劉永春

摘 要：為了使有理插值樣條在計(jì)算機(jī)圖形和CAD領(lǐng)域有更靈活的應(yīng)用，構(gòu)造了帶有可調(diào)參數(shù)一次有理樣條函數(shù)（1/1型）。該函數(shù)可通過(guò)選取適當(dāng)?shù)男螤顓?shù)使得曲線具有保形性。可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)交互式的修改插值曲線的形狀，以得到滿意的曲線，并證明了此類(lèi)插值函數(shù)的保單調(diào)性和給出了其誤差分析。

關(guān)鍵詞：有理樣條；參數(shù)；保單調(diào)

引言

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，多項(xiàng)式插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產(chǎn)生不必要的震蕩，并且有時(shí)還會(huì)破壞原函數(shù)的單調(diào)性。所以文章構(gòu)造一個(gè)分母分子均為一次的分段有理插值函數(shù)（即1/1型），它具有非常好的保單調(diào)性并得以驗(yàn)證，而且是含有可調(diào)參數(shù)的。帶有可調(diào)參數(shù)的有理插值樣條可以通過(guò)調(diào)節(jié)相應(yīng)區(qū)間上的可調(diào)參數(shù)來(lái)局部改變曲線形狀。因?yàn)楸Ｐ螁?wèn)題一直是插值中一個(gè)很重要的問(wèn)題，實(shí)際的工程問(wèn)題往往要求所構(gòu)造的插值曲線保持被插函數(shù)或者插值點(diǎn)所反映的在插值區(qū)間上的單調(diào)、凹凸性質(zhì)。

1 插值函數(shù)的構(gòu)造

定義 如果函數(shù)s（x）滿足條件：

（i）S（xi）=fi，1，2，…，n

（ii）S（x）在每個(gè)區(qū)間[xi，xi+1]上分子、分母均為一次多項(xiàng)式；

（iii）S（x）在[xi，xn]上是單調(diào)的，

則稱(chēng)S（x）是定義在[xi，xn]上的分段線性保形有理插值。

構(gòu)造上述函數(shù)的表達(dá)式f（x），設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上有定義，區(qū)間[a，b]剖分為a=x1

；令t=（x-xi）/hi；當(dāng)x∈[xi，xi+1]時(shí)，定義：

（1）

其中ui>0是可調(diào)參數(shù)，由式（1）構(gòu)造的函數(shù)明顯滿足以下等式

由此可以得到函數(shù)S（x）滿足上述對(duì)于分段線性保形有理插值定義的條件（i）與（ii）。

2 一元插值函數(shù)的嚴(yán)格保單調(diào)性

定理（嚴(yán)格保單調(diào)性） 已知嚴(yán)格單調(diào)數(shù)據(jù){（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且參數(shù)ui滿足ui+1=（？駐i-1/？駐i）ui-1，i=2，3，…，n-1時(shí)，則有理插值函數(shù)s（x）∈C1[a，b]并且是保單調(diào)的。

證明：不妨假設(shè)f1>f2…>fn或？駐i<0

因?yàn)閟（x）是C0連續(xù)的，為了討論s（x）的一階連續(xù)性，對(duì)式（1）求導(dǎo)，并化簡(jiǎn)得：

因?yàn)?/p>

所以

又由于 ，明顯得到 。

所以函數(shù)S（x）在區(qū)間[xi，xn]上是保單調(diào)的并且是一階連續(xù)的。

3 誤差估計(jì)

因?yàn)槲恼滤鶚?gòu)造的函數(shù)是分段的，故只需考慮在區(qū)間[xi，xi+1]上的情形。

定理 假設(shè) ，s（x）為由（1）定義的分段有理插值函數(shù)，當(dāng) 時(shí)

成立，其中： 。

證明：

其中 ，又設(shè)l（x）是區(qū)間[xi，xi+1]上關(guān)于f（x）的線性插值，即

令

因?yàn)長(zhǎng)i（t）是區(qū)間[0，1]上關(guān)于Pi（t），Qi（t）線性插值，所以有

（2）

（3）

又對(duì)（1）式求二階導(dǎo)數(shù) 得

上式帶入（3）得

（4）

由三角不等式得

（5）

將（2）、（4）式代入（5），即

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)多項(xiàng)式插值的不穩(wěn)定性，構(gòu)造了分子分母均為一次的分段線有理插值函數(shù)（即1/1型），并討論了此插值函數(shù)的保單調(diào)性，而且適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)可調(diào)參數(shù)，可以達(dá)到曲線的保形性。不過(guò)此插值只能處理嚴(yán)格的單調(diào)數(shù)據(jù)，所以，文章所構(gòu)造的插值還有許多不足，需要繼續(xù)改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)

[1]Sarfraz M. Rational Spline Interpolation Preserving the Shape of the Monotonic Data. In Proceedings of the Computer Graphics International'97， IEEE Computer Scociety， 1997：238-244.

