王卓欣,李禹鵬
(國(guó)網(wǎng)上海市電力公司浦東供電公司,上海 200122)
現(xiàn)代電力系統(tǒng)由于采用了多種控制措施(如短路快速切除、配置先進(jìn)勵(lì)磁控制系統(tǒng)等),功角失穩(wěn)事故的發(fā)生概率大為減少。由于負(fù)荷的持續(xù)增長(zhǎng)、大功率遠(yuǎn)距離交直流輸電的出現(xiàn),電力電子裝置的廣泛運(yùn)用,電壓穩(wěn)定性問(wèn)題已經(jīng)成為威脅電力系統(tǒng)安全的主要問(wèn)題[1]。而電力系統(tǒng)在某初始運(yùn)行狀態(tài)下遭受擾動(dòng),通過(guò)電壓穩(wěn)定性分析,可以確定系統(tǒng)中所有母線電壓維持在可以接收范圍內(nèi)的能力[2]。
作為電壓穩(wěn)定運(yùn)行與控制的基礎(chǔ),電壓穩(wěn)定性理論得到了長(zhǎng)足發(fā)展。雖然電壓穩(wěn)定機(jī)制尚未有統(tǒng)一清晰的解釋[3-5],但目前研究人員根據(jù)實(shí)際情況對(duì)分析問(wèn)題做一定簡(jiǎn)化后提出的電壓穩(wěn)定分析模型,可對(duì)大多數(shù)電壓穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行解釋,并得到眾多有意義的結(jié)論。常見(jiàn)的電壓穩(wěn)定分析方法有靈敏度法、連續(xù)潮流法、時(shí)域仿真法、小擾動(dòng)法等[6]。依照電壓穩(wěn)定分析是否關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化特性,可將已有的方法分為靜態(tài)分析方法和動(dòng)態(tài)分析方法兩大類。本文重點(diǎn)分析有關(guān)電壓穩(wěn)定問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,并通過(guò)分析典型的靜態(tài)分析方法和動(dòng)態(tài)分析方法,為電壓穩(wěn)定分析提供參考。
根據(jù)電壓穩(wěn)定性定義,可用1組微分代數(shù)方程的初值問(wèn)題,描述擾動(dòng)后的電壓變化軌跡,考察擾動(dòng)后的電壓軌跡是否可以收斂到穩(wěn)定平衡點(diǎn)。對(duì)于電壓穩(wěn)定分析的數(shù)學(xué)描述,與暫態(tài)功角穩(wěn)定分析的數(shù)學(xué)描述類似,但電壓穩(wěn)定現(xiàn)象通常具有很長(zhǎng)的時(shí)間跨度,所涉及到的動(dòng)態(tài)元件的響應(yīng)速度相差很大,因此其數(shù)學(xué)模型可表示為不同時(shí)域范圍上的微分代數(shù)方程[7]。系統(tǒng)的暫態(tài)和瞬時(shí)過(guò)程,可用微分代數(shù)方程表示:
式中:˙x為具有快速動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)狀態(tài)變量;y為可瞬時(shí)變化的系統(tǒng)變量;zC為具有慢速動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)狀態(tài)變量;zD為離散變量;p為可變參數(shù)。
系統(tǒng)的中長(zhǎng)期過(guò)程,可用連續(xù)/離散時(shí)間動(dòng)態(tài)方程表示:
zD(k+1)=hD(x,y,zC,zD(k),p) (3)
zC=hC(x,y,zC,zD,p) (4)
式中:k為離散時(shí)間,k=0,1,2,…。
電壓穩(wěn)定分析模型特點(diǎn),如表1所示。
表1 電壓穩(wěn)定分析模型特點(diǎn)
由表1可知,式(1)至式(4)包含了研究系統(tǒng)電壓穩(wěn)定問(wèn)題的全部模型[7],可通過(guò)研究該類微分—差分—代數(shù)方程組獲得電壓穩(wěn)定性信息。顯然,這是十分困難的。在具體工作中,通常根據(jù)關(guān)注的時(shí)域范圍,忽略某些沒(méi)有必要考慮的動(dòng)態(tài)過(guò)程,并根據(jù)具體的研究目的選取不同的分析方法。本文將從數(shù)學(xué)模型式(1)至式(4)出發(fā),對(duì)現(xiàn)有典型電壓穩(wěn)定靜態(tài)和動(dòng)態(tài)分析方法進(jìn)行歸納比較。
由微分方程理論可知[4],若式(1)至式(4)無(wú)平衡點(diǎn),則系統(tǒng)必然發(fā)生電壓崩潰。電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法是將微分代數(shù)方程平衡點(diǎn)是否存在,作為判斷系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的依據(jù)。
令
很顯然,式(1)至式(4)的平衡點(diǎn),即式(5)至式(8)的解。式(5)至式(8)可簡(jiǎn)寫(xiě)為:
式中:u為除p之外所有的變量向量。
