摘 要： 推力矢量控制技術(shù)可以有效地解決飛艇低速飛行時(shí)舵效不足的問(wèn)題，但其具有很強(qiáng)的非線性特性，加之飛艇體積龐大，易受風(fēng)干擾，所以經(jīng)典的控制器難以滿足要求。Backstepping是一種基于遞推反演的非線性控制方法，特別適用于強(qiáng)非線性及存在不確定性的系統(tǒng)。針對(duì)飛艇的六自由度非線性模型，引入Backstepping方法對(duì)帶推力矢量飛艇設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制器并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的非線性控制器具有良好的動(dòng)態(tài)性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)受擾系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定和對(duì)給定偏航角的漸進(jìn)跟蹤。

關(guān)鍵詞： Backstepping控制； 推力矢量； 風(fēng)干擾； 姿態(tài)控制系統(tǒng)

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911?34； V249.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）02?0009?04

0 引 言

平流層飛艇是執(zhí)行戰(zhàn)場(chǎng)偵查、電子對(duì)抗、空中打擊任務(wù)的有力武器平臺(tái)。通過(guò)攜帶不同的任務(wù)載荷，可以完成空中預(yù)警、海岸偵查、邊界監(jiān)視、戰(zhàn)場(chǎng)支持、巡航導(dǎo)彈探測(cè)、反潛、無(wú)線通信、電子干擾及電子對(duì)抗等多種作戰(zhàn)任務(wù)。推力矢量控制技術(shù)大大提升了飛艇的機(jī)動(dòng)能力、操縱效率，但具有很強(qiáng)的非線性特性，同時(shí)平流層飛艇在飛行過(guò)程中受到各種外部干擾的影響，例如風(fēng)干擾、溫度變化影響等，往往使飛艇偏離指定位置，因而設(shè)計(jì)出抗干擾能力強(qiáng)的魯棒飛控系統(tǒng)是非常必要的[1]。

傳統(tǒng)的反饋線性化方法有兩個(gè)非常嚴(yán)重的缺陷：控制量可能會(huì)對(duì)消有用的系統(tǒng)非線性、應(yīng)用需要嚴(yán)格的前提條件。Backstepping設(shè)計(jì)方法是針對(duì)不確定性系統(tǒng)的一種系統(tǒng)化的控制器綜合方法，是將Lyapunov函數(shù)的選取與控制器的設(shè)計(jì)相結(jié)合的一中回歸設(shè)計(jì)方法，它通過(guò)從系統(tǒng)的最低次微分方程開(kāi)始，引入虛擬控制的概念，一步一步設(shè)計(jì)滿足要求的虛擬控制，最終設(shè)計(jì)出真正的控制律[2]。Backstepping設(shè)計(jì)方法有兩個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)：

（1） 它通過(guò)反向設(shè)計(jì)使系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)和控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化；

（2） 可以控制相對(duì)階為n的非線性系統(tǒng)，消除了經(jīng)典無(wú)源設(shè)計(jì)中相對(duì)階為1的限制[3]。

本文將Backstepping理論結(jié)合具體飛艇對(duì)象推導(dǎo)出了帶推力矢量飛艇的非線性控制律，并進(jìn)行了全數(shù)字仿真，得到了滿意的控制效果。

1 Backstepping理論

Backstepping方法，又稱(chēng)反步法、反演法或回退法，是國(guó)外近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新的非線性設(shè)計(jì)方法。該方法通常綜合考慮控制律和自適應(yīng)律，使得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)滿足期望的動(dòng)靜態(tài)性能。它的基本設(shè)計(jì)思想是：將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過(guò)系統(tǒng)階次的子系統(tǒng)，然后為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)部分Lyapunov函數(shù)和中間虛擬控制量，一直“后退”到整個(gè)系統(tǒng)，將它們集成起來(lái)完成整個(gè)控制律的設(shè)計(jì)。虛擬控制律保證內(nèi)核系統(tǒng)的某種性能（如穩(wěn)定性等），其過(guò)程是一種構(gòu)造性的遞歸設(shè)計(jì)方法[4?6]。

