作者簡介：

蔣賢輝（1985-），安徽合肥，安徽大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 專業(yè)：金融學(xué) 學(xué)位：碩士研究生。

摘 要：本文從期權(quán)的Black-Scholes-Merton定價公式以及影響期權(quán)價格的因素的敏感度因子定義出發(fā)，關(guān)于期權(quán)價格的影響因素對期權(quán)價格的影響大小作了實證分析，在此基礎(chǔ)上討論了Delta對沖以及gamma對沖的重要意義。

關(guān)鍵詞：Black-Scholes-Merton定價公式；期權(quán)的風(fēng)險敏感度因子；Delta對沖

一、Black-Scholes-Merton定價公式

對于不支付紅利的標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)，看漲期權(quán)的價格：

c=S0N（d1）-KertN（d2）

看跌期權(quán)的價格：

p=KertN（-d2）-S0N（-d1）

其中，d1=ln（S0/K）+（r+σ2/2）TσT。

d2=ln（S0/K）+（r+σ2/2）TσT=d1-σT；

其中，S0表示標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在的價格，K表示執(zhí)行價格，r表示無風(fēng)險利率，c表示看漲期權(quán)的價格，p表示看跌期權(quán)的價格，σ表示標(biāo)的資產(chǎn)波動率，N（d1）表示正態(tài)分布中隨機變量小于等于d1的概率，N（d2）表示隨機變量小于等于d2的概率。

二、 期權(quán)的風(fēng)險敏感度

影響期權(quán)價格的因素有很多，標(biāo)的資產(chǎn)價格，標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率，到期時間，市場利率等因素的影響，各因素對期權(quán)價格的影響作用是不同的，下面我們首先關(guān)于這些因素對期權(quán)價格的影響的指標(biāo)作一介紹，然后在Black-Scholes-Merton定價公式的基礎(chǔ)上對這些因素影響大小，以及怎樣對沖這些因素做一個簡單的實證分析。

（一） 期權(quán)風(fēng)險敏感度指標(biāo)

1、 Delta

Delta是我們進(jìn)行風(fēng)險對沖時的第一個需要考慮的指標(biāo)，他衡量的是期權(quán)的價格隨標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的靈敏度。Delta定義為期權(quán)價格變化對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率，這一比率越高，意味著期權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化越敏感。我們用數(shù)學(xué)公式可以表示為：

看漲期權(quán)：Δ=ΔcΔS，看跌期權(quán)：Δ=ΔpΔS

如果一項組合的價格不隨標(biāo)的資產(chǎn)價格變化，那么這個組合就處于delta中性。我們可以通過在期權(quán)裸露情況下買入或賣出△份標(biāo)的資產(chǎn)使該組合處于delta中性。

2、 θ、（Theta）

一個期權(quán)組合的θ定義為，該組合價格的變化對時間變化的比率，它被定義為有價證券的時間損耗。

θ=ΠT

由于資產(chǎn)價格變化是不確定的，而時間減少是確定的，所以對沖資產(chǎn)價格變化是有意義的，而對沖時間的變化是沒有意義的。

3、Γ（gamma）

某種標(biāo)的資產(chǎn)組合的gamma值，定義為該種資產(chǎn)組合的delta值變化對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率。該比率值較大，意味著該組合的delta值對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化比較敏感；否則，該比值較小，意味著該組合的delta值對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化不敏感。

Γ=2ΠS2

4、 ν（vega）

某種標(biāo)的資產(chǎn)的vega值定義該種資產(chǎn)的價格變化對于標(biāo)的資產(chǎn)波動率變化的比率。用公式表示為：

υ=Πσ

這一比率絕對值越大，該證券組合的價值對于波動率的變化敏感；反之，如果vega的絕對值很小，波動率的變化對證券組合的價值影響較小。

5、ρ（Rho）

Rho定義為有價證券組合的價值變化與利率變化之間的比率。用公式表示為：

ρ=Πr

它衡量證券組合的價值對利率變化的敏感性。這一比率越大，證券組合的價值對利率變化越敏感。

（二） 期權(quán)的風(fēng)險敏感度的實證分析

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為某商品期貨，現(xiàn)在價格為S0=3600元，執(zhí)行價格為K=3600元，到期時間為115天，標(biāo)的資產(chǎn)的價格波動率為σ=25%，市場無風(fēng)險利率為r=3%

我們用Black-scholes公式計算可以得到看漲期權(quán)現(xiàn)在的價格為c=217元。假設(shè)期貨價格上升到ST=3700，期貨盈利100元，其它條件不變，我們計算得出期權(quán)的價格上升到c=277元，期權(quán)盈利為60元；如果標(biāo)的資產(chǎn)價格下降到ST=3500，期貨虧損100元，期權(quán)的價格下降到c=166元，期權(quán)虧損51元。我們看到標(biāo)的資產(chǎn)變化價格變化了，期權(quán)的價格也跟著變化，但是期權(quán)價格的變化又并非完全由標(biāo)的資產(chǎn)價格變化來決定。那么在這個變化過程中，由標(biāo)的資產(chǎn)價格變化而引起期權(quán)價格變化的作用有多大呢？

1、Delta的貢獻(xiàn)