式(9)包含了電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析的所有模型,實(shí)際應(yīng)用中包括常規(guī)潮流模型和各種動(dòng)態(tài)元件的平衡點(diǎn)方程[9]。
靜態(tài)分析方法主要研究式(9)的解隨參數(shù)p的緩慢變化的狀況。實(shí)際中參數(shù)p的變化是任意的,為了研究方便,通常選取1種最有代表性的變化模式來(lái)研究。
式中:p0為初始參數(shù)向量;d為參數(shù)增長(zhǎng)方向向量;λ為標(biāo)量,表示參數(shù)向量沿指定方向的增長(zhǎng)大小。
式(9)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為:
參數(shù)λ對(duì)式(11)解的影響,可表示為優(yōu)化問(wèn)題:
該優(yōu)化問(wèn)題即求解式(11)的最優(yōu)解λmax,λmax被稱為靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn),對(duì)靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析具有重要意義。對(duì)式(12)應(yīng)用Kuhn-Tucker最優(yōu)化條件[4]可知,靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)處的雅可比矩陣φu為奇異陣,而各種電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法均建立在此結(jié)論基礎(chǔ)之上。
根據(jù)線性代數(shù)理論,矩陣的奇異性條件之一為該矩陣有1個(gè)特征值為0。因此,可在當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)下將式(11)的雅克比矩陣φu進(jìn)行特征值分解,找到其中模最小的特征值,該特征值的模可以表示當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)處雅可比矩陣的奇異程度,也就是靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的度量[10]。
上述方法可做進(jìn)一步修改。不失一般性,以式(11)作為潮流方程為例,其在當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)(u,λ)處的修正方程為:
式中:ΔP為節(jié)點(diǎn)有功功率平衡量;ΔQ為無(wú)功功率平衡量;Δθ為電壓相角;ΔU為電壓幅值修正量。
假設(shè)ΔP=0,得到:
式中::=表示“定義為”。
由文獻(xiàn)[6]可知,JQU和φu在包括鞍結(jié)分岔點(diǎn)的任何運(yùn)行點(diǎn)處均具有相同的奇異性,因此JQU可以代替φu作為電壓穩(wěn)定裕度的度量。且由JQU的定義可知,其維數(shù)約為φu的一半,因而對(duì)其進(jìn)行特征值分解可節(jié)省大量時(shí)間。此外,根據(jù)文獻(xiàn)[10]的報(bào)道,隨著參數(shù)的增長(zhǎng),JQU的最小特征值,比φu的最小特征值具有更好的線性,更適合作為預(yù)測(cè)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定裕度的指標(biāo)。
特征值分析法是很多靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析方法的基礎(chǔ),具有理論分析上的價(jià)值,但由于提供信息單一,計(jì)算量較大,因而在工程實(shí)際中很少單獨(dú)使用。
特征值分析法只利用到矩陣φu或者JQU中距離原點(diǎn)最近的特征值這一信息,文獻(xiàn)[11,12]對(duì)特征值分析法做進(jìn)一步改進(jìn)。對(duì)JQU進(jìn)行特征值分解:
式中:ξ為JQU的右特征向量;Λ為對(duì)角特征值矩陣;η為左特征向量。
由式(14)、式(15)可得:
由式(16)可知,JQU的特征值及其對(duì)應(yīng)的右特征向量和左特征向量(模態(tài)向量),確定了相應(yīng)母線的Q—U靈敏度,因此該方法被稱為模態(tài)分析法。
模態(tài)分析法[3]可以用來(lái)指明系統(tǒng)在當(dāng)前運(yùn)行條件下的相對(duì)不穩(wěn)區(qū)域,在電壓穩(wěn)定分析中的應(yīng)用較廣泛。利用模態(tài)分析法,構(gòu)造出一種指明系統(tǒng)電壓穩(wěn)定薄弱線路和薄弱節(jié)點(diǎn)的指標(biāo),通過(guò)算例驗(yàn)證了方法的有效性[13]。
工程上常把U—Q曲線上某點(diǎn)的斜率作為該運(yùn)行點(diǎn)下某母線電壓穩(wěn)定性和電壓穩(wěn)定裕度的度量。實(shí)際上,JQU逆矩陣的對(duì)角元素的值代表了相應(yīng)母線處U—Q曲線在該運(yùn)行點(diǎn)處的斜率,即該點(diǎn)處的U—Q靈敏度,通過(guò)其數(shù)值的正負(fù)可以判斷該母線處的電壓穩(wěn)定性狀況[1]。因此,JQU的逆矩陣即最基本的靈敏度矩陣。
