王秀剛，劉玉梅，蘇 建，曹曉寧，張益瑞

（吉林大學(xué)交通學(xué)院，長春130022）

轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)阻力矩的大小直接影響轉(zhuǎn)向架的動(dòng)力學(xué)性能［1－2］?；剞D(zhuǎn)阻力矩過大使軌距變大，有可能導(dǎo)致列車脫軌?；剞D(zhuǎn)阻力矩過小，容易引起搖頭蛇行運(yùn)動(dòng)，車輛平穩(wěn)性下降，不利于提高車輛的臨界速度［3］。準(zhǔn)確確定轉(zhuǎn)向架的回轉(zhuǎn)阻力矩－角位移特性，是提高速度及動(dòng)態(tài)性能的關(guān)鍵［4］。西南交通大學(xué)研制的機(jī)車車輛參數(shù)測定系統(tǒng)僅能實(shí)現(xiàn)心盤回轉(zhuǎn)摩擦力矩測試，不能測試旁承摩擦及縱向剛度引起的回轉(zhuǎn)力矩。為更準(zhǔn)確地確定轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)特性，吉林大學(xué)汽車運(yùn)輸研究所在為高速列車系統(tǒng)集成國家工程實(shí)驗(yàn)室研制的轉(zhuǎn)向架參數(shù)測試臺(tái)基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)阻力矩測試功能。本文在詳述了轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩測試方法的基礎(chǔ)上，建立了轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)平臺(tái)位姿反解數(shù)學(xué)模型，并借助于Simulink模型進(jìn)行實(shí)時(shí)解算，利用MATLAB強(qiáng)大的曲線擬合工具箱cftool對(duì)液壓缸伸縮量進(jìn)行了曲線擬合，得到了各作動(dòng)器伸縮量與時(shí)間變量之間的函數(shù)映射關(guān)系，為轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)平臺(tái)提供控制輸入，進(jìn)而為回轉(zhuǎn)力矩測試試驗(yàn)奠定基礎(chǔ)。

1 轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩測試方法

吉林大學(xué)汽車運(yùn)輸研究所開發(fā)研制的轉(zhuǎn)向架參數(shù)測試臺(tái)不僅具有對(duì)一系、二系的垂向、縱向、橫向靜態(tài)剛度進(jìn)行測試的功能，同時(shí)由于試驗(yàn)臺(tái)下部雙六自由度運(yùn)動(dòng)模擬系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)空間六自由度運(yùn)動(dòng)模擬，因此該試驗(yàn)臺(tái)還可實(shí)現(xiàn)動(dòng)剛度、回轉(zhuǎn)力矩等參數(shù)的測定［5］。

回轉(zhuǎn)阻力矩測試時(shí)，只需實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向架在水平面的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，不需要下部雙六自由度平臺(tái)其余自由度的運(yùn)動(dòng)模擬，故通過中間連接裝置將雙六自由度平臺(tái)聯(lián)接成一體。另外利用安裝在下T形槽平臺(tái)上的橫向約束心軸墩，實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)向架的橫向約束，防止轉(zhuǎn)向架橫向移動(dòng)，如圖1所示。將轉(zhuǎn)向架固定在六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上，將車體及加載砝碼放置在待測轉(zhuǎn)向架上實(shí)現(xiàn)空車和重車工況（車體及加載砝碼未在圖1中標(biāo)注），通過固定裝置限制車體在水平面的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。各作動(dòng)器活塞桿在控制系統(tǒng)指令下進(jìn)行伸縮移動(dòng)，六自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)帶動(dòng)轉(zhuǎn)向架作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，回轉(zhuǎn)力矩測試示意圖如圖2所示。

假設(shè)車體與轉(zhuǎn)向架相對(duì)角位移為φ時(shí)，回轉(zhuǎn)力矩為M，回轉(zhuǎn)力矩可表示為

式中：F1為縱向作動(dòng)器的作用力；F2為橫向作動(dòng)器的作用力。

通過分別讀取轉(zhuǎn)臺(tái)狀態(tài)下及裝載轉(zhuǎn)向架狀態(tài)下的縱向作動(dòng)器與橫向作動(dòng)器測力傳感器對(duì)應(yīng)的F1及F2值，并代入式（1）中求得轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)及轉(zhuǎn)向架整體的回轉(zhuǎn)力矩，整體回轉(zhuǎn)力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)本身回轉(zhuǎn)力矩之差即是轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩。利用加載砝碼分級(jí)改變加載載荷來測定轉(zhuǎn)向架隨載荷變化的回轉(zhuǎn)阻力矩特性，可以繪制出轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩－角位移關(guān)系曲線。

