李穩(wěn)國(guó)，鄧曙光，楊 冰，肖衛(wèi)初

LI Wenguo,DENG Shuguang,YANG Bing,XIAO Weichu

湖南城市學(xué)院 通信與電子工程學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000

School of Communication and Electronic Engineering,Hunan City University,Yiyang,Hunan 413000,China

1 引言

隨著科技的發(fā)展，現(xiàn)代的各種復(fù)雜系統(tǒng)的規(guī)模越來越大，且各個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之間彼此作用和相互依存[1-3]。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)間的相互依存一方面提高了網(wǎng)絡(luò)整體的效率，但也給整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)帶來了更大的脆弱性[4]。由于不同網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間相互依存的關(guān)系，當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)或幾個(gè)網(wǎng)絡(luò)的部分節(jié)點(diǎn)或邊失效，會(huì)導(dǎo)致與之依存的其他網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或邊失效，繼而發(fā)生網(wǎng)絡(luò)間的故障相繼，最終導(dǎo)致這些相互依存網(wǎng)絡(luò)整體失效[3]。理解復(fù)雜系統(tǒng)中各子系統(tǒng)間的拓?fù)錁?gòu)建對(duì)整個(gè)系統(tǒng)魯棒性的影響成為必要。

自2010年文獻(xiàn)[4]在《Nature》上發(fā)表以后，掀起了相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究的熱潮[1-23]，研究主要分為三個(gè)方面：網(wǎng)絡(luò)間故障滲流相關(guān)的魯棒性理論研究[1，4-13]；采用增加網(wǎng)絡(luò)中的自治節(jié)點(diǎn)[10，14-15]或保護(hù)高度節(jié)點(diǎn)[5]的方法增強(qiáng)相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性；構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[3，16-21]；前兩者網(wǎng)絡(luò)間主要采用隨機(jī)耦合，本文研究主要針對(duì)后者。文獻(xiàn)[3]提出了網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)度一致相連的構(gòu)建方法一定程度上提高了相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，沒有考慮其他相似結(jié)構(gòu)（如網(wǎng)絡(luò)鄰居節(jié)點(diǎn)的相連情況）且只適合子網(wǎng)絡(luò)的平均度相等的場(chǎng)景。文獻(xiàn)[16]提出了網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)介數(shù)相近的拓?fù)錁?gòu)建方法，以節(jié)點(diǎn)局部信息為主沒有考慮子網(wǎng)絡(luò)間的全局信息。文獻(xiàn)[17-18]提出了網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)匹配系數(shù)相關(guān)的拓?fù)錁?gòu)建方法，并從理論和實(shí)驗(yàn)方面分析了該方法對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性的影響，有類似文獻(xiàn)[3]的優(yōu)點(diǎn)和不足。文獻(xiàn)[19]以氣候網(wǎng)絡(luò)為例分析網(wǎng)絡(luò)間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響，并提出多種跨層拓?fù)錅y(cè)量方法，卻無拓?fù)錁?gòu)建具體方法。文獻(xiàn)[20-21]提出了相互依存網(wǎng)絡(luò)中各子網(wǎng)間相似耦合的拓?fù)錁?gòu)建思想，并采用網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和簇系數(shù)衡量各子網(wǎng)間的相似程度，但沒有給出具體的網(wǎng)絡(luò)間拓?fù)錁?gòu)建方法。

本文工作主要是借鑒文獻(xiàn)[3，19-21]相關(guān)拓?fù)漶詈纤枷?，定義歸一化度及同地位節(jié)點(diǎn)對(duì)相關(guān)理論及擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)等相關(guān)理論，提出一種基于全局考慮的網(wǎng)絡(luò)間同地位節(jié)點(diǎn)耦合的拓?fù)錁?gòu)建方法。并分別以相互依存的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（Erdos-Renyir networks，ER）和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（Scale-Free networks，SF）作為仿真實(shí)例，故障滲流模型采用目的攻擊故障滲流模型（文獻(xiàn)[5]），對(duì)比分析隨機(jī)耦合和同地位節(jié)點(diǎn)耦合兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