更一般地在式(9)的平衡點(diǎn)處,用η(u,p)表示任何感興趣的量,則η(u,p)相對(duì)參數(shù)p變化的靈敏度可由式(17)[4]求得:
式中:▽pη為η(u,p)在參數(shù)向量p張成的空間中的梯度場(chǎng);▽uη為η(u,p)在變量向量u張成的空間中的梯度場(chǎng)。
當(dāng)系統(tǒng)趨向于靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)時(shí),式(17)定義的靈敏度將逐漸趨于無(wú)窮大[14],這可作為判別和監(jiān)視系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的依據(jù)。由于靈敏度法具有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)背景,并且意義明確,所以其在電壓穩(wěn)定分析與控制方面有著比較廣泛的應(yīng)用[15-20]。
若得到式(11)的解隨著λ變化的完整軌跡,即可獲得需要的靜態(tài)電壓穩(wěn)定信息,進(jìn)而確定靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)或當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度。該方法經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)[21-23]的發(fā)展,在理論性和實(shí)用性方面均已比較完善。隨著參數(shù)λ的變化,式(11)的解會(huì)有如下兩個(gè)變化階段:
1)當(dāng)參數(shù)λ從0逐漸增大,且距離靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)尚遠(yuǎn)時(shí),取λ為所謂的“延拓參數(shù)”,逐步求解式(11)。
2)當(dāng)平衡點(diǎn)距離靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)足夠近時(shí),式(11)的雅可比矩陣φu的病態(tài)性會(huì)逐漸增強(qiáng),這時(shí),如果繼續(xù)增大參數(shù)λ,會(huì)導(dǎo)致求解式(11)的牛頓迭代過(guò)程不收斂。此時(shí),需要選取某電壓幅值變量(通常選取最小者或者減小最快者)作為延拓參數(shù),并減小該延拓參數(shù),求解式(11)得到下一個(gè)解點(diǎn)處u中除延拓參數(shù)外的余下分量以及參數(shù)λ的值。若λ開(kāi)始變小,則說(shuō)明運(yùn)行點(diǎn)已經(jīng)越過(guò)了靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限點(diǎn)。
連續(xù)潮流法可以提供許多關(guān)于靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的信息,但需要較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間,因此常與靈敏度法、特征值分析法結(jié)合使用[24-25]。
在靜態(tài)電壓穩(wěn)定研究中,臨界點(diǎn)具有重要意義。連續(xù)潮流法雖然可以得到臨界點(diǎn)在內(nèi)的完整曲線,但由于數(shù)值計(jì)算方法的近似性,并不能直接獲得臨界點(diǎn)的準(zhǔn)確值。直接求取靜態(tài)電壓臨界點(diǎn)時(shí),應(yīng)用牛頓法求解式(11)的“決定性系統(tǒng)”,得到的解即式(11)的臨界點(diǎn)[26]。電力系統(tǒng)中常用Moore-Spence方程描述“決定性系統(tǒng)”[27]:
式中:l為n維任意向量;v為φu(u,λ)的右特征向量。
由文獻(xiàn)[27,28]可知,當(dāng)(u,λ,w)是式(18)的正解時(shí),(u,λ)為式(11)的臨界點(diǎn)。
崩潰點(diǎn)分析法理論背景明確,其難點(diǎn)在于分析實(shí)際電力系統(tǒng)時(shí)方程維數(shù)較高,求解相對(duì)困難。文獻(xiàn)[26,29]提出了兩種降階求解式(18)的方法,應(yīng)用效果良好。此外,文獻(xiàn)[26]指出,崩潰點(diǎn)法和連續(xù)潮流法結(jié)合使用,可提高連續(xù)潮流在崩潰點(diǎn)處的計(jì)算準(zhǔn)確性;文獻(xiàn)[30,31]結(jié)合崩潰點(diǎn)法和連續(xù)潮流法,詳細(xì)分析了交直流混合系統(tǒng)的靜態(tài)電壓穩(wěn)定性,取得流入良好的應(yīng)用效果。
3.1.1 暫態(tài)時(shí)域仿真