圖1 回轉(zhuǎn)力矩測試虛擬樣機(jī)Fig.1 Virtual prototype for rotary torque test

圖2 回轉(zhuǎn)力矩測試示意圖Fig.2 Schematic diagram of rotary torque test

2 位姿反解

六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確測試轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩的關(guān)鍵部分之一，而運(yùn)動(dòng)學(xué)反解是實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的首要任務(wù)。本文引入基于歐拉角的齊次變化矩陣及Simulink仿真環(huán)境建立了平臺(tái)位姿反解實(shí)時(shí)模型，為實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩測試奠定基礎(chǔ)。

2.1 位姿反解模型

本文結(jié)合六自由度運(yùn)動(dòng)模擬系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，選取六自由度平臺(tái)垂向4個(gè)下鉸鏈點(diǎn)所在平面中心為靜坐標(biāo)原點(diǎn)，輪對(duì)與夾具兩個(gè)切點(diǎn)的中點(diǎn)為六自由度平臺(tái)的體坐標(biāo)系原點(diǎn)，靜坐標(biāo)系與體坐標(biāo)系均選取列車的行駛運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閄軸，橫向運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閅軸，鉛直方向?yàn)閆軸。本文利用齊次坐標(biāo)來表示鉸鏈點(diǎn)的空間位置，引入齊次變換矩陣來表示體坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)于靜坐標(biāo)系原點(diǎn)在空間的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，用廣義坐標(biāo)P＝（θ，φ，φ，x，y，z）來描述體坐標(biāo)相對(duì)于靜坐標(biāo)的位姿，θ、φ、φ分別為體坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系的繞x、y、z的姿態(tài)角，x、y、z分別為體坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系沿X、Y、Z坐標(biāo)軸的平移量［6－8］。

結(jié)合結(jié)構(gòu)參數(shù)，8個(gè)作動(dòng)器上鉸鏈點(diǎn)Ai（i＝1，2，…，8）體坐標(biāo)用矩陣形式表示為

8個(gè)作動(dòng)器下鉸鏈點(diǎn)Bi（i＝1，2，…，8）靜坐標(biāo)用矩陣形式表示為

采用ZYX旋轉(zhuǎn)變換方式時(shí)，齊次變換矩陣T表示為［9－10］

式中：“c”代表cos；“s”代表sin。

各作動(dòng)器上、下兩鉸鏈點(diǎn)之間位置向量關(guān)系為［11］

進(jìn)而伸縮量可表示為

2.2 位姿解算

根據(jù)轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩測試技術(shù)要求，六自由度運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)需繞Z軸旋轉(zhuǎn)－5°～5°，角速度為1°／s，故φ取值為［－5°，5°］。平臺(tái)從初始位置以恒定角速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至5°，再逆時(shí)針回轉(zhuǎn)至－5°，試驗(yàn)中角位移隨時(shí)間變化趨勢見圖3。

圖3 角位移隨時(shí)間變化趨勢Fig.3 Changing trend of angle with time

在位姿反解數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，本文建立了Simulink位姿反解仿真模型，包括期望運(yùn)動(dòng)軌跡輸入模塊、坐標(biāo)變換模塊、作動(dòng)器位移模塊及數(shù)據(jù)輸出模塊［12－13］，如圖4所示。

圖4 Simulink位姿反解仿真模型Fig.4 Inverse kinematics Simulink simulation solution model

通過期望運(yùn)動(dòng)軌跡輸入模塊設(shè)置P＝（0，0，φ，0，0，0），φ借助于三角波發(fā)生器模塊生成。采用歐拉算法，設(shè)置時(shí)間步長為0.01 s，運(yùn)行反解模型，8個(gè)作動(dòng)器位移實(shí)時(shí)解算結(jié)果見表1，由于數(shù)據(jù)龐大且文章篇幅有限，表1中只顯示了每階段過渡段數(shù)據(jù)。從表1中可以看出，作動(dòng)器1～4的伸縮量始終一致，8個(gè)作動(dòng)器的伸縮量成非線性變化。0～5 s過程中，8個(gè)作動(dòng)器伸縮量一直呈上升趨勢，5 s時(shí)作動(dòng)器伸縮量達(dá)到最大值，此后5～10 s過程中伸縮量一直處于回降趨勢，且與0～5 s過程中作動(dòng)器伸縮量關(guān)于t＝5 s對(duì)稱。10 s時(shí)作動(dòng)器伸縮量為0，即平臺(tái)回到初始位置。此后5 s內(nèi)伸縮量絕對(duì)值呈上升趨勢，且伸縮量與5～10 s過程中的伸縮量關(guān)于t＝10 s對(duì)稱。

表1 作動(dòng)器位移實(shí)時(shí)解算結(jié)果Table 1 Real-time solution results of actuators displacement