考慮一個(gè)n階的非線性系統(tǒng)：

[x1=x2+f1（x1）x2=x3+f2（x1，x2） ?xn=u+fn（x1，…，xn）y=x1] （1） 式中：[xi∈Rn，i=1，2，…，n]表示系統(tǒng)的狀態(tài)，[u∈Rn]為控制輸入量。[fi]是包含不確定參數(shù)化和非參數(shù)化的非線性部分光滑函數(shù)，[i=1，2，…，n]。

Backstepping設(shè)計(jì)就是視每一個(gè)子系統(tǒng)[xi=xi+1+fi（x1，…，xi）]中的[xi+1]為虛擬控制，并引入相應(yīng)的誤差變量[zi+1=xi+1-ρi（x1，x2，…，xi）]。其中[ρi（x1，x2，…，xi）]是待定的鎮(zhèn)定函數(shù)，期望通過(guò)控制使得誤差變量具有某種漸近特性，從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。

以二階系統(tǒng)[（n=2）]為例，Backstepping控制的設(shè)計(jì)步驟如下：

（1） 定義誤差變量[z1=y-yr]，則它的動(dòng)態(tài)方程為：

[z1=x2+f1（x1）-yr] （2） 式中[yr（t）]是參考信號(hào)，考慮上述方程，如果把[x2]看作是控制輸入，則選擇：

[x2=-c1z1-f1（x1）+yr] （3） 式中[c1>0]為設(shè)計(jì)參數(shù)，于是：

[z1=-c1z1] （4）

考慮Lyapunov函數(shù)：

[V1=12z12] （5） 則有：

[V1≤-c1z12] （6）

然而，由于[x2]不是控制輸入，因此，在Backstepping設(shè)計(jì)中，把式（3）叫做虛擬控制（又叫穩(wěn)定化函數(shù)），記為：

[ρ1=-c1z1-f1（x1）+yr] （7）

將式（2）代入式（7），于是得跟蹤誤差方程應(yīng)為：

[z1=x2-ρ1-c1z1]（8）

Lyapunov函數(shù)[V1]的導(dǎo)數(shù)也應(yīng)修正為：

[V1=-c1z12+z1（x2-ρ1）] （9）

（2） 定義誤差變量[z2=x2-ρ1]，則：

[z2=u+f2（x1，x2）-?ρ1?x1（x2+f1（x1））-?ρ1?yryr-?ρ1?yryr] （10）

設(shè)計(jì)控制輸入：

[u=-z1-c2z2-f2（x1，x2）+ρ1 =-z1-c2z2-f2（x1，x2）+?ρ1?x1（x2+f1（x1））+?ρ1?yryr+?ρ1?yryr] （11）

則有：

[z2=-z1-c2z2] （12）

考慮Lyapunov函數(shù)：

[V2=V1+12z22=12z12+12z22] （13）

則有：

[V2=-c1z12-c2z22] （14）

因此由Lyapunov穩(wěn)定性理論，控制律式（11）保證了跟蹤誤差漸近收斂于零。Backstepping具有如下優(yōu)點(diǎn)：通過(guò)反向設(shè)計(jì)使Lyapunov函數(shù)和控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，在處理不確定性上具有較好的效果?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)能夠較好地利用非線性系統(tǒng)中有用的非線性特性，使設(shè)計(jì)出的控制器滿足系統(tǒng)性能要求。能夠較為方便地同時(shí)設(shè)計(jì)控制器和隨時(shí)更新自適應(yīng)律。

2 帶推力矢量飛艇的控制器設(shè)計(jì)

2.1 帶推力矢量的飛艇模型

本文研究的某型帶推力矢量飛艇可以作為剛體處理，在基于一定的假設(shè)前提下，在蘇聯(lián)坐標(biāo)系下，建立飛艇的六自由度動(dòng)力學(xué)方程。飛艇數(shù)學(xué)模型采用兩臺(tái)涵道螺旋槳發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)，分別位于飛艇吊艙兩側(cè)。飛艇模型及坐標(biāo)系如圖1所示。