數(shù)值積分法是研究大擾動(dòng)后暫態(tài)電壓穩(wěn)定性的最準(zhǔn)確實(shí)用的方法,其研究的時(shí)域范圍小于10 s,涉及到發(fā)電機(jī)機(jī)電暫態(tài)過(guò)程、勵(lì)磁系統(tǒng)、調(diào)速系統(tǒng)、快速無(wú)功補(bǔ)償裝置、HVDC和異步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程。
暫態(tài)時(shí)域仿真的數(shù)學(xué)模型與式(1)至式(4)類似,但不考慮參數(shù)p的緩慢變化,慢動(dòng)態(tài)過(guò)程式(4)也被忽略,則暫態(tài)時(shí)域仿真數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋?/p>
顯然,暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型式(19)、式(20)與暫態(tài)功角穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型完全一致。因此,可以使用相同的數(shù)值積分方法,對(duì)暫態(tài)電壓穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行時(shí)域仿真分析。但在暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析中,發(fā)電機(jī)勵(lì)磁[18]、快速無(wú)功補(bǔ)償裝置[32]以及負(fù)荷的動(dòng)態(tài)特性[33-35]與電壓穩(wěn)定性密切相關(guān),因此在使用暫態(tài)功角穩(wěn)定分析程序進(jìn)行暫態(tài)電壓穩(wěn)定分析時(shí),需要格外注意以上三種動(dòng)態(tài)模型的建立??傮w來(lái)說(shuō),基于數(shù)值積分的時(shí)域仿真法,目前仍是暫態(tài)電壓穩(wěn)定研究中應(yīng)用最廣泛的方法。
3.1.2 中長(zhǎng)期時(shí)域仿真
許多影響電壓穩(wěn)定性的系統(tǒng)元件的響應(yīng)時(shí)間會(huì)持續(xù)數(shù)分鐘,歷史上的電壓崩潰事故也證實(shí)了這一點(diǎn)。典型的影響中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定的因素有投切電容器、勵(lì)磁限制、有載調(diào)壓變壓器、負(fù)荷恢復(fù)特性等。此外,影響暫態(tài)電壓穩(wěn)定性的發(fā)電機(jī)等因素,對(duì)中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定性也會(huì)產(chǎn)生影響。因此,完整的中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定分析研究對(duì)象,包括式(1)至式(4)描述的短期、長(zhǎng)期、離散以及連續(xù)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。
在基于數(shù)值積分方法的中長(zhǎng)期時(shí)域仿真中,需把離散變量作為連續(xù)變量處理[36],即把式(1)至式(4)中的離散長(zhǎng)期變量zD和連續(xù)長(zhǎng)期變量zC,用連續(xù)長(zhǎng)期變量z統(tǒng)一表示;離散長(zhǎng)期過(guò)程hD和連續(xù)長(zhǎng)期過(guò)程hC,用連續(xù)長(zhǎng)期過(guò)程h統(tǒng)一表示。這樣,式(1)至式(4)變?yōu)椋?/p>
式中:x為快動(dòng)態(tài)過(guò)程狀態(tài)變量;y為代數(shù)變量;z為慢動(dòng)態(tài)過(guò)程的狀態(tài)變量。
式(21)至式(23)包含了快動(dòng)態(tài)過(guò)程和慢動(dòng)態(tài)過(guò)程,因而該模型為剛性系統(tǒng)。剛性系統(tǒng)仿真中的步長(zhǎng)有3種處理方法[3,12,36-39]:一是采用足夠小的步長(zhǎng)進(jìn)行數(shù)值積分;二是在快動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束后加大積分步長(zhǎng);三是根據(jù)系統(tǒng)行為自動(dòng)調(diào)整步長(zhǎng)。第1種方法與暫態(tài)穩(wěn)定分析方法沒(méi)有區(qū)別,后兩種方法中變量的變化率可作為調(diào)整步長(zhǎng)的判據(jù)。由于加大了步長(zhǎng),需采用隱式積分法保證數(shù)值穩(wěn)定性,并且需采用微分代數(shù)方程聯(lián)立求解,以保證收斂性。
文獻(xiàn)[40-42]對(duì)基于數(shù)值積分法的中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定時(shí)域仿真的求解方法和建模要求進(jìn)行了論述,并通過(guò)算例分析進(jìn)行驗(yàn)證。目前,用于中長(zhǎng)期時(shí)域仿真的系統(tǒng)建模,仍需要更深入的研究[43]。