[2]Sarfraz M. Interpolatory Rational Cubic Spline with Biased Point and Interval Tension.Comput Graph，1992，16（4）：427-43.

[3]Schabach R. Spezielle Rational Spline Function.Journal of Approximation Theory，1973，7：281- 292.

[4]Duan Q， Price W G， et al. Rational Cubic Spline Based on Function Walues.Comp.&Graph，1998，22：479-486.

[5]Duan Q， Wang X， Cheng F. Constrained Interpolation Using Rational Cubic Spline Curve with Linear Denominators. Korean J， Comput. Appl .Math，1999，6（1）：203-215.

[6]葉懋冬.具有局部插值性質(zhì)的樣條.計(jì)算數(shù)學(xué)，1984，（2）：138-147.

[7]周頌平，虞旦盛.有理逼近的一些最新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2003，32（2）：141-156.

[8]虞旦盛，周頌平.有理逼近的一些最新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2005，34（3）：269-280.

[9]王仁宏.數(shù)值有理逼近[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1980.

[10]王仁宏，朱功勤.有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

摘 要：為了使有理插值樣條在計(jì)算機(jī)圖形和CAD領(lǐng)域有更靈活的應(yīng)用，構(gòu)造了帶有可調(diào)參數(shù)一次有理樣條函數(shù)（1/1型）。該函數(shù)可通過(guò)選取適當(dāng)?shù)男螤顓?shù)使得曲線具有保形性?？梢酝ㄟ^(guò)調(diào)整參數(shù)交互式的修改插值曲線的形狀，以得到滿意的曲線，并證明了此類(lèi)插值函數(shù)的保單調(diào)性和給出了其誤差分析。

關(guān)鍵詞：有理樣條；參數(shù)；保單調(diào)

引言

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，多項(xiàng)式插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產(chǎn)生不必要的震蕩，并且有時(shí)還會(huì)破壞原函數(shù)的單調(diào)性。所以文章構(gòu)造一個(gè)分母分子均為一次的分段有理插值函數(shù)（即1/1型），它具有非常好的保單調(diào)性并得以驗(yàn)證，而且是含有可調(diào)參數(shù)的。帶有可調(diào)參數(shù)的有理插值樣條可以通過(guò)調(diào)節(jié)相應(yīng)區(qū)間上的可調(diào)參數(shù)來(lái)局部改變曲線形狀。因?yàn)楸Ｐ螁?wèn)題一直是插值中一個(gè)很重要的問(wèn)題，實(shí)際的工程問(wèn)題往往要求所構(gòu)造的插值曲線保持被插函數(shù)或者插值點(diǎn)所反映的在插值區(qū)間上的單調(diào)、凹凸性質(zhì)。

1 插值函數(shù)的構(gòu)造

定義 如果函數(shù)s（x）滿足條件：

（i）S（xi）=fi，1，2，…，n

（ii）S（x）在每個(gè)區(qū)間[xi，xi+1]上分子、分母均為一次多項(xiàng)式；

（iii）S（x）在[xi，xn]上是單調(diào)的，

則稱(chēng)S（x）是定義在[xi，xn]上的分段線性保形有理插值。

構(gòu)造上述函數(shù)的表達(dá)式f（x），設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上有定義，區(qū)間[a，b]剖分為a=x1

；令t=（x-xi）/hi；當(dāng)x∈[xi，xi+1]時(shí)，定義：

（1）

其中ui>0是可調(diào)參數(shù)，由式（1）構(gòu)造的函數(shù)明顯滿足以下等式

由此可以得到函數(shù)S（x）滿足上述對(duì)于分段線性保形有理插值定義的條件（i）與（ii）。

2 一元插值函數(shù)的嚴(yán)格保單調(diào)性

定理（嚴(yán)格保單調(diào)性） 已知嚴(yán)格單調(diào)數(shù)據(jù){（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且參數(shù)ui滿足ui+1=（？駐i-1/？駐i）ui-1，i=2，3，…，n-1時(shí)，則有理插值函數(shù)s（x）∈C1[a，b]并且是保單調(diào)的。

