楊世安，周世健，饒國華

(1.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西 南昌330013;2.江西省科學(xué)院，江西 南昌330096)

0 引言

灰色組合模型是將灰色系統(tǒng)模型(主要是GM(1，1))或灰信息處理技術(shù)融入傳統(tǒng)模型后得到的有機組合體。GM模型具有弱化序列隨機性，挖掘系統(tǒng)演化規(guī)律的獨特功效，它對一般模型具有較強的融合力和滲透力。將GM模型融入一般模型建模的全過程，實現(xiàn)功能互補，能夠使預(yù)測精度大大提高。然灰色線性回歸組合模型可改善原線性回歸模型中沒有指數(shù)增長趨勢和GM模型中沒有線性因數(shù)的不足，故該組合模型更適用于既有線性趨勢又有指數(shù)增長趨勢的序列。

雖然灰色線性回歸組合模型能較好的模擬觀測序列，但為了使模擬更加精確，以進一步提高預(yù)測的精度。構(gòu)建實測值與模擬值之間的比值序列G。目前，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以強大的學(xué)習(xí)能力和高擬合精度廣泛應(yīng)用于各大領(lǐng)域，而絕大部分的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是采用BP網(wǎng)絡(luò)和它的變化形式，它是前向網(wǎng)絡(luò)的核心部分，并體現(xiàn)了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最精華的部分。故本文利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來優(yōu)化組合模型預(yù)測精度。

1 灰色線性回歸組合原理

其形式可記為

用線性回歸方程與指數(shù)方程之和擬合累加生成序列，即

其中參數(shù)v及C1，C2，C3待定。

為求以上參數(shù)，設(shè)參數(shù)序列

令Ym=Z(t+m)－Z(t)，則可得

由經(jīng)典GM(1，1)模型［1］的原理可知

將式(4)中的X^(1)換成X(1)，由式(5)可得v的近似解，取不同的m可得不同的，以它們的平均值作為v的估值。經(jīng)分析m=1，2，…，n－3，計算的的個數(shù)為(n－2)(n－3)/2，故得

利用最小二乘法求得C1，C2，C3的估值，令

則有Y=AC，從而得

可得到生成序列的預(yù)測值為

則原始序列的預(yù)測值為

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及優(yōu)化過程

BP算法的基本思想［2，3］是，學(xué)習(xí)過程有信號的正向傳播與誤差的反向傳播2個過程組成。正向傳播是，輸入樣本從輸入層傳入，經(jīng)各隱層逐層處理后，傳向輸出層。若輸出層的實際輸出與期望輸出不符，則轉(zhuǎn)入誤差的反向傳播階段。誤差反向是將輸出誤差以某種形式通過隱層向輸入層逐層反傳，并將誤差分攤給各層的所有單元，從而獲得各層單元的誤差信號，此誤差信號即作為修正各單元權(quán)值的依據(jù)。這種信號正向傳播與誤差反向傳播的各層權(quán)值調(diào)整過程，是周而復(fù)始地進行的。權(quán)值不斷調(diào)整的過程，也就是網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)訓(xùn)練過程。此過程一直進行到網(wǎng)絡(luò)輸出的誤差減少到可接受的程度，或進行到預(yù)先設(shè)定的學(xué)習(xí)次數(shù)為止。

優(yōu)化思想:對于初始序列X(0)，進行灰色線性回歸組合建模預(yù)測得到模擬值與預(yù)測值，針對不同的t時刻下的初始值與對應(yīng)的模值有個比值關(guān)系G(t)，暫稱之為吉比率即:

G(t)是一個新的時間序列，由于灰色線性回歸組合模型的特性，該序列表現(xiàn)出值大多在1附近波形震蕩變化。嘗試利用MATALB中的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱對吉比率序列G(k)進行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模，得到新的吉比率G^，在設(shè)計BP網(wǎng)絡(luò)時，使用5個隱含神經(jīng)元，一個輸出神經(jīng)元，以前兩期預(yù)測后一期做訓(xùn)練。則優(yōu)化后的新預(yù)測值為

3 MATLAB實現(xiàn)步驟

經(jīng)過以上論述，概括基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的灰色線性回歸組合模型的MATLAB［4，5］實現(xiàn)的建模流程如下:

(1)1-AGO處理，將原始數(shù)據(jù)序列X0進行1次累加得X1;

(2)求解Z，由式(4)可得Z;

(5)構(gòu)造X、A和C;

(6)依據(jù)最小二乘求解系數(shù)C1，C2，C3的估計值，參考式(9);

(7)由式(10)計算時間響應(yīng)序列X2，將其緊鄰差分可得X0的模擬值X3，其中，X3(1)=X1(1)參考式(11);

(8)由式(12)計算吉比率G序列;

(9)由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對G序列進行訓(xùn)練和預(yù)測;

(10)由式(13)還原出X0的新模值X4;

(11)檢驗誤差，計算殘差，方差、相對誤差和平均相對誤差。

4 數(shù)學(xué)實例分析

選取的實驗數(shù)據(jù)是，南昌市某段公路邊坡的某測樁從2012年9月至2012年1月觀測的10期沉降累計量，利用前8期建立灰色線性回歸組合模型，預(yù)測后兩期，并進行精度評定，時間相應(yīng)序列為

計算G(t)后，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模，并還原出新的預(yù)測值。將優(yōu)化前后的模值列于表1中，并繪制數(shù)據(jù)對比線化圖，如圖1所示。

表1 灰色線性回歸組合模型預(yù)測和基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化后的數(shù)據(jù)/mm

圖1 灰色線性回歸組合模型優(yōu)化前后數(shù)據(jù)對比線化圖

利用灰色線性回歸組合模型建模的擬合平均相對誤差為4.69%，預(yù)測的第9、10期相對誤差為4.6%、4.21%，而使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的擬合平均相對誤差為0.31%，預(yù)測的第9、10期的相對誤差為1.32%、1.76%。圖1同樣顯出BP優(yōu)化后的數(shù)據(jù)曲線更加吻合原數(shù)據(jù)曲線。

5 結(jié)束語

用MATLAB實現(xiàn)灰色線性回歸組合模型算法，程序簡潔、算法清楚。并利用其自帶的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱進行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化，方便快捷。通過本文的數(shù)學(xué)實例證明:當實測值與預(yù)測值之間出現(xiàn)波動擬合時，它們的比值序列也同樣具有波動性，此時采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對比值序列進行非線性擬合，具有非常高的預(yù)測精度;最后優(yōu)化后的組合模型無論是擬合精度還是預(yù)測精度均比優(yōu)化前的高出很多。這說明本文的優(yōu)化模型用于改進灰色線性回歸組合模型是可行有效的，同樣也對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測具有參考價值。

［1］ 劉思峰，謝乃明.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2008.

［2］ 田雨波.混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［3］ 朱 凱，王正林.精通MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2010.

［4］ 唐麗芳，賈冬青，孟慶鵬.用MATLAB實現(xiàn)灰色預(yù)測GM(1，1)模型［J］.滄州師范專科學(xué)校學(xué)報，2008，24(2):35－37.

［5］ 胡曉東，董辰輝.MATLAB從入門到精通［M］.北京:人民郵電出版社，2010.