3.1.3 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)長(zhǎng)期時(shí)域仿真法
采用數(shù)值積分法求解微分代數(shù)方程,即式(21)至式(23),可對(duì)大擾動(dòng)后的中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定性進(jìn)行精確分析,但該方法計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng),難以考慮參數(shù)連續(xù)增長(zhǎng)和離散動(dòng)作元件對(duì)系統(tǒng)的影響。而在分析中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí),相比于慢動(dòng)態(tài)過(guò)程,快動(dòng)態(tài)過(guò)程會(huì)很快結(jié)束。因此,可以把短期動(dòng)態(tài)方程式(1)用平衡點(diǎn)方程式(5)表示,以提高計(jì)算速度。長(zhǎng)期時(shí)域仿真準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法[7]的數(shù)學(xué)模型為:
應(yīng)用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法處理快動(dòng)態(tài)過(guò)程的合理性,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4,6]。準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)長(zhǎng)期時(shí)域仿真原理示意圖,如圖1所示。
圖1給出了應(yīng)用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法得到的擾動(dòng)后連續(xù)3個(gè)步長(zhǎng)范圍內(nèi)的時(shí)域仿真曲線[14]。其中,縱坐標(biāo)表示某條母線的電壓幅值;h表示時(shí)間步長(zhǎng);點(diǎn)A到A′、B到B′的變化,由通常代表LTC和發(fā)電機(jī)過(guò)勵(lì)磁限制動(dòng)作的離散動(dòng)態(tài)過(guò)程式(25)引起;點(diǎn)A′到B、B′到C的變化,由表示負(fù)荷慢速恢復(fù)特性[8]的長(zhǎng)期連續(xù)動(dòng)態(tài)過(guò)程式(26),或者系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間的緩慢變化引起。圖1中各點(diǎn)的計(jì)算流程如圖2所示。
文獻(xiàn)[7,17,18,44]應(yīng)用該方法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)算例和實(shí)際電力系統(tǒng)算例進(jìn)行分析,結(jié)果表明在進(jìn)行中長(zhǎng)期電壓穩(wěn)定分析時(shí),準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法的精度滿足要求,并且計(jì)算速度較快。但文獻(xiàn)[14]指出,使用該方法需要注意兩方面問(wèn)題:一是擾動(dòng)較大時(shí),準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法可能會(huì)忽略短期的電壓不穩(wěn)定過(guò)程,為此文獻(xiàn)[14]推薦,在暫態(tài)時(shí)域內(nèi)采用數(shù)值積分求解式(1)至式(2),在快動(dòng)態(tài)過(guò)程消失后采用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法求解式(1)至式(4);二是系統(tǒng)發(fā)生電壓崩潰時(shí),可能會(huì)導(dǎo)致暫態(tài)方程式(1)不存在平衡點(diǎn),此時(shí)將無(wú)法使用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)方法進(jìn)行分析,但在實(shí)際應(yīng)用中,電壓崩潰之后的系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性,通常是沒(méi)有實(shí)際意義和研究?jī)r(jià)值的。