飛艇的動(dòng)力學(xué)方程[7]：

[My=Iyωy+（Ix-Iz）ωzωx-Ixyωx+ωyωz+ Ixz（ω2x-ω2z）+Iyzωxωy-ωz+ mzG（Vx+ωyVz-ωzVy）-mxG（Vz+ωxVy-ωyVx）]（15）

式中：[My]為繞y軸所受力矩總和；[ωx，y，z]為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；[Ix，y，z]為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；[Vx，y，z]為艇體系相對(duì)于慣性系的地速；[θ]，[γ]，[ψ]為飛艇姿態(tài)角；[α]為飛艇迎角；[β]為飛艇側(cè)滑角。

根據(jù)飛艇所受力和力矩情況，可得橫側(cè)向的總力矩分別為[7]：

[My=MAy+MIy+MGy+MBy+MTy] （16）

其中各力矩定義如下：

流體慣性力力矩[7]：

[MIy=-m55ωy+（m33-m11）UxUz+（m66-m44）ωxωz] （17）

式中：[Ux，z]為艇體系相對(duì)慣性系的空速；[m11，33]為附加質(zhì)量；[m44，55，66]為附加慣量矩。

重力力矩[7]：

[MGy=mg（-zGsin?-xGcos?sinγ）] （18）

式中：[m]為飛艇質(zhì)量；[g]為重力加速度；[xG]，[zG]為飛艇質(zhì)心在x，z軸坐標(biāo)。

空氣動(dòng)力力矩[7]：

[MAy=Q?kmβyβ+mωxyωx+mωyyωy+kmδyyδy] （19）

式中：[?]為飛艇體積。定義[Q=12ρU2；Cji，][mji（i=x，y，z，j=α，β，???，δz）]為氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)；[MB]為浮力力矩。由于浮力直接作用于質(zhì)心，作用于飛艇的力矩為0。

發(fā)動(dòng)機(jī)推力力矩：

[MTy=T（xTsinδTy+zTcosδTycosδTz）] （20）

推力矢量縱向偏角[δTy]和橫側(cè)向偏角[δTz]如圖2所示。正方向的定義見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

2.2 基于Backstepping的姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

飛艇水平面的運(yùn)動(dòng)既包括前向運(yùn)動(dòng)，又包括側(cè)向運(yùn)動(dòng)，但垂直方向的運(yùn)動(dòng)以及橫滾、俯仰運(yùn)動(dòng)都不予考慮[8]。因而有如下簡(jiǎn)化條件：

[ωx=0， ωz=0， Vy=0， θ=0， ?=0 Ix=0， Iz=0， α=0] （21）

根據(jù)飛艇控制器設(shè)計(jì)要求，結(jié)合Backstepping方法控制推力矢量發(fā)動(dòng)機(jī)偏角，穩(wěn)定飛艇偏航角。根據(jù)式（1）和式（2），可得飛艇的橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)式（3），進(jìn)行橫側(cè)向條件化簡(jiǎn)可得：

[ψ=ωyωy=-mIy+m55xGVz+-mIy+m55zGωyVz+MAy+MGy+MTyIy+m55y=ψ] （22）

對(duì)比式（1），可將其視為如下形式：

[x1=x2x2=f（x）+bu+d（x，t）y=x1] （23）

式中：[x=[x1，x2]T]為系統(tǒng)狀態(tài)矢量；[f（x）]為已知函數(shù)；控制變量[b]是時(shí)變的且為依賴(lài)于[x]的一個(gè)已知連續(xù)函數(shù)；[d（x，t）]為時(shí)變的外部干擾不確定項(xiàng)，且滿足不等式[d（x，t）≤ξ]；[ξ]為未知常數(shù)?？傻肹x1=ψ，x2=ωy]為系統(tǒng)狀態(tài)矢量。

對(duì)比式（1）和式（11），可得輸入u的控制律為：

[u=-1b（x）[k2z2+f（x）+z1-ρ（x1）]] （24）

為了消除式（2）中的不確定干擾項(xiàng)[d（x，t）]，提高控制器跟蹤誤差跟蹤的收斂性和控制器的魯棒性，本文根據(jù)非線性阻尼引理[8]，在控制器設(shè)計(jì)中引入非線性阻尼項(xiàng)，則重新定義控制律u為：

