王海波，王仁坤

（中國水電顧問集團 成都勘測設(shè)計研究院有限公司，四川 成都 610072）

水管冷卻混凝土溫度場計算的三維p型有限元法

王海波，王仁坤

（中國水電顧問集團 成都勘測設(shè)計研究院有限公司，四川 成都 610072）

引入階譜與自適應(yīng)技術(shù)，將p型有限元法應(yīng)用于水管冷卻混凝土溫度場的仿真計算，通過對單元升階譜，以擴大容許函數(shù)空間來提高數(shù)值解精度，并編制了p型自適應(yīng)有限元計算程序。針對同一計算模型，分別采用不同網(wǎng)格密度的常規(guī)有限元法和p型有限元法進行了水管冷卻混凝土溫度場的計算分析和對比研究。結(jié)果表明，p型有限元法的計算結(jié)果在網(wǎng)格稀疏的情況下仍然能夠達到較高的精度，特征點溫度時程線和溫度場等值線與精細算法值吻合得較好，而常規(guī)有限元法則誤差相對較大。同時，采用p型有限元法進行水管冷卻混凝土溫度場模擬，可以在保證計算精度的前提下減少單元數(shù)量，從而降低前處理的難度、工作量以及計算的時間成本。

p型有限元法；水管冷卻；溫度場；混凝土

1 研究背景

水管冷卻是混凝土壩施工中控制溫度、防止裂縫的重要方法之一。自20世紀30年代在美國胡佛拱壩施工中首次成功應(yīng)用以來，已在大體積混凝土施工中得到廣泛應(yīng)用，但水管冷卻效果的計算一直是混凝土溫度仿真計算的難點。美國墾務(wù)局利用分離變量法得到了無熱源平面問題的嚴格解答和空間問題的近似解答［1］，由于沒有考慮內(nèi)熱源，該解答只適用于混凝土二期水管冷卻溫度場的計算。為了解決該難題，朱伯芳院士［2］提出了混凝土水管冷卻效果的等效算法，該方法將冷卻水管看成熱匯，從能量等效的角度出發(fā)，在平均意義上反映水管的冷卻效果，不考慮壩體內(nèi)水管的具體布置型式，因此無需劃分密集的有限元網(wǎng)格就可以計算考慮水管冷卻的混凝土溫度場，使冷卻水管問題得到極大的簡化，有效地避免了計算網(wǎng)格過密、計算工作量過大的問題，在計算機軟硬件條件仍不具備的情況下，該方法不失為一種有效的辦法，更符合工程實際應(yīng)用的需要。然而，水管冷卻效果其實是一個由內(nèi)向外逐漸擴散的過程，等效算法不能真實反映沿程水溫變化對混凝土溫度的影響，對水管周邊混凝土的溫度梯度無法模擬，無法反映局部區(qū)域的應(yīng)力變化過程。

水管離散算法［3-4］在計算中考慮了密集而走向復雜的水管，能夠精確地模擬水管在混凝土壩中的具體位置及布置型式，可以較好地體現(xiàn)水管周邊混凝土溫度由近及遠逐漸擴散的過程，以及水管周圍區(qū)域中溫度梯度所導致的應(yīng)力變化差異［5］。但為了保證計算精度，在水管周圍必須劃分密集的有限元網(wǎng)格，對于混凝土高壩，澆筑層數(shù)多、施工工期長，溫度場的仿真分析需要很長的計算時間，計算效率低。因此，精細算法目前只能用于個別特別重要的、需要反映局部區(qū)域溫度和應(yīng)力變化過程的工程結(jié)構(gòu)，其擴大計算能力需從硬件進步和算法改進方面進行研究。針對此問題，子結(jié)構(gòu)技術(shù)［6］、復合單元算法［7］等引入到水管離散算法中后，在一定程度上降低了算法對計算機的要求，但是需要使用節(jié)點凝聚技術(shù)或一些必要的假定，其有限元格式比較復雜。