時(shí)域仿真方法研究大擾動(dòng)后的電壓穩(wěn)定性非常有效,而對(duì)于系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的小擾動(dòng)穩(wěn)定性可采用微分方程定性理論進(jìn)行分析,通過(guò)研究微分方程解的一般性質(zhì)來(lái)進(jìn)行分析。研究平衡點(diǎn)處的小擾動(dòng)穩(wěn)定性,不需要考慮式(1)至式(4)中參數(shù)p的影響,一般認(rèn)為離散動(dòng)態(tài)元件不動(dòng)作。因此,小擾動(dòng)穩(wěn)定性研究的數(shù)學(xué)模型與式(21)至式(23)完全一致。在大多數(shù)情況下,非線性微分代數(shù)方程組,即式(21)至式(23)的一次線性近似系統(tǒng),可用來(lái)研究原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的局部性質(zhì),此時(shí)可應(yīng)用成熟的線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析。
一次線性近似系統(tǒng)可表示為:
式中:Δ為相應(yīng)變量的擾動(dòng)量;方程左側(cè)為各變量擾動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率;系數(shù)矩陣中的各分量為式(21)至式(23)對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)。
電壓穩(wěn)定問(wèn)題涉及時(shí)間范圍通常較寬[1],同時(shí)涉及到幾乎所有的電力系統(tǒng)機(jī)電和機(jī)械動(dòng)態(tài)過(guò)程。如果對(duì)所有動(dòng)態(tài)元件建立模型并進(jìn)行線性化,則會(huì)帶來(lái)極大的分析難度。因而,如何根據(jù)研究目的建立盡可能簡(jiǎn)化、又能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的模型,成為小擾動(dòng)分析的關(guān)鍵[45]。
嚴(yán)格來(lái)說(shuō),即使研究局部性質(zhì)時(shí),一次線性近似系統(tǒng)也不是總能替代原系統(tǒng)。文獻(xiàn)[46]指出,只有系統(tǒng)雙曲平衡點(diǎn)(該平衡點(diǎn)處的1階線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣沒(méi)有虛軸上的特征值)附近的局部穩(wěn)定性,才可以由線性化方法來(lái)分析,而對(duì)于系統(tǒng)的非雙曲平衡點(diǎn),則需要采用中心流形理論[47]來(lái)分析其局部穩(wěn)定性。
歷史上電壓失穩(wěn)事故表明,隨著系統(tǒng)某些參數(shù)緩慢變化,系統(tǒng)電壓可能會(huì)出現(xiàn)突然崩潰現(xiàn)象[48],該現(xiàn)象可用分岔理論來(lái)分析。
對(duì)式(1)至式(4),不考慮離散變量(或?qū)㈦x散變量連續(xù)化),并把描述快動(dòng)態(tài)過(guò)程和慢動(dòng)態(tài)過(guò)程的微分方程用統(tǒng)一的微分方程~f(·)表示,則應(yīng)用分岔理論分析電壓穩(wěn)定的數(shù)學(xué)模型為:
應(yīng)用一次線性近似系統(tǒng)描述上述模型可得:
假設(shè)gy非奇異,則可消去Δy,進(jìn)而可得:
根據(jù)現(xiàn)有研究成果[14],在單參數(shù)微分代數(shù)方程式(28)至式(29)中,存在3種分岔現(xiàn)象。
1)鞍結(jié)點(diǎn)分岔 在鞍結(jié)分岔點(diǎn),1對(duì)平衡點(diǎn)重合并消失。該分岔現(xiàn)象對(duì)應(yīng)于母線電壓的快速崩潰,在電壓失穩(wěn)中經(jīng)常出現(xiàn)。式(28)至式(29)所述系統(tǒng),處于鞍結(jié)分岔點(diǎn)的判別條件為Fx奇異。實(shí)際上,鞍結(jié)點(diǎn)分岔屬于靜態(tài)分岔范疇。
2)Hopf分岔 在Hopf分岔點(diǎn)處,F(xiàn)x的1對(duì)共軛特征值穿越虛軸。該分岔對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的振蕩失穩(wěn)。文獻(xiàn)[27,28]詳細(xì)分析一般形式單參數(shù)微分系統(tǒng)Hopf分岔的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法;文獻(xiàn)[46]對(duì)電力系統(tǒng)中Hopf分岔的計(jì)算和應(yīng)用做了全面的總結(jié)。
3)奇異誘導(dǎo)分岔 在奇異誘導(dǎo)分岔點(diǎn)處,式(32)中矩陣gy奇異。文獻(xiàn)[49]給出了電力系統(tǒng)奇異誘導(dǎo)分岔點(diǎn)的完整計(jì)算方法;文獻(xiàn)[50]對(duì)電力系統(tǒng)奇異誘導(dǎo)分岔現(xiàn)象進(jìn)行了深入研究。