證明：不妨假設(shè)f1>f2…>fn或？駐i<0

因?yàn)閟（x）是C0連續(xù)的，為了討論s（x）的一階連續(xù)性，對(duì)式（1）求導(dǎo)，并化簡(jiǎn)得：

因?yàn)?/p>

所以

又由于 ，明顯得到 。

所以函數(shù)S（x）在區(qū)間[xi，xn]上是保單調(diào)的并且是一階連續(xù)的。

3 誤差估計(jì)

因?yàn)槲恼滤鶚?gòu)造的函數(shù)是分段的，故只需考慮在區(qū)間[xi，xi+1]上的情形。

定理 假設(shè) ，s（x）為由（1）定義的分段有理插值函數(shù)，當(dāng) 時(shí)

成立，其中： 。

證明：

其中 ，又設(shè)l（x）是區(qū)間[xi，xi+1]上關(guān)于f（x）的線性插值，即

令

因?yàn)長(zhǎng)i（t）是區(qū)間[0，1]上關(guān)于Pi（t），Qi（t）線性插值，所以有

（2）

（3）

又對(duì)（1）式求二階導(dǎo)數(shù) 得

上式帶入（3）得

（4）

由三角不等式得

（5）

將（2）、（4）式代入（5），即

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)多項(xiàng)式插值的不穩(wěn)定性，構(gòu)造了分子分母均為一次的分段線有理插值函數(shù)（即1/1型），并討論了此插值函數(shù)的保單調(diào)性，而且適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)可調(diào)參數(shù)，可以達(dá)到曲線的保形性。不過(guò)此插值只能處理嚴(yán)格的單調(diào)數(shù)據(jù)，所以，文章所構(gòu)造的插值還有許多不足，需要繼續(xù)改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)

[1]Sarfraz M. Rational Spline Interpolation Preserving the Shape of the Monotonic Data. In Proceedings of the Computer Graphics International'97， IEEE Computer Scociety， 1997：238-244.

[2]Sarfraz M. Interpolatory Rational Cubic Spline with Biased Point and Interval Tension.Comput Graph，1992，16（4）：427-43.

[3]Schabach R. Spezielle Rational Spline Function.Journal of Approximation Theory，1973，7：281- 292.

[4]Duan Q， Price W G， et al. Rational Cubic Spline Based on Function Walues.Comp.&Graph，1998，22：479-486.

[5]Duan Q， Wang X， Cheng F. Constrained Interpolation Using Rational Cubic Spline Curve with Linear Denominators. Korean J， Comput. Appl .Math，1999，6（1）：203-215.

[6]葉懋冬.具有局部插值性質(zhì)的樣條.計(jì)算數(shù)學(xué)，1984，（2）：138-147.

[7]周頌平，虞旦盛.有理逼近的一些最新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2003，32（2）：141-156.

[8]虞旦盛，周頌平.有理逼近的一些最新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2005，34（3）：269-280.

[9]王仁宏.數(shù)值有理逼近[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980.

[10]王仁宏，朱功勤.有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

摘 要：為了使有理插值樣條在計(jì)算機(jī)圖形和CAD領(lǐng)域有更靈活的應(yīng)用，構(gòu)造了帶有可調(diào)參數(shù)一次有理樣條函數(shù)（1/1型）。該函數(shù)可通過(guò)選取適當(dāng)?shù)男螤顓?shù)使得曲線具有保形性?？梢酝ㄟ^(guò)調(diào)整參數(shù)交互式的修改插值曲線的形狀，以得到滿意的曲線，并證明了此類(lèi)插值函數(shù)的保單調(diào)性和給出了其誤差分析。

關(guān)鍵詞：有理樣條；參數(shù)；保單調(diào)

引言

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，多項(xiàng)式插值是其中典型的方法。然而生成的曲線雖然具有較好的光滑性，但容易產(chǎn)生不必要的震蕩，并且有時(shí)還會(huì)破壞原函數(shù)的單調(diào)性。所以文章構(gòu)造一個(gè)分母分子均為一次的分段有理插值函數(shù)（即1/1型），它具有非常好的保單調(diào)性并得以驗(yàn)證，而且是含有可調(diào)參數(shù)的。帶有可調(diào)參數(shù)的有理插值樣條可以通過(guò)調(diào)節(jié)相應(yīng)區(qū)間上的可調(diào)參數(shù)來(lái)局部改變曲線形狀。因?yàn)楸Ｐ螁?wèn)題一直是插值中一個(gè)很重要的問(wèn)題，實(shí)際的工程問(wèn)題往往要求所構(gòu)造的插值曲線保持被插函數(shù)或者插值點(diǎn)所反映的在插值區(qū)間上的單調(diào)、凹凸性質(zhì)。