[u=-1b（x）[（k2+η）z2+f（x）+z1-ρ（x1）]] （25）

式中：[η]為應(yīng)用非線性阻尼引理后所增加的控制器設(shè)計(jì)參數(shù)，其值為大于零的正數(shù)。

式（22）為飛艇系統(tǒng)縱向被控方程，根據(jù)第2.1節(jié)設(shè)計(jì)步驟推導(dǎo)出期望推力矢量力矩：

[MTy=（Iy+m55）（-（k4+τ）z2-z1+ρ（ψ））+ mxGVz+mzGωyVz-MAy-MGy] （26）

由發(fā)動(dòng)機(jī)推力力矩公式可得：

[MTy=2Tx2T+z2Tcos（δTy-A2）] （27）

由式（21）和式（22）可得期望推力矢量偏角：

[δTy=arccosMTy2Tx2T+z2T+A2] （28）

[δTy]要求在[-90°]～90°之間變化，現(xiàn)在[δTy]通過(guò)轉(zhuǎn)換以后是在[0°]～180°。推力矢量偏角為正時(shí)，飛艇產(chǎn)生低頭力矩，否則產(chǎn)生抬頭力矩，因此當(dāng)[z1>0]時(shí)，需要的[δTy]>0；相反[z1]<0時(shí)[9]，[δTy]<0。則得到：

[sign（δTy）=sign（z1）=sign（Δ?）] （29）

針對(duì)推力矢量發(fā)動(dòng)機(jī)偏轉(zhuǎn)會(huì)影響飛行速度，采用PID方法以飛艇速度為反饋量，控制推力發(fā)動(dòng)機(jī)的油門(mén)開(kāi)度。飛艇橫側(cè)向控制采用推力矢量偏角和發(fā)動(dòng)機(jī)油門(mén)雙環(huán)控制結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

3 仿真研究

為了驗(yàn)證本文中所提出飛艇飛行控制方法的有效性，將所設(shè)計(jì)的Backstepping控制律應(yīng)用于帶風(fēng)干擾的推力矢量飛艇非線性數(shù)學(xué)模型中，通過(guò)控制左、右推力矢量發(fā)動(dòng)機(jī)水平方向偏角穩(wěn)定飛艇偏航角，控制發(fā)動(dòng)機(jī)油門(mén)開(kāi)度控制飛艇飛行速度。飛艇初始速度為20 m/s，初始高度為3 000 m，初始偏航角為0°，給定常值風(fēng)，水平向右風(fēng)速為5 m/s，指定期望偏航角為0°，按式（28）設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器。選取Backstepping控制器的控制參數(shù)為：[k1]=0.37，[k2]=0.28，[η]=0.13。Matlab軟件仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

由仿真結(jié)果可以看出，在風(fēng)干擾的情況下，飛艇速度仍然能夠基本保持在20 m/s，飛艇偏航角也能夠達(dá)到跟蹤值，而且調(diào)節(jié)時(shí)間較短，其他指標(biāo)均能穩(wěn)定在規(guī)定范圍內(nèi)，取得了滿意的控制效果。

4 結(jié) 論

根據(jù)Backstepping理論推導(dǎo)出了使閉環(huán)系統(tǒng)具有Lyapunov穩(wěn)定性的推力矢量飛艇非線性控制律，并在Matlab下進(jìn)行了全數(shù)字仿真，結(jié)果表明在風(fēng)干擾，通過(guò)推力矢量偏角變化可以快速穩(wěn)定飛艇姿態(tài)，使飛艇偏航角能夠跟蹤指令值，很好地達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。Backstepping控制與傳統(tǒng)的針對(duì)非線性系統(tǒng)的控制方法相比，具有不需要精確數(shù)學(xué)模型、克服非線性影響、易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)一步提高了飛艇飛行控制的魯棒性和精確性。

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