2 網(wǎng)絡(luò)間拓?fù)錁?gòu)建算法

2.1 相關(guān)測(cè)量參數(shù)的定義與擴(kuò)展

歸一化度、網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)（Inter-Assortativity Coefficient，IAC）、網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)（Inter-Clustering Coefficient，ICC）三個(gè)參數(shù)是衡量相互依存網(wǎng)絡(luò)中各子網(wǎng)絡(luò)相識(shí)程度的量度，能有效判定算法的優(yōu)劣性[19-20]，故將這三個(gè)參數(shù)進(jìn)行定義與擴(kuò)展如下。

其中，kA，i為 A網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn) i的度，kB，j為 B網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn) j的度。

網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)（Inter-Assortativity Coefficient，IAC）的擴(kuò)展。單獨(dú)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度度相關(guān)系數(shù)r（Degree-Degree Correlation Coefficient，DDCC），用于描述節(jié)點(diǎn)間的同類（同地位）匹配程度，又稱匹配系數(shù)，定義如下[22]：

其中e為所有邊的集合，…e為計(jì)算所有邊后的平均，j、k邊集合e中任意一條邊兩端節(jié)點(diǎn)的度；-1＜r＜1，若 r＞0，稱為同類匹配（Assortativity），r＜0，稱為非同類匹配（Disassortative）。

文獻(xiàn)[17-21]定義相互依存網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和簇系數(shù)C，將單獨(dú)網(wǎng)絡(luò)中的度度相關(guān)系數(shù)賦予了新的含義：e為所有相互依存邊的集合為計(jì)算所有相互邊后的平均，j、k邊集合e中任意一條相互依存邊兩端分別屬于兩個(gè)不同子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度。然而這種網(wǎng)絡(luò)間匹配系數(shù)定義的是網(wǎng)絡(luò)間度度相似性，只適合于各子網(wǎng)絡(luò)連接密度（平均度）一致的情景；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的連接密度不一致時(shí)，不能描述網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)的相似性。因此，本文擴(kuò)展定義網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)，使之能適用于普遍的場(chǎng)景，定義如下：

網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)（Inter-Clustering Coefficient，ICC）的擴(kuò)展。文獻(xiàn)[17，21]定義了網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)，但此定義只適合網(wǎng)絡(luò)平均度一致的場(chǎng)景，為此本文在此基礎(chǔ)上加以推廣，定義A、B網(wǎng)絡(luò)間單個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)的簇系數(shù)如下：

其中，節(jié)點(diǎn) i∈A，節(jié)點(diǎn) j∈B，且i、j間存在相互依存邊。整個(gè)網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)C為所有ci，j的平均。同地位節(jié)點(diǎn)對(duì)的定義如下：如果A網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i與B網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn) j的歸一化度相等，且i、j的網(wǎng)絡(luò)間簇系數(shù)ci，j趨近于1，則稱i、j節(jié)點(diǎn)為同地位節(jié)點(diǎn)對(duì)。

2.2 算法描述

為了保證網(wǎng)絡(luò)間的最大化的相似連接，該算法考慮同地位節(jié)點(diǎn)對(duì)相連的同時(shí)，也最大限度地保證同地位節(jié)點(diǎn)對(duì)的鄰居節(jié)點(diǎn)對(duì)也相對(duì)應(yīng)耦合，為簡(jiǎn)化而不失一般性，相互依存網(wǎng)絡(luò)間節(jié)點(diǎn)的配對(duì)采用一一對(duì)應(yīng)的原則，具體算法如下：

（1）網(wǎng)絡(luò)初始化：通過某種規(guī)則R，比如隨機(jī)、擇優(yōu)規(guī)則，分別單獨(dú)生產(chǎn)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò) A、B（對(duì)于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)這步驟可免），計(jì)算A、B網(wǎng)絡(luò)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的歸一化度。

（2）分別查找A、B網(wǎng)絡(luò)的最大度節(jié)點(diǎn)并配對(duì)相連，并對(duì)A、B網(wǎng)絡(luò)以這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作為搜索源節(jié)點(diǎn)，采用廣度優(yōu)先（Breadth First Search，BFS）搜索算法順級(jí)向下搜索。

（3）在廣度優(yōu)先搜索過程中，分別選擇兩網(wǎng)絡(luò)中同級(jí)歸一化度相等且上級(jí)已配對(duì)最多鄰居的節(jié)點(diǎn)配對(duì)相連，如果存在多個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)滿足上述條件，則再隨機(jī)配對(duì)滿足上述的條件的節(jié)點(diǎn)對(duì)。