研究表明,分岔理論可以深刻解釋電壓失穩(wěn)機(jī)理,但由于電力系統(tǒng)的高度復(fù)雜性,分岔理論尚不能作為分析系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的工程實(shí)用方法。
在電壓穩(wěn)定數(shù)學(xué)模型式(1)至式(4)的基礎(chǔ)上,根據(jù)不同研究目的,并且在計(jì)算精度和速度之間進(jìn)行取舍,可對(duì)原模型進(jìn)行不同程度的簡(jiǎn)化,進(jìn)而得到許多具有使用價(jià)值的電壓穩(wěn)定分析方法。電壓穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型演化示意圖如圖3所示。
由圖3可以看出,分析電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定問(wèn)題所采用的各種實(shí)用方法,均可以歸結(jié)為對(duì)非線性微分—代數(shù)系統(tǒng)的研究。當(dāng)研究系統(tǒng)參數(shù)緩慢變化下的系統(tǒng)行為時(shí),可只關(guān)注微分—代數(shù)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)條件,進(jìn)而研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程;當(dāng)研究小擾動(dòng)下的系統(tǒng)行為時(shí),可對(duì)原非線性微分代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行線性化,把研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為線性微分方程;當(dāng)研究大擾動(dòng)下的系統(tǒng)行為時(shí),可使用數(shù)值積分方法求解非線性微分代數(shù)方程,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域仿真分析。
圖3將現(xiàn)有的電壓穩(wěn)定分析方法歸納于一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)框架中,有利于分析具體問(wèn)題時(shí)選取合適的數(shù)學(xué)工具,并為發(fā)展新的電壓穩(wěn)定分析方法以及利用數(shù)學(xué)理論探索電壓穩(wěn)定機(jī)理提供有利條件。
圖3 電壓穩(wěn)定分析數(shù)學(xué)模型演化示意圖
本文在統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型框架內(nèi)對(duì)各種電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法和動(dòng)態(tài)分析方法的理論基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)模型、物理意義和適用范圍進(jìn)行了分析。
電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法中,特征值分析法和靈敏度法可以得到度量當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)下靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的指標(biāo);連續(xù)潮流法可以得到系統(tǒng)電壓隨負(fù)荷增長(zhǎng)的完整曲線;崩潰點(diǎn)法可以準(zhǔn)確快速得到該曲線上的轉(zhuǎn)折點(diǎn),二者可以結(jié)合使用。從理論上說(shuō),靜態(tài)分析方法研究的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的平衡點(diǎn)存在性問(wèn)題,只能給出電壓穩(wěn)定的必要條件,但由于靜態(tài)分析方法簡(jiǎn)單快速,因此得到廣泛應(yīng)用。
電壓穩(wěn)定動(dòng)態(tài)分析方法是深入理解電壓穩(wěn)定機(jī)理和進(jìn)行電壓穩(wěn)定控制的重要基礎(chǔ)和工具。其中,時(shí)域仿真法方法成熟、結(jié)果精確,是進(jìn)行離線分析和驗(yàn)證控制效果的必要工具;小擾動(dòng)分析法具有完整的理論基礎(chǔ),但在電壓穩(wěn)定模型的建立和提高計(jì)算速度方面仍有發(fā)展空間;分岔分析法具有嚴(yán)格的非線性系統(tǒng)理論基礎(chǔ),可以分析電壓穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)本質(zhì),溝通靜態(tài)分析方法和動(dòng)態(tài)分析方法,但不適合分析實(shí)際電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定問(wèn)題。
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