魯偉陽，高 麗，郝虹斐

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安716000)

1 引言及結(jié)論

著名的偽Smarandache函數(shù)Z(n)定義為最小的正整數(shù)m使得n≤m(m+1)/2，即Z(n)= min{m∶m∈N，n≤m(m+1)/2}。關(guān)于函數(shù)Z (n)的初等性質(zhì)，許多學(xué)者進(jìn)行了研究，并獲得了不少有意義的結(jié)果［4～7］。例如:Yuanbing Lou［6］研究了一個包含偽Smarandache函數(shù)的均值問題，得到了一個漸近式:

Lin Cheng［7］也討論了一個包含偽Smarandache函數(shù)的均值，得到漸近式:

吳啟斌［8］討論了復(fù)合函數(shù)S(Z(n))的均值，得到較強(qiáng)的漸近公式

其中，ci(i=1，2，…，k)為可計算的常數(shù)，S(n)為著名的Smarandache函數(shù)。

劉華［9］討論了復(fù)合函數(shù)SL(Z(n))的均值，同樣得到一個較強(qiáng)的漸近式

其中，bi(i=1，2，…，k)為可計算的常數(shù)，SL(n)為著名的F Smarandache LCM函數(shù)。

本文主要在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，利用初等方法和解析方法研究了復(fù)合函數(shù)Sdf(Z(n))的均值問題，并得到一個較強(qiáng)的漸近公式。下面給出本文的主要結(jié)論。

定理:設(shè)k≥2是一個給定的整數(shù)，則對于任意的實(shí)數(shù)x＞1，有漸近公式

其中，ai(i=1，2，…，k)是可計算的常數(shù)。特別地，當(dāng)k=1時，有下面簡單的推論成立。

推論:對于任意的實(shí)數(shù)x＞1，有漸近公式

2 相關(guān)引理

(2)若2|n，且n=2αn1，其中α，n是正整數(shù)，21，則有Sdf(n)≤max{Sdf(2α)，2Sdf(n1)}。

引理2［3］:對任意的正整數(shù)n，若P(n)是n的最大素因子，那么有如下結(jié)論成立:

3 定理的證明

其中，ai(i=1，2，…，k)是可計算的常數(shù)。

因此有

綜上可知，

其中，ai(i=1，2，…，k)是可計算的常數(shù)。證畢。

有趣的發(fā)現(xiàn)，如果外函數(shù)具有與Smarandache函數(shù)S(n)類似的性質(zhì)，則其與偽Smarandache函數(shù)的復(fù)合函數(shù)均值的漸近公式是相同的。

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［2］ 沈 虹.一個新的數(shù)論函數(shù)及其它的均值分布［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23(2):235－238.

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［7］ Lin Cheng.On the mean value of the Pseudo-Smarandache function［J］.Scientia Magna，2007，(3):97－100.

［8］ 吳啟斌.一個包含Smarandache函數(shù)的復(fù)合函數(shù)［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23(4):463－466.

［9］ 劉 華，呂松濤.一個包含F(xiàn) Smarandache函數(shù)的復(fù)合函數(shù)［J］.江西科學(xué)，2009，27(3):325－327.

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