（4）廣度優(yōu)先搜索完后剩余節(jié)點(diǎn)對(duì)的匹配：分別選擇兩網(wǎng)絡(luò)中同級(jí)歸一化度最相近且已配對(duì)最多鄰居的節(jié)點(diǎn)配對(duì)相連（歸一化度最相近優(yōu)先）。

（5）終止條件：網(wǎng)絡(luò)間所有節(jié)點(diǎn)都配對(duì)相連。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為對(duì)上述算法及理論進(jìn)一步分析與驗(yàn)證，以VC++6.0進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)主要分為三個(gè)部分：（1）計(jì)算相互依存網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和簇系數(shù)，評(píng)判此拓?fù)錁?gòu)建算法下 A、B網(wǎng)絡(luò)間的相似對(duì)等連接程度；（2）分析不同連接密度下的 p∞與初始剩余節(jié)點(diǎn)比例 p的關(guān)系，分析拓?fù)錁?gòu)建算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)故障滲流相變，評(píng)價(jià)該拓?fù)錁?gòu)建算法下的整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性；（3）因文獻(xiàn)[17-21]只分析相互依存網(wǎng)絡(luò)間的相似性與網(wǎng)絡(luò)的魯棒性相關(guān)，并沒有給出拓?fù)錁?gòu)建算法不能算法對(duì)比，故對(duì)比分析本文的相似耦合與隨機(jī)耦合下[4-5]算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

以下仿真實(shí)驗(yàn)分別以實(shí)際中最為常見的相互依存隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（ER）與相互依存無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（SF）作為實(shí)例，采用文獻(xiàn)[4-5]的故障滲流模型（攻擊指數(shù)α＞0為目的攻擊；α=0為隨機(jī)攻擊或防御，也即文獻(xiàn)[4]隨機(jī)攻擊故障滲流模型；攻擊指數(shù)α＜0為目的防御），ER、SF網(wǎng)絡(luò)的總節(jié)點(diǎn)數(shù)N=105；SF網(wǎng)絡(luò)的冪律指數(shù)r=3。p是指初始攻擊A（或B）網(wǎng)絡(luò)(1-p)比例節(jié)點(diǎn)后，剩余的節(jié)點(diǎn)比例[4-5]；p∞是指整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)故障不再發(fā)生滲流（也即穩(wěn)定后），A或B網(wǎng)絡(luò)中屬于極大簇的節(jié)點(diǎn)占總節(jié)點(diǎn)的比例[1，4-12]。 p∞反映了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，即當(dāng)初始移去的相互依存邊(1-p)相同時(shí) p∞越大意味著網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)，p∞突變到的零的拐點(diǎn)處的 p值為滲流閾值pc（見圖1（a））。滲流閾值 pc是整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最終全部失效時(shí) p的臨界值，pc越小表示網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)，反映整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)故障傳播的自組織臨界狀態(tài)，初始攻擊比例(1-p)稍微增大都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)發(fā)生雪崩災(zāi)變[4-5]。不同的 p值下，p∞連續(xù)變化時(shí)，故障滲流相變?yōu)槎S相變，表明網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性強(qiáng)；非 p∞連續(xù)變化時(shí)為一維相變[14]，表明網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性弱，見圖1（a）。

網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)參數(shù)評(píng)判算法的優(yōu)劣性的量度，仿真實(shí)驗(yàn)第一部分，運(yùn)用本文提出的拓?fù)錁?gòu)建算法，建立相互依存網(wǎng)絡(luò)模型，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)參數(shù)C如下：相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)rER=0.85，CER=0.63；相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)rSF=1，CSF=0.95。與之相對(duì)的：文獻(xiàn)[4-5]的是rER=0，CER=0；rSF=0，CSF=0.01；文獻(xiàn)[3]的是 rER=1，CER=0；rSF=1，CSF=0.01；文獻(xiàn)[20]中提到的最大的是rER=0.71，CER=0.30；rSF=1，CSF=1（此為兩個(gè)完全一致網(wǎng)絡(luò)耦合時(shí)特例）。綜合測(cè)評(píng)參數(shù)對(duì)比可知，本文提出的拓?fù)渌惴ㄊ亲顑?yōu)的。

