蔡際盼，丁立旺，李永明

(1.廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530023;(2.廣西財經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 南寧 530003;(3.上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001)

引言

設(shè){Χn,n≥1}是固定概率空間(Ω,F,P)上的隨機變量序列，具有相同的分布函數(shù)F(x)=P(Χ≤x). 對于p∈(0,1)，F(xiàn)(x)的p階分位數(shù)ζp=inf{x:F(x)≥p}，記為F-1(p)，其中函數(shù)F-1(t),0

寬象限相依序列的定義是由王開永和王岳寶[10]2011年提出，并給出了一些寬象限相依隨機序列的例子說明寬象限相依隨機序列包括所有的廣義負相依隨機序列、某些正相依隨機序列及其它相依隨機序列. 在

寬象限相依的研究中，Wang Y.B[11]研究了WOD隨機序列的基本更新理論、風(fēng)險理論及極限理論性質(zhì). Shen Aiting[12]建立了寬象限相依序列的 Bernstein 型不等式，并研究了寬象限相依誤差下非參數(shù)回歸模型加權(quán)函數(shù)估計的強相合性及其收斂速度. 雖然寬象限相依隨機序列是正、負相協(xié)隨機序列的一般化和推廣，但其相依結(jié)構(gòu)遠異于正、負相協(xié)的相依結(jié)構(gòu). 因此，寬象限相依序列在可靠性理論、滲透性理論及多元分析、工程領(lǐng)域及風(fēng)險分析中也有廣泛的應(yīng)用背景. 而對于寬象限相依隨機序列仍處于研究初期，對其大樣本性質(zhì)的研究目前尚少見.從而本文在寬象限相依隨機序列下對其分位數(shù)估計及 Behadur 表示進行研究有著重要的意義.

1　定義和引理

定義[13]對于隨機變量{Xk,k=1…,n}如果存在有限正實數(shù)序列{gL(n)}和xk∈(-∞.tif,+∞)，滿足條件

則稱隨機變量{Xk,k=1,…,n}為Widely Lower Orthant Dependent(WLOD).

對于隨機變量{Xk,k=1,…,n}如果存在有限正實數(shù)序列{gU(n)}和xk∈(-∞.tif,+∞)，滿足條件

則稱隨機變量{Xk,k=1,…,n}為Widely Upper Orthant Dependent (WUOD).

如果隨機變量{Xk,k=1,…,n}既是WLOD的又是WUOD的，則稱其是WOD的.WUOD,WLOD和WOD統(tǒng)稱為寬相依(WidelyDependent(WD)).

引理1[14]設(shè){Xn,n≥1}是寬象限相依序列，如果函數(shù)列{fn(·),n≥1}均為非降函數(shù)(或均為非增函數(shù))，則序列{f(Χn)}仍為寬象限相依序列.

引理2[14]設(shè)p≥1,{Xn,n≥1}是寬象限相依序列，0

引理3[15]設(shè)F(x)是右連續(xù)的分布函數(shù)，則廣義逆函數(shù)F-1(t)在0

(i)F-1(F(x))≤x,-∞

(ii)F(F-1(t))≥t,0

(iii)F(x)≥t?x≥F-1(t).

引理5設(shè){Xn,n≥1}是具有相同分布函數(shù)F(x)的寬象限相依序列，其分布函數(shù)在ζp的鄰域Np連續(xù)可導(dǎo)，密度函數(shù)滿足0-2，Dn=[ζp-dn,ζp+dn],對任意滿足以下條件

則有

注1：當(dāng)δ=3，β=2，τ=-2時可使引理5中的條件(i)滿足.

當(dāng)δ=2，β=2，τ=2時可使引理5中的條件(ii)滿足.

△r,n=Fn(Sr,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p，

g(x)=(Fn(x)-F(x))-(Fn(ζp)-p).

又對所有的x∈[Sr,n,Sr+1,n],由Fn(x)是非降函數(shù)，利用微分中值定理得

g(x)≤Fn(Sr+1,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p=△r+1,n+F(Sr+1,n)-F(Sr,n)

≤△r+1,n+qtn，

(1)

g(x)≥Fn(Sr,n)-F(Sr+1,n)-Fn(ζp)+p=△r,n+F(Sr,n)-F(Sr+1,n)

≥△r,n-qtn.

(2)

因此，根據(jù)(1)和(2)式可得

(3)

令ηi=I(Xi≤ζp+rtn)-EI(Xi≤ζp+rtn),i=1,2,…,n.

由引理1可知，η1,…,ηn是寬象限相依隨機變量，且E|ηi|=0,|ηi|≤2.

又因為

P(|△r+1,n|>tn)=P(|Fn(Sr,n)-F(Sr,n)-Fn(ζp)+p|>tn)

=I1(n)+I2(n)，

從而利用引理2和Markov不等式，可得

當(dāng)條件(i)滿足時可得

同理可得

因此有

由此得

當(dāng)條件(ii)滿足時可得

同理可得

因此有

由此得

從而

由Borel-Contelli 引理及(3)式就可得

2　主要結(jié)果

定理1假設(shè)p∈(0,1),{Xn,n≥1}是具有相同的分布函數(shù)F(x)的寬象限相依序列，其分布函數(shù)在ζp處可導(dǎo)，滿足F′(ζp)=f(ζp)>0.若f(x)在ζp的鄰域內(nèi)有界，且對任何滿足引理5中的條件(i)或條件(ii)有

證明對于任意的ε>0有

由引理3可得

同理可得

由引理1可知序列{ωi-Eωi≥1}和{υi-Eυi≥1}也是寬象限相依序列，且|ωi-Eωi|≤2,|υi-Eυi|≤2.又因F(x)在ζp點處連續(xù)，F(xiàn)′(ζp)>0，是不等式F(x-)≤p≤F(x)的唯一解且F(ζp)=p，由Taylor展開得

所以當(dāng)n→∞時有

再利用引理2和Markov不等式，可得

于是

再由Borel-contelli 引理可得

定理2設(shè){Xn,n≥1}是具有相同的分布函數(shù)F(x)的寬象限相依序列，其分布函數(shù)在ζp的鄰域Np連續(xù)可導(dǎo)，密度函數(shù)滿足0

證明由定理1得

(4)

再由引理5得

(5)

又根據(jù)引理4可得

Fn(ζp,n)-p=O(n-1),

(6)

根據(jù)(4)-(6)式并利用Taylor展開可得

其中θn是介于ζp,n與ζp之間的隨機變量. 整理上式可得

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