有限單元法作為一種數(shù)值模擬方法，對于一個給定的問題，從逼近真實解的途徑分類，可以分為三種：（1）h型［8］。即傳統(tǒng)的有限元方法，通過減小單元尺寸，增加單元個數(shù)和節(jié)點個數(shù)，來提高有限元解的精度；（2）p型［9］。不改變網(wǎng)格，通過增加基函數(shù)多項式的階數(shù)，擴大容許函數(shù)空間，從而使計算值逼近真實值；（3）hp型 。h型和p型相結(jié)合，既加密有限元網(wǎng)格，又增加各單元基函數(shù)的階次。研究表明，h型有限元通過增加單元和結(jié)點數(shù)量來提高計算精度，需要強有力的網(wǎng)格生成軟件，而p型有限元從減輕前處理工作量和實現(xiàn)離散的客觀控制出發(fā)，不僅計算精度高、收斂速度快，而且具有輸入量少、對初始網(wǎng)格要求低等優(yōu)點。

當前，p型有限元一般都采用階譜單元，因此，基函數(shù)具有階譜特性的p型有限單元法，也稱為階譜有限單元法。針對水工結(jié)構(gòu)分析問題，程昭等［11］提出了三維升階譜有限元分析方法；陳勝宏等［12］進一步提出了二維問題的p型自適應(yīng)分析策略，并將自適應(yīng)有限元方法歸類為全域升階方法、單元升階方法和自由度升階方法等3類；費文平等［13-15］將p型自適應(yīng)有限元分析方法推廣到三維彈黏塑性領(lǐng)域和滲流領(lǐng)域；許桂生等［16］將p型元應(yīng)用于含排水孔滲流場復合單元法分析中；張楊等［17-18］將p型有限元方法引入到了混凝土溫度場模擬中。

可以看出，p型有限元法已在水工結(jié)構(gòu)數(shù)值分析中得到越來越廣泛的應(yīng)用。但是，有關(guān)p型有限元的研究成果均未涉及到含冷卻水管的混凝土溫度場仿真計算?；诖耍疚膹奶岣哂嬎憔?、減小前處理工作量和加快計算速度的角度出發(fā)，將p型有限元法應(yīng)用于水管冷卻混凝土溫度場的模擬。在采用稀疏網(wǎng)格的條件下，通過對單元升階譜，擴大容許函數(shù)空間來提高數(shù)值解精度，并編制了p型有限元自適應(yīng)程序。針對同一算例，分別采用不同網(wǎng)格密度的常規(guī)有限元法和p型有限元法進行水管冷卻混凝土溫度場的計算分析和對比研究。結(jié)果表明，p型有限元法的計算結(jié)果在網(wǎng)格稀疏的情況下仍然能夠達到較高的精度，且前處理工作量和計算的時間成本均顯著降低，能夠有效克服水管冷卻混凝土溫度場等效算法和精細算法的不足。

2 三維階譜單元及其基函數(shù)

p型有限單元法是由常規(guī)的位移協(xié)調(diào)元結(jié)合數(shù)量逐步增加的附加自由度而構(gòu)成的，這些附加的自由度以不違反位移連續(xù)條件的多項式作為基函數(shù)。有限元解的精度依賴于所取容許函數(shù)空間的大小，以及每個單元上線性獨立基函數(shù)的個數(shù)。在p型有限元分析中，當利用低階單元不能滿足所需精度要求時，需在保持初始網(wǎng)格不變的情況下提高單元的階次，而傳統(tǒng)的C0型單元的插值基函數(shù)的缺點是，當?shù)碗A單元升為高階單元時，低階單元的各個基函數(shù)也都隨之變化，因此不適合于p型有限單元的分析。

Petruska指出［11］，對于C0連續(xù)性問題，即只要求位移本身連續(xù)的問題，不管近似函數(shù)是否連續(xù)可微，只要h收斂性存在，則p收斂性必定存在。因此，在網(wǎng)格較為稀疏的情況下，采用p型有限元計算，通過提高單元的階次，擴大容許函數(shù)空間，來提高計算精度是切實可行的。

2.1 階譜單元常規(guī)有限元法中使用的是傳統(tǒng)的C0型單元，而p型有限元則使用階譜單元。以Hpi表示單元尺寸不變時pi階階譜單元的逼近空間，階譜的概念是低階單元逼近空間是高階單元逼近空間的一個子集，即

