜波數(shù)據(jù)是某S波段雷達于2010年5月在某海灣采集到的，該雷達架設在海拔500m的山上，臨海。雷達的主要參數(shù)如下：

線性調(diào)頻信號，中頻30MHz，帶寬5MHz，采樣頻率40MHz，脈寬46μs，錐形波束寬度 1.0°，天線固定不轉，入射余角 1.0°。

圖1為某一段長度為100的海雜波經(jīng)歸一化后，εm=0.10時的覆蓋情況，圖2為最小二乘擬合的情況，經(jīng)計算得Db=1.4756。當數(shù)據(jù)長度數(shù)增加時，盒子越小越精確。

圖1 盒維數(shù)法圖示

圖2 lgNm(ε)/(-lgεm)

表1給出了實測海雜波數(shù)據(jù)與目標數(shù)據(jù)在不同時刻的盒維數(shù)計算結果。由表1可看出含目標時的海雜波的盒維數(shù)明顯大于不含雜波的情況。但在高海態(tài)等情況下，海雜波和目標回波的分維值的平均值相差較小，而從整體上看兩者的分維值交疊在一起，僅用其進行檢測是不可靠的[12]。

表1 海雜波的分形維數(shù)

2 多重分形的判定及譜函數(shù)的計算

分形盒維數(shù)能反映分形信號的幾何特征信息，對信號的復雜度、和全局性進行定量的描述。但計盒維數(shù)法計算認為只要盒子內(nèi)有圖形的像素這個盒子就被計進來，而不考慮盒子內(nèi)像素的多少，這樣得到的分維必然失去很多信息，這便是單一分形不夠細致之處；而多重分形考慮盒子內(nèi)像素或者其他物理量的差別，歸一化之后得到一個概率分布的集，再用一個多重分形譜進行描述，得到的結果包含了許多被單一分形忽略的信息。

在計算海雜波的多重分形特性之前，首先應判斷其偏離高斯分布并具有長時相關性，且在較大的范圍內(nèi)具有尺度不變性[13]。

為了檢驗海雜波是否具有非高斯特性，計算其偏度系數(shù)Cs和峰度系數(shù)Ck：

其中μk=E(X-EX)k,k=2,3,4。偏度系數(shù)刻畫分布函數(shù)的對稱性，鋒度系數(shù)刻畫不同類型分布的集中和分散的程度。對于正態(tài)分布來說，Cs=0,Ck=3。 經(jīng)計算，本文采用的實測雜波數(shù)據(jù)，其 Cs＞0,Ck＞3，與高斯分布有一定差距，因此海雜波數(shù)據(jù)具有非高斯特性。

下面采用對數(shù)方差—時間圖法[14]分析海雜波的長時相關性。圖3中作出了對數(shù)方差—時間曲線，如果海雜波數(shù)據(jù)的對數(shù)方差—時間曲線斜率大于-1，則具有長時相關性。有圖顯然可以得到肯定的結論。

圖3 海雜波的對數(shù)方差—時間曲線

如果上式在一定的m區(qū)間內(nèi)成立，則序列具有分形特性。此外，如果質量指數(shù)τ(q)不是q的線性函數(shù)，那么稱被觀察序列在這一區(qū)間存在多重分形特性；否則，就為單一分形[15]。利用上述方法對一段實測海雜波進行分析，結果如圖4所示。圖4給出了不同q值下的log2(m)～log2(Sm(q))曲線，可以看出式（4）在較大范圍內(nèi)均成立，這表明海雜波具有多重分形特性。

圖4 海雜波的log2(m)～log2(Sm(q))曲線

下面給出多重分形譜的計算方法。在式（4）的線性區(qū)間內(nèi)，利用最小二乘法求解下式得到：

對 q～τ(q)進行如式（6）、（7）所示的 Legendre 變換即可得到多重分形譜。

式中：τ(q)為標度指數(shù)；f(α(q))即為多重分形譜函數(shù)。

由圖5以看到質量指數(shù)τ(q)不是q的線性函數(shù)，圖中有一個明顯的折點。圖6給出了標度指數(shù)α(q)隨q變化情況，可以看到在零附近有一次驟降。

綜上，根據(jù)上文中提到的判定準則，認為本批數(shù)據(jù)是多重分形的，多重分形譜如圖7所示，并且其在其在q=0處取得最大值1。

圖5 q～τ(q)曲線

圖6 q～α(q)曲線

圖7 海雜波的多重分形譜函數(shù)