3 伸縮量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系

本文將時(shí)間作為自變量，對(duì)應(yīng)的各作動(dòng)器伸縮量作為因變量，利用MATLAB強(qiáng)大的曲線擬合工具箱cftool［14］，基于最小二乘法對(duì)伸縮量轉(zhuǎn)角及時(shí)間進(jìn)行擬合，進(jìn)而得到各作動(dòng)器伸縮量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，即確定各作動(dòng)器期望運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線。

從作動(dòng)器伸縮量隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖的走向中可以看出其符合分段多項(xiàng)式函數(shù)，分段區(qū)間為［0，5］及［5，10］。通過擬合命令按鈕對(duì)各作動(dòng)器實(shí)時(shí)伸縮量散點(diǎn)圖進(jìn)行分段多項(xiàng)式曲線擬合，選取不同函數(shù)擬合類型，并通過查看擬合效果分析參數(shù)SSE（和方差）、Adjusted R-square（均方差）、R-square（確定系數(shù)）及RMSE（均方根）對(duì)擬合效果進(jìn)行評(píng)估。SSE及RMSE越接近于0，說明函數(shù)方式選擇和擬合越好［15］；Adjusted R-square及R-square越接近于1，表明曲線擬合效果越好。各作動(dòng)器第一分段區(qū)間伸縮量與時(shí)間關(guān)系擬合情況如表2所示，第二區(qū)間擬合評(píng)價(jià)情況不再贅述。從表2可以看出，由于作動(dòng)器1～4二次擬合和三次擬合的效果相差很小，且三次擬合項(xiàng)系數(shù)過小，進(jìn)而選取二次擬合即可。其余4個(gè)作動(dòng)器三次擬合的效果明顯比二次擬合效果好，因此作動(dòng)器5～8伸縮量與時(shí)間成三次方程形式。各作動(dòng)器伸縮量對(duì)應(yīng)的分段多項(xiàng)式函數(shù)為

圖5為各作動(dòng)器期望伸縮量及經(jīng)擬合后得到的期望運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線。從圖5可以看出擬合曲線能準(zhǔn)確地逼近離散數(shù)據(jù)，逼近精度高。目前控制多自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿反解實(shí)時(shí)解算工作主要由計(jì)算機(jī)完成，然后將解算結(jié)果（作動(dòng)器期望伸縮量）送到系統(tǒng)的控制器中，經(jīng)數(shù)／模轉(zhuǎn)換后送給伺服控制系統(tǒng)，各作動(dòng)器協(xié)調(diào)工作，平臺(tái)按預(yù)先期望的規(guī)律運(yùn)動(dòng)。此方法避免了平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中位姿反解在線計(jì)算，節(jié)約了計(jì)算時(shí)間，提高了平臺(tái)運(yùn)動(dòng)精度。同時(shí)降低了對(duì)計(jì)算機(jī)性能的要求，減少了成本。對(duì)于重復(fù)性運(yùn)動(dòng)只需保存位姿反解數(shù)據(jù)，使用時(shí)調(diào)用數(shù)據(jù)即可，避免了反復(fù)計(jì)算，但存在數(shù)據(jù)容易丟失的問題。本文采用將經(jīng)曲線擬合后得到的各作動(dòng)器運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線作為實(shí)際平臺(tái)的控制輸入，通過主控計(jì)算機(jī)發(fā)送指令給伺服作動(dòng)器，從而使各作動(dòng)器跟蹤所輸入的運(yùn)動(dòng)曲線，液壓缸的實(shí)際位移通過位移傳感器并經(jīng)模／數(shù)轉(zhuǎn)換后送給計(jì)算機(jī)，完成閉環(huán)伺服控制，最終平臺(tái)按預(yù)先期望的規(guī)律運(yùn)動(dòng)。

表2 擬合評(píng)價(jià)指標(biāo)Table 2 Fitting evaluation index

圖5 各作動(dòng)器伸縮量散點(diǎn)及擬合曲線圖Fig.5 Expansion amounts scatter and fitting curve of every actuator

4 結(jié)束語

在提出利用轉(zhuǎn)向架綜合參數(shù)測試臺(tái)進(jìn)行轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)力矩測試方案的基礎(chǔ)上，本文利用齊次矩陣及向量運(yùn)算建立了轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)平臺(tái)位姿反解數(shù)學(xué)模型，借助于Simulink模型實(shí)現(xiàn)了位姿反解的實(shí)時(shí)解算，使用MATLAB／cftool曲線擬合工具箱精確地?cái)M合出各作動(dòng)器伸縮量分段函數(shù)曲線，將其做為轉(zhuǎn)向架回轉(zhuǎn)平臺(tái)的控制輸入，為回轉(zhuǎn)力矩測試試驗(yàn)奠定基礎(chǔ)。

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