式中：p1＜p2＜…＜pi＜…＜pn。

因此，低階單元剛度矩陣是高階單元剛度矩陣的子塊，在升階過程中只需在原有低階單元的剛度和荷載矩陣方程的基礎(chǔ)上擴充新的行和列就可得到新的矩陣方程。

與傳統(tǒng)C0型單元的區(qū)別是，階譜單元由虛結(jié)點和實結(jié)點共同構(gòu)成，統(tǒng)稱為廣義結(jié)點，結(jié)點參數(shù)不一定都具有節(jié)點函數(shù)值的物理意義，原來傳統(tǒng)C0型單元插值函數(shù)所具有的性質(zhì)也不再保持了，但單元的收斂性質(zhì)并未改變。單元升階即是在保持原有低階單元結(jié)點不變的基礎(chǔ)上，增加新的廣義結(jié)點。

2.2 階譜單元的基函數(shù)傳統(tǒng)的C0型單元的場函數(shù)由實結(jié)點基函數(shù)和實結(jié)點參數(shù)值近似得到，在階譜單元中，虛結(jié)點的自由度和實結(jié)點的自由度同等對待，單元插值函數(shù)由廣義結(jié)點的參數(shù)值及對應(yīng)的基函數(shù)共同構(gòu)成。廣義結(jié)點基函數(shù)包括點基函數(shù)、棱基函數(shù)以及體基函數(shù)［11］。

隨著單元階次的提高，基函數(shù)個數(shù)增加，單元插值多項式變?yōu)楦唠A多項式，要保證積分精度，則需要更多的高斯積分點，因而計算量成倍增加。為減小運算量，采用n階Legendre正交多項式。即：

2.3 誤差估計與自適應(yīng)升階方法有限單元法給出的是近似解，它與精確解的差值即為誤差，即：

對Ne個單元的網(wǎng)格，定義誤差的能量范數(shù)為：

對于p型有限單元法，一種較為簡便的估計方法是，取高階計算值作為精確值的“最佳估計”。定義精確解的能量范數(shù)為：

指定et為計算控制誤差。取無量綱的相對誤差度量，定義相對誤差為：

則如果e＞et，則需在下次計算中將單元i的階次由p升至p+1；如果所有單元均滿足e≤et，則計算精度滿足要求，自適應(yīng)過程結(jié)束。

p型自適應(yīng)是指在有限元計算網(wǎng)格固定不變的情況下，在溫度場精度不夠的區(qū)域，提高單元形函數(shù)的階次，以改善溫度場分析的精度。常見的p型自適應(yīng)升階方案有全域升階法、單元升階法和自由度升階法三種。綜合分析表明，單元升階法易于在復雜水工結(jié)構(gòu)的溫度場分析中實施［17］，在本文水管冷卻混凝土溫度場的研究中將采用單元升階法。

在混凝土溫度場p型自適應(yīng)計算過程中，計算工作量的大小是一個非常重要的問題。一般來說，在邊界以及冷卻水管周邊混凝土溫度梯度較大的區(qū)域，根據(jù)精度要求，這部分單元會自動升階，此時計算量相對較大；而通水冷卻結(jié)束后，水管周邊混凝土溫度梯度減小，在滿足給定精度的前提下，這部分混凝土單元的階數(shù)可以自動降低，從而減小計算量。

3 水管冷卻混凝土溫度場的p型有限元法

3.1 三維非穩(wěn)定溫度場的階譜有限元法運用p型有限元法求解溫度場時，三維不穩(wěn)定溫度場的控制方程與常規(guī)有限元法相同。利用變分原理，對非穩(wěn)定溫度場的熱傳導方程式采用空間域離散，時間域差分，即可得到三維非穩(wěn)定溫度場的有限元—差分支配方程［2］如下：