圖1 不同平均度下，p∞與初始剩余節(jié)點(diǎn)比例p的關(guān)系

仿真實(shí)驗(yàn)第二部分是拓?fù)錁?gòu)建算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)故障滲流相變分析（因圖中線過多，本部分實(shí)驗(yàn)不進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，詳細(xì)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)見下實(shí)驗(yàn)第三部分滲流閾值 pc對(duì)比分析）。圖1是不同平均度＜k＞下，p∞與初始剩余節(jié)點(diǎn)比例 p的關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)的平均度是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的連接邊數(shù)的平均，反映一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連接密度。從圖1可以得知：（1）攻擊后剩余節(jié)點(diǎn)比例 p相同的情況下平均度＜k＞越大，網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定后的極大簇 p∞越大，說明平均度＜k＞越大相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強(qiáng)；（2）平均度相同的條件下，無論是ER網(wǎng)絡(luò)還是SF網(wǎng)絡(luò)防御越強(qiáng)（α越?。┫嗷ヒ来婢W(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強(qiáng)；（3）對(duì)于ER網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)α=-1，＜k＞≥14，故障滲流相變從一維相變完全轉(zhuǎn)變?yōu)槎S相變，對(duì)于SF網(wǎng)絡(luò)，當(dāng) α=0，＜k＞≥10(或α=-1，＜k＞≥2)，故障滲流相變從一維相變完全轉(zhuǎn)變?yōu)槎S相變，表明在本文的拓?fù)錁?gòu)建算法下整個(gè)相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)表現(xiàn)極強(qiáng)的魯棒性，且同條件下相比于相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)，相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)魯棒性更強(qiáng)。

為了把本文拓?fù)漶詈希–CNs）與隨機(jī)耦合（RCNs）（見文獻(xiàn)[4-5]）進(jìn)行比較，設(shè)計(jì)第三個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)（見圖2和圖3）。圖2為不同平均度＜k＞下CRNs與 CCNs的滲流閾值 pc比較，圖3為不同攻擊指數(shù)α下CCNs與RCNs的滲流閾值 pc比較。圖2比較分為三組：α=-1（B CCNs與E RCNs）、α=0（C CCNs與F RCNs）、α=1（D CCNs與G RCNs），從三組結(jié)果比較可知：目的攻擊下(α=1)，兩種算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性接近；隨機(jī)攻擊下(α=0)和目的防御下(α=-1)，本文拓?fù)錁?gòu)建算法下相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性的增強(qiáng)效果明顯，特別是針對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)。從圖3可知：攻擊指數(shù)很大(α＞0)下，兩種算法下網(wǎng)絡(luò)魯棒性接近，當(dāng)攻擊指數(shù)下(α≤0)下，本文算法的更優(yōu)且攻擊指數(shù)越小優(yōu)勢(shì)越明顯。從圖2和圖3對(duì)比分析可知：通過本文提出的拓?fù)錁?gòu)建算法，同等條件下的攻擊指數(shù)越小，相互依存的SF比ER魯棒性更好，這是因?yàn)橄嗷ヒ来娴淖覵F網(wǎng)絡(luò)的較之ER網(wǎng)絡(luò)更為規(guī)則，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)參數(shù)C值大，子網(wǎng)絡(luò)間的相似程度更高。