圖8 多重分形譜對比

圖8分別給出了含目標與不含目標的距離單元在不同時刻的多重分形譜。從該圖可以看到，海雜波數(shù)據(jù)在存在目標時，譜寬變窄，而多重分形譜寬的大小反映了整個分形結構上概率測度分布不均勻性的程度和過程的復雜性，譜寬越寬，譜的結構越豐富，過程相對越復雜，這表明海雜波比目標復雜。這一差別在譜的左邊尤其明顯，這表明α較小(大概率)的部分差別更大。而目標與目標、雜波與雜波在不同時刻的差別較小，這表明多重分形譜較為穩(wěn)定，適合用于檢測。

為了利用這種差別來判別海面某一區(qū)域是否出現(xiàn)目標，我們計算f(α)對α的積分，表2列出了積分的結果。從表2可看出含目標的距離單元相應的積分結果明顯小于不含目標的情況，這與圖8一致。如果設定合適的門限，則可根據(jù)積分值判斷目標的出現(xiàn)，而且文獻[6]表明在數(shù)據(jù)長度達到2000點時，分形估計就趨于穩(wěn)定，因而使用分形方法進行的檢測計算量小于傳統(tǒng)的基于統(tǒng)計建模的方法，時效性也更好。圖9為檢測方案。

表2

圖9 檢測方案圖

3 結束語

本文分析計算了海雜波的分形維數(shù)及多重分形特性。由本文的分析，可以看出實測的海雜波序列具有多重分形特性，利用多重分形譜可以較好的描述復雜不規(guī)則的海雜波序列。在此基礎上，利用雜波包含與不包含目標時多重分形譜的差別，提供了一種檢測海上目標的新方法，該方法具有計算量小的優(yōu)點。由于本文所用的數(shù)據(jù)有限，還有待于利用更多數(shù)據(jù)進一步詳細地評估該方法。

［1］H C.Chan.Radar sea-clutter at low grazing angles[J].IEE Proceedings,1990,137:102-112.

［2］S.Haykin,R.Bakker,B W.Currie.Uncovering nonlinear dynamics-the case study of sea clutter[J].IEEE Proceedings,2002,90:860-881.

［3］S C.Guedes,Z.Cherneva,E.M.Antao.Steepness and asymmetry of the largest waves in storm sea states[J].Ocean Engineering,2004,31:1147-1167.

［4］E.Conte,A D.Maio.Mitigation techniques for non-Gaussian sea clutter[J].O-ceanic Engineering,2004,29:284-302.

［5］B.B.Mandelbrot,W.H.Freeman.The Fractal Geometry of Nature[J].W.H.Freeman,San Francisco,CA,1982.

［6］T.Lo,H.Leung,J.Litva and S.Haykin.Fractal characteristics of sea scattered signals and detection of sea-surface targets[J].IEE Proceedings,1993,140:243-50.

［7］S.Haykin,S.Puthusserypady.Chaotic dynamics of sea clutter[J].Chaos,1997,7:777-802.

［8］F.Berizzi,E.Dalle-Mese.Fractal analysis of the signal scattered from the sea surface[J].Antennas Propagation,1999,7:324-338.

［9］J.Chen,K Y.Lo,H.Leung and J.Litva.The use of fractals for modeling EM waves scattering from rough sea surface[J].Geoscience and Remote Sensing,1996,34:966-972.

［10］英林,謝勝利,等.信號處理新方法導論[M].北京:清華大學出版社,2004.

［11］W D.Hu,W X.Yu,A.Luo.Fractal detection of radar weak targets[J].IEEE Proceedings,1995,1:140-144.

［12］杜干,張守宏.分形模型在海上雷達目標檢測中的應用[J].電波科學學報,1998,13:377-381.

［13］石志廣,周劍雄,付強.基于多重分形模型的海雜波特性分析與仿真[J].系統(tǒng)仿真學報,2006,18:2289-2292.

［14］W.Leland,M.Taqqu,W.Willinger and D.Wilson.On the self-similar nature of Ethernet traffic(extended version)[J].IEEE/ACM Transactions on Networking,1994,2：1-15.

［15］J.Hu,W W.Tung,J B.Gao.Detection of Low Observable Targets Within Sea Clutter by Structure Function Based Multifractal Analysis[J].IEEE Transactions,2006,54:136-143.