滿足熱傳導方程的解有無限多，為了根據(jù)式（7）確定需要的溫度場，還必須知道結(jié)點的溫度初值和邊界值。階譜單元由虛結(jié)點和實結(jié)點共同構(gòu)成，其中實結(jié)點的溫度初值和邊界值的確定與常規(guī)有限元相同，而新增的基函數(shù)在相應(yīng)的虛結(jié)點處的值不為1，原有基函數(shù)在新增的虛結(jié)點處的值也不等于0，所以虛結(jié)點處的溫度值已不再具有原來的物理意義，只是形式意義上的溫度?？紤]到虛結(jié)點的溫度值僅起到插值作用，因此，可通過溫度場的初始條件和邊界條件來確定溫度場函數(shù)在初始時刻和邊界上的分布形式，從而確定虛結(jié)點的溫度初值和邊界值。

對于初值問題，由于溫度場計算開始時刻通常取為混凝土開始澆筑時刻，因此時混凝土水化放熱還未開始，計算域內(nèi)溫度值可取為混凝土的澆筑溫度，即溫度場函數(shù)為常數(shù)，所以虛結(jié)點上的溫度初值可取為0。

對于邊界值問題，不穩(wěn)定溫度場的邊界條件通常分為三類：混凝土表面溫度是時間的已知函數(shù)；混凝土表面與外界的熱流量是時間的已知函數(shù)；混凝土表面的熱流量與邊界溫度相關(guān)，混凝土與空氣接觸時，熱流量與混凝土表面溫度和氣溫差值成正比。因此，在任一固定時刻，這三類邊界上的溫度函數(shù)均可表達為x、y、z的一次多項式，故邊界上虛結(jié)點的溫度值也取為0。

在解決了階譜單元中虛結(jié)點的溫度初值問題和邊界值問題后，根據(jù)遞推公式（7），即可確定任一時刻的結(jié)點溫度{

3.2 冷卻水管沿程水溫的精細求解根椐熱傳導定律和熱量平衡條件，可得水管沿程水溫的增量［4］：

式中：qw、cw和ρw分別為冷卻水的流量、比熱和密度；λ為混凝土的導熱系數(shù)；n為混凝土與水管之間混凝土面的外法線。

先設(shè)整個水管沿程水溫等于入口水溫，利用上述公式，對每一根冷卻水管沿水流方向可以逐段推求沿程管內(nèi)水體的溫度，再沿程累加得到水管邊界每個結(jié)點的水溫，從而得到整個計算域溫度場的解。水管的沿程水溫計算與溫度梯度?T?n有關(guān)，因此有水管冷卻的混凝土溫度場為邊界非線性場問題，須采用迭代解法逐步逼近真解。

4 算例

4.1 計算條件設(shè)一混凝土澆筑塊，長×寬×高=100.0 m×6.0 m×6.0 m。一次性澆筑完畢，在澆筑層中間布置兩層共4根塑料冷卻水管，水管間距為1.5 m×1.5 m，水管內(nèi)徑φ=28 mm，壁厚h=2 mm，導熱系數(shù)混凝土澆筑溫度T0=26℃，絕熱溫升環(huán)境溫度變化規(guī)律為塊體表面散熱。冷卻水溫度Tw=20℃，通水時長18d。計算模型分別見圖1和圖2，表1給出了混凝土塊體粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格的節(jié)點和單元數(shù)量。

圖1 有限元計算模型

表1 混凝土塊計算網(wǎng)格數(shù)比較

圖2 水管周圍單元（Y截面）

為對比分析需要，選取5個特征點，如圖3所示。特征點A位于水管壁面上，坐標值為（3.761，65.5，3.761）；特征點B位于水管所在超單元結(jié)點上，坐標值為（4.5，65.5，4.5）；特征點C位于混凝土塊體4根水管所在單元的中心位置，坐標值為（3.0，65.5，3.0）；特征點D位于塊體頂面中心偏下位置，坐標值為（3.0，65.5，5.5）；特征點E位于塊體頂面中心位置，坐標值為（3.0，65.5，6.0）。