綜合理論與仿真分析表明網(wǎng)絡(luò)間采用同地位節(jié)點(diǎn)相連拓?fù)錁?gòu)建算法能有效提高相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性，接下來這一結(jié)論做進(jìn)一步討論。故障滲流理論的重點(diǎn)是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)相繼故障發(fā)生形成分裂的簇，其中屬于極大簇的節(jié)點(diǎn)保持原有功能，不屬于極大簇的節(jié)點(diǎn)功能失效[4-10]，首先從滲流理論方面分析網(wǎng)絡(luò)間的相似拓?fù)錁?gòu)建提高相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性的原因。根據(jù)這一理論及結(jié)合文獻(xiàn)[4-5]攻擊模型，假設(shè)當(dāng)其中一個(gè)網(wǎng)絡(luò)A的(1-p)比例部分因受到攻擊而失效，因相互依存的原因B網(wǎng)絡(luò)中與A網(wǎng)絡(luò)中失效節(jié)點(diǎn)相連的節(jié)點(diǎn)也失效；同時(shí)A、B網(wǎng)絡(luò)剩余的 p比例部分節(jié)點(diǎn)可分為兩部分，一部分是A、B網(wǎng)絡(luò)中的極大簇（網(wǎng)絡(luò)功能有效的子網(wǎng)絡(luò)），一部分為各碎片簇[4]（失效的各子網(wǎng)絡(luò)和）；故障相繼的原因是A網(wǎng)絡(luò)中的碎片簇節(jié)點(diǎn)有連接B網(wǎng)絡(luò)中的極大簇（B對(duì)A同樣），且這種情況越多故障滲流越明顯，假設(shè)這種情況不存在（即極大簇節(jié)點(diǎn)連極大簇節(jié)點(diǎn)和碎片簇節(jié)點(diǎn)連碎片簇節(jié)點(diǎn)）網(wǎng)絡(luò)間的相繼故障將不再滲透，這解釋了理想情況下，網(wǎng)絡(luò)完全相同的相互依存的A、B采用完全相似拓?fù)溥B接，網(wǎng)絡(luò)間的相繼故障將不再滲流。現(xiàn)考慮網(wǎng)絡(luò)的相似拓?fù)溥B接的情況，假設(shè)相似系數(shù)為R（綜合網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)C取兩者中最?。瑥钠骄男Ч麃砜?，極大簇節(jié)點(diǎn)連極大簇節(jié)點(diǎn)、碎片簇節(jié)點(diǎn)連碎片簇節(jié)點(diǎn)比例是R，其他情況為(1-R)，當(dāng)相似程度高（R大）時(shí)，故障滲流的規(guī)模較之隨機(jī)拓?fù)漶詈洗鬄闇p少，從而提高了相互依存網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)魯棒性。這就解釋同一算法相同參數(shù)條件下，為什么相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)比ER網(wǎng)絡(luò)魯棒性更好（見圖1～3的SF與ER網(wǎng)絡(luò)的對(duì)比），因?yàn)橄嗤瑮l件下，SF網(wǎng)絡(luò)比ER網(wǎng)絡(luò)較為規(guī)則，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)r和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)C更大。文獻(xiàn)[20]在密度完全一致情況下的仿真實(shí)驗(yàn)中也證實(shí)這一結(jié)果。其次，本文算法不僅匹配A、B網(wǎng)絡(luò)間地位對(duì)等節(jié)點(diǎn)對(duì)，同時(shí)還保證這已匹配節(jié)點(diǎn)對(duì)間的地位對(duì)等鄰居節(jié)點(diǎn)對(duì)的匹配最大化，此外保證A、B網(wǎng)絡(luò)的最大度節(jié)點(diǎn)（核心節(jié)點(diǎn)對(duì)）優(yōu)先匹配耦合也是本算法較優(yōu)的原因之一。另外，相比于與網(wǎng)絡(luò)間的隨機(jī)耦合算法及網(wǎng)絡(luò)間度一致耦合算法，本文提出的網(wǎng)絡(luò)同地位節(jié)點(diǎn)對(duì)耦合算法更能迎合現(xiàn)實(shí)的需要，如智能電網(wǎng)中的電力網(wǎng)絡(luò)與其相依存的信息控制網(wǎng)絡(luò)及鐵路交通網(wǎng)與其依存的信息網(wǎng)絡(luò)、控制網(wǎng)絡(luò)，都表現(xiàn)為一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)的核心節(jié)點(diǎn)連接另一相互依存的子網(wǎng)核心節(jié)點(diǎn)、不同網(wǎng)絡(luò)間的同地位節(jié)點(diǎn)連接相連。

圖2 滲流閾值pc與平均度的關(guān)系

圖3 滲流閾值pc與α攻擊指數(shù)的關(guān)系

4 結(jié)論

為增強(qiáng)相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，本文借鑒文獻(xiàn)相關(guān)拓?fù)漶詈纤枷?，定義歸一化度及同地位節(jié)點(diǎn)對(duì)相關(guān)理論及擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)間的匹配系數(shù)和網(wǎng)絡(luò)間的簇系數(shù)等相關(guān)理論，提出一種網(wǎng)絡(luò)間同地位節(jié)點(diǎn)耦合的拓?fù)錁?gòu)建方法，并以相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)和相互依存的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)作為實(shí)例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。得到結(jié)論如下：（1）此拓?fù)錁?gòu)建方法下調(diào)節(jié)參數(shù)，網(wǎng)絡(luò)間故障滲流相變將從一維非連續(xù)相變轉(zhuǎn)變?yōu)槎S連續(xù)相變到；（2）相比于隨機(jī)拓?fù)漶詈暇W(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊、目的攻擊及防御情況下，該拓?fù)漶詈舷碌南嗷ヒ来婢W(wǎng)絡(luò)的魯棒性均明顯增強(qiáng)：（3）相比于相互依存的ER網(wǎng)絡(luò)，相互依存的SF網(wǎng)絡(luò)在此拓?fù)錁?gòu)建方法下的效果較優(yōu)。