我們由期權(quán)的定價公式以及期權(quán)Delta值的定義，可以得出在期貨價格為S=3600元，K=3600元，時間為115天時，期權(quán)的Delta=0.555，因此可以認(rèn)為當(dāng)期貨價格從3600元上升到3700元，由標(biāo)的資產(chǎn)價格變化而引起期權(quán)價格的變化，即Delta的貢獻(xiàn)為55.5元，當(dāng)期貨價格從3600元下降到3500元，由標(biāo)的資產(chǎn)價格變化而引起期權(quán)價格的變化，即Delta的貢獻(xiàn)為-55.5元。

2、 gamma的貢獻(xiàn)

我們在上面對Delta的分析中，已經(jīng)得出標(biāo)的資產(chǎn)價格變化對期權(quán)價格的影響，但是我們知道標(biāo)的資產(chǎn)價格變化之后，Delta值也會變化，因此標(biāo)的資產(chǎn)價格變化對期權(quán)價格的影響不僅是直接的，而且會通過對Delta值的影響而間接地影響期權(quán)的價格。我們通過black-scholes公式及gamma值的定義得出當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格為S=3600元，執(zhí)行價格為K=3600元，時間T=115天的gamma值為0.000782，由gamma值定義，可以得出當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化100元時，gamma值對價格的影響是3.9。

3、 其它部分對價格的貢獻(xiàn)

除了上述的兩個因素外，我們還可以看出當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化100元，期權(quán)的價格對期權(quán)價格變化的影響是0.6，因此影響是比較小的。這些因素是時間，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率，以及市場率。

4、 Theta的貢獻(xiàn)

假設(shè)其他條件不變，標(biāo)的資產(chǎn)價格S=3600，執(zhí)行價格還是K=3600元，波動率還是σ=25%，利率為r=3%，時間往后退遲了一天，期權(quán)的價格從c=217.81變化到c=216.81，我們可以看出標(biāo)的時間對期權(quán)價格的影響為216.81-217.81=-1.01元，這個作用非常小。

5、 vega的貢獻(xiàn)

同樣的，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格沒有變化，執(zhí)行價格，時間都沒有變化，只有標(biāo)的資產(chǎn)波動率發(fā)生了變化，從波動率為σ=25%變化到σ=26%，期權(quán)的價格從c=217.81變化到c=225.80，期權(quán)的價格變化了225.80-217.81=7.99元，這個影響也并不是很大。

6、 Rho對期權(quán)價格的貢獻(xiàn)

最后我們來看看市場利率對期權(quán)價格的影響，假設(shè)其他條件不變，只有利率發(fā)生了變化，從r=3.0%變化到r=3.1%，期權(quán)的價格從c=217.81變化到c=218.37，期權(quán)的價格變化為218.37-217.81=0.56，利率對期權(quán)價格的變化也是非常小。

三、 Delta對沖及gamma對沖

從上面我們的討論可以得出，標(biāo)的資產(chǎn)價格，波動率，市場利率，時間這些因素中，只有標(biāo)的資產(chǎn)價格對期權(quán)價格的波動影響是最大的，我們在風(fēng)險對沖中，關(guān)鍵是要把標(biāo)的資產(chǎn)對期權(quán)價格影響對沖掉。首先，我們應(yīng)該對沖Delta，使組合處于Delta中性。

我們可以通過賣出1份期權(quán)，買進(jìn)△份標(biāo)的資產(chǎn)來對沖標(biāo)的資產(chǎn)價格對期權(quán)的影響。

當(dāng)期權(quán)價格上漲了100，期權(quán)價格變化-60元，對沖盈虧為55.5元，因此對沖后組合的盈虧只為-4.5元，規(guī)避了標(biāo)的資產(chǎn)價格的影響。另外，如果標(biāo)的價格下跌100，期權(quán)獲利51元，對沖頭寸虧損55.5元，組合的盈虧為-4.5元，雖然不對沖會帶來額外的利潤，但是對沖卻可以避免更大的損失。

除了對沖Delta風(fēng)險，我們還需要調(diào)整買進(jìn)（賣出）標(biāo)的資產(chǎn)的頭寸，即對沖gamma風(fēng)險。

我們可以按照先對沖Delta風(fēng)險使組合處于Delta中性狀態(tài)，然后再來對沖gamma風(fēng)險。

例如我們在標(biāo)的資產(chǎn)價格為S=3600元，執(zhí)行價格為K=3600元，賣出一手期權(quán)，買入△份標(biāo)的資產(chǎn)，然后當(dāng)價格上升到S=3700時再買入0.075份標(biāo)的資產(chǎn)，或者當(dāng)價格下降到S=3500時，賣出0.080份標(biāo)的資產(chǎn)從而對沖標(biāo)的資產(chǎn)對期權(quán)價格的二次導(dǎo)影響，達(dá)到新的Delta中性。（作者單位：安徽大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

[1] 期權(quán)、期貨及其他衍生產(chǎn)品（第八版）[M] 約翰·赫爾（John C.Hull）著

[2] 期權(quán)投資從入門到精通（第三版）[M] 托馬斯·邁克卡菲斯（Thomas McCafferty）著