三維細網(wǎng)格采用水管冷卻混凝土溫度場的精細算法進行計算，并假定采用精細算法得到的混凝土溫度場的解為“精確解”（圖2（b））。為了提高粗網(wǎng)格的計算精度，應(yīng)用水管冷卻混凝土溫度場的p型有限元法對其進行計算（圖2（a））。采用p型升階方案中的單元升階法，在外邊界以及冷卻水管周邊混凝土溫度梯度較大的區(qū)域，根據(jù)精度要求，這部分單元自動升階。在本算例中，水管周邊單元分別自動升至2階。通水冷卻結(jié)束后，水管周邊混凝土溫度梯度減小，這部分混凝土單元的階數(shù)自動降低。塊體5個散熱面上的單元也分別自動升至2階，其他仍按常規(guī)有限單元處理。

具體計算方案見表2。

圖3 特征點位置（Y=65.5m截面）

表2 計算方案

4.2 p型有限元方法的計算精度5個特征點在4種工況下的計算結(jié)果見圖4—圖6。

計算結(jié)果分析如下。

（1）混凝土塊體內(nèi)有無冷卻水管時，特征點溫度變化是明顯的，水管冷卻降溫效果顯著。如水管壁面特征點A在有、無水管冷卻時的溫度峰值分別為39.5℃和47.4℃。通水冷卻結(jié)束后，水管周邊溫度有小幅度的回升。（2）粗網(wǎng)格水管冷卻混凝土溫度場的p型有限元p=2階的計算結(jié)果與細網(wǎng)格水管冷卻混凝土溫度場的精細算法的計算結(jié)果整體吻合較好。該算例直觀地表明，p型有限元法在網(wǎng)格粗糙的情況下仍具有較好的解題精度，能夠較準確地模擬含冷卻水管的混凝土溫度場，在水管冷卻混凝土溫度場的數(shù)值仿真計算中顯示了其優(yōu)越性。p型有限元法應(yīng)用于水管冷卻混凝土溫度場的仿真計算是完全可行的。

圖4 5個特征點在4種工況下的溫度變化時程曲線

圖5 通水冷卻6d溫度等值線（單位：℃）

（3）在溫度峰值時，常規(guī)有限元計算粗網(wǎng)格的溫度值明顯大于準確值。而p型有限元p=2階計算粗網(wǎng)格的溫度值與常規(guī)有限元計算細網(wǎng)格的溫度值一直吻合較好。如粗網(wǎng)格條件下常規(guī)有限元計算時水管壁面特征點A的最高溫度為44.6℃，而細網(wǎng)格該點的最高溫度為39.5℃，粗網(wǎng)格p型有限元p=2階時該點的最高溫度為39.8℃，細網(wǎng)格精細算法與粗網(wǎng)格p型有限元算法的溫度峰值僅相差0.3℃?？梢?，常規(guī)有限元計算粗網(wǎng)格的結(jié)果誤差較大，而采用p型有限元計算粗網(wǎng)格的值與準確值吻合得較好。

圖6 通水冷卻結(jié)束（18d）時溫度等值線（單位：℃）

（4）在降溫階段的后期，常規(guī)有限元計算粗網(wǎng)格的溫度值明顯小于準確值。而粗網(wǎng)格p型有限元法溫度值與準確值誤差始終控制在0.6℃以內(nèi)。

（5）根據(jù)前述其它特征點溫度值分析，可以認為粗網(wǎng)格p型有限元p=2階的計算精度是滿足要求的?，F(xiàn)對塊體邊界特征點D、E的計算結(jié)果進行分析。塊體邊界為散熱面，溫度梯度較大，當采用粗網(wǎng)格計算時，散熱面上的單元分別升至2階?？梢钥闯觯A前后D點溫度峰值分別為37.8℃和37.1℃，而細網(wǎng)格常規(guī)有限元計算時該點溫度峰值也僅有37.3℃；升階前后E點溫度峰值分別為26.80℃和26.68℃，而細網(wǎng)格常規(guī)有限元計算時該點溫度峰值為26.72℃，溫度峰值相差不大，但據(jù)溫度時程線可以發(fā)現(xiàn)，差別主要體現(xiàn)在峰值齡期過后。可見，粗網(wǎng)格采用常規(guī)有限元計算時在散熱邊界處誤差較大，而升階后，計算溫度值和“精確解”（細網(wǎng)格精細算法計算值）較接近。

