呂　巋 ,童國平

(1.上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001；2.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 浙江 金華 321004)

原子鏈中的原子之間存在相互作用勢能,同時可能存在與臨近原子無關(guān)的在位勢(能)[1-2].研究表明,在位勢對晶格振動色散關(guān)系產(chǎn)生顯著影響[3-5].這些研究均采用最近鄰相互作用的緊束縛模型,尚未考慮長程晶格間的相互作用.原子或分子晶體中四極矩比較顯著而雙極矩較小時,僅考慮晶格中的最近鄰相互作用就符合要求,但在特殊情況或精確度要求更高的情況下[6],雙極矩開始明顯,則須考慮長程晶格間的相互作用.本文計及原子間長程庫侖相互作用,在簡諧作用下求解具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動運動方程,得到了相應(yīng)色散關(guān)系,并簡要討論了多近鄰作用下在位勢對禁帶寬度、頻隙、光頻支頂在布里淵區(qū)的位置等因素的影響特征,以補充相關(guān)研究的一些基礎(chǔ)知識.

1　理論模型和色散關(guān)系

考慮由N個原胞組成的一維雙原子鏈,設(shè)相鄰原子的平衡距離為a,原子質(zhì)量分別為m1與m2,電荷為±e,以u2n-1表示第n個原胞內(nèi)質(zhì)量為m1的原子離開平衡位置的位移,以u2n表示第n個原胞內(nèi)質(zhì)量為m2的原子離開平衡位置的位移,其中n=1,2,…，N.在簡諧近似下,計及多近鄰作用的具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動哈密頓量為:

H=T+V

(1)

其中動能部分為:

(2)

勢能部分為:

(3)

式中α是短程力常數(shù),η是在位勢能的力常數(shù),β=-2e2/a3為最近鄰間庫侖力常數(shù).本文考慮長程庫侖力作用到第四近鄰的情況,即取s=4,則最近鄰力常數(shù)為β1=α+β,第二到第四近鄰間長程庫侖力常數(shù)依次為β2=-β/8,β3=β/27,β4=-β/64.應(yīng)用拉格朗日方程,可得到相應(yīng)的晶格振動運動方程組為：

β3(u2n+2+u2n-4-2u2n-1)+β4(u2n+3+u2n-5-2u2n-1)-ηu2n-1

(4a)

β3(u2n+3+u2n-3-2u2n)+β4(u2n+4+u2n-4-2u2n)-ηu2n

(4b)

由晶格的周期性,可設(shè)u2n-1=Aei[q(2n-1)a-wt],u2n=Bei[q2na-wt],代入(4)式得到方程組:

[m1ω2-η-2(β1+β2+β3+β4)+2β2cos(2qa)+2β4cos(4qa)]A+

[2β1cos(qa)+2β3cos(3qa)]B=0

(5a)

[2β1cos(qa)+2β3cos(3qa)]A+

[m2ω2-η-2(β1+β2+β3+β4)+2β2cos(2qa)+2β4cos(4qa)]B=0

(5b)

方程組(5)有解的條件是其系數(shù)行列式的值為零,由此求得晶格振動的色散關(guān)系為:

(6)

其中C=2(β1+β3)+4β2sin2(qa)+4β4sin2(2qa)+η,D=2[β1cos(qa)+β3cos(3qa)].

(7)

上式中λ1,λ2,λ3,λ4的數(shù)值跟長程庫侖力作用的線度有關(guān),詳見下表:

最近鄰近似次近鄰近似第四近鄰近似λ102-sin2(qa)/256/27-sin2(qa)/2-sin2(2qa)/16λ24cos2(qa)4cos2(qa)4cos2(qa)λ3016cos2(qa)16[cos(qa)+cos(3qa)/27]2λ4016cos2(qa)16cos2(qa)+16cos(qa)cos(3qa)/27

在布里淵區(qū)邊緣qB=π/2a處,由(7)式可得:

(8)

在布里淵區(qū)中心q=0處, 由(7)式可得:

(9)

2　結(jié)果討論

多近鄰作用下在位勢對色散關(guān)系的影響具有一些不同于最近鄰模型的新特征,本文主要從以下三個方面加以討論.討論中取原子質(zhì)量比m1/m2=2,短程力常數(shù)α用約化單位取為1.

2.1　對禁帶寬度的影響

2.2　對布里淵區(qū)中心頻隙的影響

2.3　對高頻支頂在布里淵區(qū)位置的影響

在不同原子質(zhì)量比下,η和|β|取其他值時,情況與上述討論類似,限于篇幅,在此不一一列舉.

圖2　η=0.15時高頻支頂?shù)奈恢秒S|β|的變化 圖3　η=0.85時高頻支頂?shù)奈恢秒S|β|的變化

3　結(jié)論

本文計及長程庫侖作用至第四近鄰,研究了具有在位勢的一維線性雙原子鏈晶格振動的色散關(guān)系,發(fā)現(xiàn)多近鄰作用下在位勢對色散關(guān)系中禁帶寬度、頻隙、高頻支頂在布里淵區(qū)的位置等因素的影響具有不同于最近鄰模型的特征,這些特征是以往的文獻所未提及的,其物理應(yīng)用尚有待于實驗上的進一步探索.順便提及,如果把電子殼層視作質(zhì)量很小的原子,在解釋鐵電光學(xué)實驗中獲得成功的Bilz模型即可轉(zhuǎn)化為本文的四原子多近鄰模型[7].由于實際原子鏈中往往存在非線性作用,在位勢具有二次(簡諧)、四次(非簡諧)等不同形式,并且長程庫侖力作用到的原子可以不止四個,故模型尚待進一步完善和拓展.有關(guān)工作正在進行之中

參考文獻：

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[2] Maniadis P, Zolotaryuk A V, Tsironis G P. Existence and stability of discrete gap breathers in a diatomic β Femi-Pasta-Ulam chain [J]. Phys Rev,2003,E67(4):0466121-04661213.

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[4] 潘學(xué)琴,劉炳燦,田強.在位勢對于一維雙原子鏈晶格振動長聲學(xué)波的影響[J].大學(xué)物理,2009,28(5):11-13.

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