張慧慧 ，周小媚，余　芳

(1.上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001；2.上饒市上饒縣田墩鎮(zhèn)黃市棗山小學(xué)，江西 上饒 334125;3.上饒市信州區(qū)茅家?guī)X中心小學(xué)，江西 上饒 334116)

引言

眾所周知，人類社會的進步，與數(shù)學(xué)特別是高等數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用是分不開的。高等數(shù)學(xué)已深入地滲透到了社會科學(xué)領(lǐng)域，成為許多學(xué)科門類中必不可少的工具。因此高等數(shù)學(xué)在各高校的基礎(chǔ)地位也越來越受到重視，高等數(shù)學(xué)已經(jīng)成為國內(nèi)外大多數(shù)高校理工科的必修課。然而近年來，筆者通過教學(xué)實踐以及和其他教師進行交流，發(fā)現(xiàn)高校中非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果并不理想，大多數(shù)學(xué)生反映高等數(shù)學(xué)難度太大，難以理解，從而難以下手。這必然會影響他們在專業(yè)課程中的學(xué)習(xí)。

在課堂及課后調(diào)研中，學(xué)生們普遍認(rèn)為從初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過渡到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時，學(xué)習(xí)方式和內(nèi)容的不同都讓他們覺得“不適應(yīng)”，即初、高等數(shù)學(xué)的教育銜接出了問題。固然高等數(shù)學(xué)有其自身“難度較大"的特征,但是如能從初、高等數(shù)學(xué)的銜接問題上入手，對學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)作一鋪墊，將對他們順利從初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過渡到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，進而學(xué)好高等數(shù)學(xué)大有裨益。

作者查閱相關(guān)研究資料，通過調(diào)研學(xué)生及課堂觀察等方法，結(jié)合日常教學(xué)實踐，對初、高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的銜接問題進行初步探討，總結(jié)出以下三個不銜接和兩個不適應(yīng)。

1　初、高等數(shù)學(xué)不銜接的表現(xiàn)

初、高等數(shù)學(xué)的教學(xué)銜接問題已經(jīng)受到了數(shù)學(xué)教育工作者的高度重視。2003年3月，教育部頒發(fā)了《普通高等中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，新教材中加入了大學(xué)課程中的一些基本概念、基礎(chǔ)知識和思維方法。這對于學(xué)生順利從初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過渡到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是非常有益的。然而，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接中還存在不少問題。學(xué)生之所以覺得高等數(shù)學(xué)難學(xué)，首先是由于初、高等數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容不銜接。這種不銜接主要表現(xiàn)以下三點：

1.1　有些內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要具備的基礎(chǔ)內(nèi)容，但初等數(shù)學(xué)卻未涉及。

1.2　有些內(nèi)容初、高等數(shù)學(xué)中都有涉及，但內(nèi)容表述有較大區(qū)別。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作中還發(fā)現(xiàn)一個問題: 初等數(shù)學(xué)中某些概念和定義比較模糊，有時甚至同一個概念在初、高等數(shù)學(xué)中定義不一致。 比如曲線的切線，在高等數(shù)學(xué)中將曲線切線定義為曲線割線的極限位置，而初等數(shù)學(xué)中將曲線切線的定義則是與曲線存在且僅存在一個交點的直線。再比如對數(shù)列極限的表述，初等數(shù)學(xué)只是粗略給出了其描述性的定義，即“如果當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列{xn}的一般項xn無限地趨近于某一個常數(shù)a，那么就說a是數(shù)列{xn}的極限”。而高等數(shù)學(xué)中對數(shù)列極限的定義則是“設(shè){xn}為一數(shù)列，若存在常數(shù)a，使得對任意給定的正數(shù)ε(無論多么小)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，總有|xn-a|<ε，則稱a是數(shù)列{xn}當(dāng)n→∞時的極限”。在這些不同的表述中，顯然高等數(shù)學(xué)中的表述更為嚴(yán)謹(jǐn)，但對非數(shù)學(xué)專業(yè)的初學(xué)者來說也更加難以理解和接受。這容易給學(xué)生認(rèn)識上造成誤區(qū)，以為高等數(shù)學(xué)中這些內(nèi)容刻板而無聊，是在“鉆牛角尖”，從而心理主觀上對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生抗拒。這些問題就需要我們在初等數(shù)學(xué)教育中適當(dāng)引入高等數(shù)學(xué)教育背景，尤其是注意這些表述“不一致”的概念，提前告知學(xué)生初等數(shù)學(xué)中的描述性定義是為了更易理解，但事實上真正的定義在以后的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會給出。 以更加準(zhǔn)確、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)規(guī)范初等數(shù)學(xué)教育工作。