4.3 p型有限元方法的計算時間效益本文算例中所有的計算工況都是在同一臺計算機上完成的，該計算機的 CPU為 Pentium Dual-Core，頻率為2.50 GHz，物理內(nèi)存為2.0 GB。計算程序為自行編制，程序語言為FORTRAN。表3給出了不同工況下混凝土塊體溫度場仿真計算的計算耗時。從表3可以看出，在網(wǎng)格密度相同的情況下，由于p型有限元方法比常規(guī)有限元方法多出了一些虛節(jié)點，因此計算量相對較大，計算耗時也較長。但在取得相同計算精度的條件下，p型有限元法可以采用比較稀疏的網(wǎng)格，所以總體上廣義節(jié)點數(shù)一般是減少的，計算所用的時間成本仍是下降的。

表3 不同計算方案的計算耗時

因為本文的算例是混凝土塊體，尺寸較小，對于大體積混凝土結(jié)構(gòu)，如混凝土壩來說，如果采用本文提出的水管冷卻混凝土溫度場的p型有限元方法進行計算分析，對大壩剖分較少的單元，計算時只對壩體表面溫度梯度較大區(qū)域和冷卻水管周邊單元進行升階，同樣可以達到與精細算法相同的精度，而采用p型有限元方法后，前處理的難度、工作量以及計算耗時都將明顯下降。

5 結(jié)論

水管冷卻混凝土溫度場的計算方法是國內(nèi)外學者研究的熱點。為克服水管冷卻混凝土溫度場等效算法和精細算法的不足，本文從提高計算精度、減小前期工作量和提高計算效率出發(fā)，引入階譜與自適應(yīng)技術(shù)，將p型有限元法應(yīng)用于水管冷卻混凝土溫度場的仿真計算，并編制了水管冷卻混凝土溫度場的p型自適應(yīng)有限元程序。通過對含冷卻水管的混凝土塊體在不同網(wǎng)格密度下的常規(guī)有限元模型與p型有限元模型的計算對比研究，驗證了將三維p型有限元方法引入水管冷卻混凝土溫度場的仿真計算中是可行的和有效的。p型有限元法能夠在網(wǎng)格稀疏的情況下達到與水管冷卻混凝土溫度場精細算法相同的計算精度，這可以大大降低前處理工作的難度和工作量，而常規(guī)有限元法在網(wǎng)格稀疏的情況下計算結(jié)果誤差相對較大。同時，由于計算規(guī)模減小，p型有限元法的計算耗時明顯下降。如將該算法繼續(xù)改進和完善，并應(yīng)用于混凝土壩等大體積混凝土結(jié)構(gòu)溫度場的仿真計算，計算效率將更加顯著。

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3D p-version hierarchical finite element method for calculation of concrete cooling pipe temperature field

WANG Hai-bo，WANG Ren-kun
（HydroChina Chengdu Engineering Corporation，Chengdu 610072，China）

Introducing hierarchical and adaptive technique，increasing the order of hierarchical and expand?ing the space of basis function to improve the numerical precision，the 3D p-version hierarchical finite ele?ment method（FEM）and corresponding finite element program of concrete cooling pipe temperature field are proposed and compiled.For a same calculation model，the different mesh density of the traditional FEM and p-version hierarchical FEM is used for analysis and comparative study of concrete cooling pipe tempera?ture field.The comparison of the calculation results shows that the p-version hierarchical finite element method brings better precision with a coarse grid in unsteady cooling pipe temperature field analysis.At the same time，under the condition of the same computational precision，the element number can be re?duced，so that the time consumption for preprocess and computation is obviously reduced.

p-version FEM；pipe cooling；temperature field；concrete

TV315

A

10.13244/j.cnki.jiwhr.2014.02.002

1672-3031（2014）02-0122-08

（責任編輯：王冰偉）

2013-11-01

國家自然科學基金資助項目（50779010）

王海波（1984-），男，湖北人，博士，主要從事混凝土溫控防裂及試驗研究。E-mail：whblzp@gmail.com