[1]Hu Y，Ksherim B，Cohen R，et al.Percolation in interdependent and interconnected networks：abrupt change from second-to first-order transitions[J].Phys Rev E，2011，84（6）.

[2]Morris R G，Barthelemy M.Transport on coupled spatial networks[J].Phys Rev Lett，2012，109（12）.

[3]Buldyrev S V，Nathaniel S，Gabriel A C.Interdependent networks with identical degrees of mutually dependent nodes[J].Phys Rev E，2011，83（1）.

[4]Buldyrev S V，Parshani R，Paul G，et al.Catastrophic cascade offailuresin interdependentnetworks[J].Nature，2010，464（7291）：1025-1028.

[5]Huang X Q，Gao J X，Buldyrev S V，et al.Robustness of interdependent networks under targeted attack[J].Phys Rev E，2011，83（6）.

[6]Shao J，Buldyrev S V，Havlin S，et al.Cascade of failures in coupled networks systems with multiple support-dependence relations[J].Phy Rev E，2011，83（3）.

[7]Gao J，Buldyrev S V，Havlin S，et al.Robustness of a network of networks[J].Phy Rev Lett，2011，107（19）.

[8]Gao J，Buldyrev S V，Havlin S，et al.Robustness of a tree-like network ofinterdependentnetworks[EB/OL].[2012-10-12].http：//arxiv.org/abs/1108.5515.

[9]Li W，Bashan A，Buldyrev S V，et al.Cascading failures in interdependentlattice networks：thecriticalroleof the length of dependency links[J].Phys Rev Lett，2012，108（22）.

[10]Parshani R，Buldyrev S V，Havlin S.Interdependent networks：reducing the coupling strength leads to change from a first to second order percolation transition[J].Phys Rev Lett，2010，105（4）.

[11]Dong G G，Gao J X，Tian L X，et al.Percolation of partially interdependent networks under targeted attack[J].Phy Rev E，2011，85（1）.

[12]Son S W，Bizhani G，Christensen C，et al.Percolation theory on interdependent networks based on epidemic spreading[J].Euro-Physics Letters，2012，97（1）.

[13]Newman M E J.Spread of epidemic disease on networks[J].Phys Rev E，2002，66（1）.

[14]Gao J X，Buldyrev S V，Stanly H E，et al.Networks formed from interdependent networks[J].Nature Physics，2012，8（1）：40-48.

[15]李國(guó)穎，成柏松，張鵬，等.相互依存網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究綜述[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，42（1）：23-28.

[16]Schneider C M，Araujo N A M，Havlin S，et al.Towards designing robust coupled networks[EB/OL].（2011-06-16）.http：//arxiv.org/abs/1106.3234.

[17]Gregorio A D，Antonio S，Vinko Z，et al.Assortativity effectson diffusion-like processesin scale-free networks[J].Europhysics Letters，2012，97（6）.

[18]Di Z，Stanley H E，Gregorio D A，et al.Assortativity decreasesthe robustnessofinterdependentnetworks[J].Phys Rev E，2012，86（6）.

[19]Donges J F，Schultz H C H，Marwan N，et al.Investigating the topology of interacting networks[J].Eur Phys J B，2011，84（4）：635-652.

[20]Parshani R，Rozenblat C，Ietri D，et al.Inter-similarity between coupled networks[J].Europhysics Letters，2010，92（6）.

[21]Shai S，Dobson S.Effect of resource constraints on intersimilar coupled networks[J].Phys Rev E，2012，86（6）.

[22]李穩(wěn)國(guó)，崔憲普，鄧曙光，等.目的邊攻擊和防御下的相互依存網(wǎng)絡(luò)相繼故障[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2014，50（9）：69-72.

[23]Newman M E J.Assortative mixing in networks[J].Phys Rev Lett，2002，89（20）.