1.3　有些內(nèi)容在初、高等數(shù)學(xué)中表述內(nèi)容一致，但這恰好也是它們不銜接的表現(xiàn)。

這些內(nèi)容乍一看在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有涉及且表述一致，好像是銜接的一種表現(xiàn)。但這種重復(fù)其實反映了初、高等數(shù)學(xué)體系的另一種“不銜接”。比如關(guān)于一元函數(shù)求解極值和最值問題。 利用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其增減性列表來研究極值和最值問題這種方法在初等數(shù)學(xué)中十分常見，而高等數(shù)學(xué)中也有相當(dāng)?shù)钠v述同樣的內(nèi)容，事實上，正是這種“重復(fù)”，使得一些學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時候?qū)Α爸貜?fù)部分”覺得太容易，而其他在初等數(shù)學(xué)中并未涉及的內(nèi)容又讓他們覺得太難，這樣反而讓他們掌握不了學(xué)習(xí)的“度”，徒增不必要的思維障礙。因此初、高等數(shù)學(xué)應(yīng)該對各自的內(nèi)容體系進行細(xì)致地、系統(tǒng)地研究，爭取建立兩者的有機統(tǒng)一完整的體系。

2　師生在高等數(shù)學(xué)教與學(xué)中的不適應(yīng)

除卻以上初、高等數(shù)學(xué)不內(nèi)容的不銜接外，以下兩個方面的不適應(yīng)也使高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)變得尤其困難。

2.1　學(xué)生對老師教學(xué)方式的不適應(yīng)。

初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師講述某個內(nèi)容后，一般都要求學(xué)生反復(fù)練習(xí)，不斷鞏同，直到掌握。而高等數(shù)學(xué)特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多，課堂時間有限，這使得大部分高等數(shù)學(xué)老師只能抓住主線，提綱挈領(lǐng)地講述，接受學(xué)生反饋的時間少，從而不能有針對性地反復(fù)強調(diào)。這使得不少學(xué)生不適應(yīng)這種教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變；另一方面，非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生高等數(shù)學(xué)的授課老師一般都出身于數(shù)學(xué)專業(yè)，對所教學(xué)生所在的學(xué)科了解較少。這樣就教學(xué)就沒有針對性，所教學(xué)生不能認(rèn)同高等數(shù)學(xué)在其專業(yè)中的用途，從而潛意識中覺得學(xué)而無用；再加上高等數(shù)學(xué)課程起點高，難度大，特別是文科出身的學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好，他們更加覺得花這么多精力去學(xué)這么難的高等數(shù)學(xué)，還不如多花點時間在專業(yè)課上面，因此讓專業(yè)課擠占了原本屬于高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的時