1 插值函數(shù)的構(gòu)造

定義 如果函數(shù)s（x）滿足條件：

（i）S（xi）=fi，1，2，…，n

（ii）S（x）在每個(gè)區(qū)間[xi，xi+1]上分子、分母均為一次多項(xiàng)式；

（iii）S（x）在[xi，xn]上是單調(diào)的，

則稱(chēng)S（x）是定義在[xi，xn]上的分段線性保形有理插值。

構(gòu)造上述函數(shù)的表達(dá)式f（x），設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上有定義，區(qū)間[a，b]剖分為a=x1

；令t=（x-xi）/hi；當(dāng)x∈[xi，xi+1]時(shí)，定義：

（1）

其中ui>0是可調(diào)參數(shù)，由式（1）構(gòu)造的函數(shù)明顯滿足以下等式

由此可以得到函數(shù)S（x）滿足上述對(duì)于分段線性保形有理插值定義的條件（i）與（ii）。

2 一元插值函數(shù)的嚴(yán)格保單調(diào)性

定理（嚴(yán)格保單調(diào)性） 已知嚴(yán)格單調(diào)數(shù)據(jù){（xi，fi）i=1，2，…，n}，u1>0，u2>0并且參數(shù)ui滿足ui+1=（？駐i-1/？駐i）ui-1，i=2，3，…，n-1時(shí)，則有理插值函數(shù)s（x）∈C1[a，b]并且是保單調(diào)的。

證明：不妨假設(shè)f1>f2…>fn或？駐i<0

因?yàn)閟（x）是C0連續(xù)的，為了討論s（x）的一階連續(xù)性，對(duì)式（1）求導(dǎo)，并化簡(jiǎn)得：

因?yàn)?/p>

所以

又由于 ，明顯得到 。

所以函數(shù)S（x）在區(qū)間[xi，xn]上是保單調(diào)的并且是一階連續(xù)的。

3 誤差估計(jì)

因?yàn)槲恼滤鶚?gòu)造的函數(shù)是分段的，故只需考慮在區(qū)間[xi，xi+1]上的情形。

定理 假設(shè) ，s（x）為由（1）定義的分段有理插值函數(shù)，當(dāng) 時(shí)

成立，其中： 。

證明：

其中 ，又設(shè)l（x）是區(qū)間[xi，xi+1]上關(guān)于f（x）的線性插值，即

令

因?yàn)長(zhǎng)i（t）是區(qū)間[0，1]上關(guān)于Pi（t），Qi（t）線性插值，所以有

（2）

（3）

又對(duì)（1）式求二階導(dǎo)數(shù) 得

上式帶入（3）得

（4）

由三角不等式得

（5）

將（2）、（4）式代入（5），即

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)多項(xiàng)式插值的不穩(wěn)定性，構(gòu)造了分子分母均為一次的分段線有理插值函數(shù)（即1/1型），并討論了此插值函數(shù)的保單調(diào)性，而且適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)可調(diào)參數(shù)，可以達(dá)到曲線的保形性。不過(guò)此插值只能處理嚴(yán)格的單調(diào)數(shù)據(jù)，所以，文章所構(gòu)造的插值還有許多不足，需要繼續(xù)改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)

[1]Sarfraz M. Rational Spline Interpolation Preserving the Shape of the Monotonic Data. In Proceedings of the Computer Graphics International'97， IEEE Computer Scociety， 1997：238-244.

[2]Sarfraz M. Interpolatory Rational Cubic Spline with Biased Point and Interval Tension.Comput Graph，1992，16（4）：427-43.

[3]Schabach R. Spezielle Rational Spline Function.Journal of Approximation Theory，1973，7：281- 292.

[4]Duan Q， Price W G， et al. Rational Cubic Spline Based on Function Walues.Comp.&Graph，1998，22：479-486.

[5]Duan Q， Wang X， Cheng F. Constrained Interpolation Using Rational Cubic Spline Curve with Linear Denominators. Korean J， Comput. Appl .Math，1999，6（1）：203-215.

[6]葉懋冬.具有局部插值性質(zhì)的樣條.計(jì)算數(shù)學(xué)，1984，（2）：138-147.

[7]周頌平，虞旦盛.有理逼近的一些最新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2003，32（2）：141-156.

[8]虞旦盛，周頌平.有理逼近的一些最新進(jìn)展[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2005，34（3）：269-280.

[9]王仁宏.數(shù)值有理逼近[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980.

[10]王仁宏，朱功勤.有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.