間。另外，老師如能多了解一些高等數(shù)學(xué)在其他專業(yè)應(yīng)用中的實例，或結(jié)合社會熱點問題給出高等數(shù)學(xué)方面的解釋和應(yīng)用，或在講解某些知識時首先介紹相關(guān)研究背景，那將大大提升學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的樂趣，從而通過興趣這一最好的老師引導(dǎo)學(xué)生投入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。老師善于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣必將使初、高等數(shù)學(xué)的銜接更加容易。比如在講解“n維向量空間Rn”這一概念時，在概念講解結(jié)束后，可以舉例指出n=1時就是初等數(shù)學(xué)所學(xué)習(xí)的實數(shù)集合R，n=2時即為初等數(shù)學(xué)中所學(xué)習(xí)的可以用二維直角坐標(biāo)系來度量的二維平面R2，n=3時即為初等數(shù)學(xué)中所學(xué)習(xí)的可以用三維直角坐標(biāo)系來度量的三維空間R3。這將消除學(xué)生的“畏難”情緒。再比如在介紹無窮級數(shù)時，傳統(tǒng)意義上講述時都是列舉一些具體數(shù)列說明無窮級數(shù)的和可能存在、不存在來引入。此時如果能引入些測度論的知識，讓學(xué)生注意線段是由無窮多個點組成的，點的“長度”當(dāng)然是0，但是這無窮多個“0”加起來的長度卻可以是任意線段的長度，即可以是任意實數(shù)。利用這一看起來“匪夷所思”的生活實例來引起他們對學(xué)習(xí)無窮級數(shù)的和的問題的關(guān)注，這樣一來學(xué)生對無窮級數(shù)的和的興趣將大增，學(xué)習(xí)效果也將有所提升；另一方面也告知他們教材上沒有指明的事實——即要求學(xué)生學(xué)習(xí)的無窮級數(shù)事實上是“可數(shù)的”無窮多項相加。

2.2　學(xué)生對學(xué)習(xí)思維和方式的轉(zhuǎn)化不適應(yīng)。

初等數(shù)學(xué)的教學(xué)方式以灌輸為主，進度慢、理論深度不高，學(xué)生在教師講述某個內(nèi)容后，一般都有機會反復(fù)練習(xí)鞏同，直到掌握。這種習(xí)慣使得經(jīng)歷漫長中學(xué)學(xué)習(xí)生涯的學(xué)生對老師產(chǎn)生依賴，缺乏必要的獨立自學(xué)精神。而高等數(shù)學(xué)課程起點高，抽象性強，講授速度快，難度大，教師只是提綱挈領(lǐng)地講述，課后交流輔導(dǎo)也沒有中學(xué)那么多。學(xué)生不能適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式從被動轉(zhuǎn)換為主動的過程，也因此覺得高等數(shù)學(xué)難度太大。但是學(xué)習(xí)不是簡單地由教師把知識傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識的過程．學(xué)生不是簡單被動地接受信息，而是主動地建構(gòu)知識。因此有必要針對性地提示和幫助學(xué)生把學(xué)習(xí)思維和方式轉(zhuǎn)化過來。

3　初、高等數(shù)學(xué)不銜接的解決辦法

針對上述現(xiàn)象，結(jié)合教學(xué)實踐，作者初步探索了其解決辦法。

3.1　對教師提出了更高的要求。

教師必須具備足夠的能力和教學(xué)技巧。要掌握具體的教學(xué)技巧(如講解、討論、引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等)，并有足夠的能力來組織課堂體系，調(diào)動學(xué)生的積極性，解決課堂問題。重點在于教師應(yīng)該學(xué)會如何運用技巧去引導(dǎo)和激發(fā)，而不是支配學(xué)生的思維。這就要去深入研究高等數(shù)學(xué)教材，并熟悉初等數(shù)學(xué)教材，理清其中最基本的思想和方法，融入自己的思考努力尋求初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的合理結(jié)合點。

1.財務(wù)人員審核發(fā)票必須嚴(yán)格把關(guān)，發(fā)現(xiàn)任何可疑發(fā)票一定要在網(wǎng)上查詢真?zhèn)危绻l(fā)票時間不對、內(nèi)容不符合報銷范圍，單程車票等等都不予報銷，杜絕虛假發(fā)票報銷科研經(jīng)費。

老師要對每一個知識點都有深刻的認(rèn)識，熟悉其數(shù)學(xué)背景知識，熟悉相關(guān)的經(jīng)典例題和練習(xí)題，最好能熟悉生活實例。講解內(nèi)容要前后融會貫通，構(gòu)建合理的知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。比如高等數(shù)學(xué)中的微分法是初等數(shù)學(xué)中沒有的，老師在講解這一全新內(nèi)容時如果能結(jié)合其背景知識，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中就不會有“突如其來”的感覺。比如講解微分法時，可以先講述其研究背景。微分方法的提出源于速度、切線和極值的研究。意大利數(shù)學(xué)家托里切利( E.Torricelli) 根據(jù)他的導(dǎo)師伽利略對做斜拋運動的物體運動軌跡的切線(即合速度)的分解，對切線作了進一步的研究，得出了適用于力學(xué)的微分方法。費馬則把這一方法推廣到普遍情形。在《求最大值和最小值的方法》一文中，他做出了求切線的方法，他的方法是在現(xiàn)代有著廣泛應(yīng)用的微分法的鼻祖，只是還沒有提煉出極限概念。

3.2　引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)可以從以下幾個方面入手。

3.2.1有計劃地設(shè)置學(xué)生預(yù)習(xí)自學(xué)環(huán)節(jié)。老師針對教學(xué)內(nèi)容，選取合適的部分制定計劃，要求學(xué)生獨立或組成小組針對該內(nèi)容進行準(zhǔn)備和展示。準(zhǔn)備環(huán)節(jié)可以參考教材或查閱資料等，展示環(huán)節(jié)可以是傳統(tǒng)的課堂講解，也可以制成課件利用多媒體資源進行。并要求至少兩組同學(xué)展示成果(時間允許可以多組)。最后老師針對不同組的優(yōu)缺點進行總結(jié)，并把學(xué)生展示內(nèi)容中不正確或不完善的部分進行糾正。最大限度調(diào)動學(xué)生積極性。

3.2.2適當(dāng)?shù)匕颜n堂交給學(xué)生。很多問題特別是較難理解的問題， 其答案和思路不只是老師講出來的，更

加是學(xué)生自己領(lǐng)悟出來的。因此老師有責(zé)任創(chuàng)造一個良好的課堂氛圍，給學(xué)生一個展示自我才能的舞臺，啟發(fā)學(xué)生與學(xué)生之間或?qū)W生與老師之間進行討論交流學(xué)習(xí)。這樣不僅點燃了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，更加深了學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的理解，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的效率。

3.2.3課后給學(xué)生布置一些應(yīng)用性強的，具有挑戰(zhàn)性的研究性作業(yè)，激發(fā)學(xué)生對高數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。比如讓學(xué)生利用微積分以及函數(shù)的知識做有關(guān)股市或金融市場的一些調(diào)查研究，或者完成一個預(yù)測人口增長的模型。這些貼近生活的作業(yè)，會使學(xué)生體會到高數(shù)與生活息息相關(guān)，從而更愿意去學(xué)高數(shù)。

3.3　教材的選取也是關(guān)系到能否順利銜接的要點之一。

不同專業(yè)的學(xué)生對高等數(shù)學(xué)有著不同的要求． 教師應(yīng)該根據(jù)高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求，選取合適教材，適當(dāng)安排教學(xué)內(nèi)容，把握教學(xué)大綱，同濟大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》內(nèi)容豐富，嚴(yán)謹(jǐn)，體系完整． 但是，它也有內(nèi)容多、知識難、題量大等特點，學(xué)生自學(xué)比較困難，對于經(jīng)濟、農(nóng)業(yè)、管理等專業(yè)的學(xué)生不太適合。因此教師要選擇根據(jù)所教專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)要求選取適當(dāng)?shù)慕滩淖鳛檩o助，并選擇合適的例題和習(xí)題。

3.4　要重視新的教學(xué)方式和手段在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

4　結(jié)束語

初、高等數(shù)學(xué)的銜接問題是高中新課標(biāo)實施后學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不可避免要面臨的問題，近年來不乏數(shù)學(xué)工作者對此進進行研究。作者僅就自己親身教學(xué)及學(xué)習(xí)體會，淺陋地做出探索，希望能夠?qū)Ψ菙?shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有所幫助。

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