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        極端頻率直接估計的新自適應(yīng)陷波器方法

        2014-04-02 07:55:16涂亞慶沈廷鰲毛育文
        振動工程學(xué)報 2014年5期
        關(guān)鍵詞:信號方法

        李 明, 涂亞慶, 沈廷鰲, 毛育文

        (后勤工程學(xué)院信息工程系,重慶 401311)

        引 言

        振動工程中常見的極端頻率信號,其頻率估計精度具有很重要的理論意義和使用價值[1,2]。在離散頻譜校正理論中的極端頻率,主要相對于頻率分辨率而言(即采樣頻率和采樣時間長度的比值),由于極端頻率頻譜泄露嚴(yán)重、存在柵欄效應(yīng)和負(fù)頻率成分干涉,基于離散頻譜校正的頻率估計方法存在較大誤差[3,4],且計算復(fù)雜,抗噪性較差,精度還有待進(jìn)一步提高[5],也無法估計時變信號的頻率值。

        為改變此現(xiàn)狀,提高頻率估計方法的實時性、準(zhǔn)確性和抗噪性,采用自適應(yīng)陷波器(ANF)進(jìn)行頻率估計。ANF主要是根據(jù)被處理信號的特點,對其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,自動調(diào)節(jié)自身模型參數(shù),令誤差函數(shù)達(dá)到最小值,使陷波頻率與信號頻率相等,從而估計出信號頻率值。每估計一次頻率值只需要3個采樣點,同離散頻譜校正理論中采樣時間長度的含義完全不同。該方法從時域角度進(jìn)行迭代頻率估計,完全避免了負(fù)頻率成分的干擾,不存在頻譜泄露和柵欄效應(yīng)問題,不僅可以估計頻率恒定的時不變信號,還可以估計頻率發(fā)生變化的時變信號;同時可以濾除信號噪聲,提高信噪比,針對噪聲環(huán)境下的弱信號也具有較好的檢測效果,且結(jié)構(gòu)簡單、計算量小[6]。

        由于ANF頻率估計方法同離散頻譜校正理論的差別較大,故本文所指的極端頻率信號,主要指歸一化頻率接近于0或π兩端的信號。例如,當(dāng)采樣頻率設(shè)為4 096 Hz,型號為6307E型的滾動軸承,其內(nèi)圈、外圈的故障特征頻率分別為76.5和98.8 Hz[7],相對于采樣頻率4 096 Hz則為極低頻信號,其歸一化頻率接近于0。此外,當(dāng)現(xiàn)有的采集裝置的采樣頻率限定為1 024 Hz時,旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)松動故障產(chǎn)生的10倍頻簡諧分量(基頻50 Hz,50×10 Hz=500 Hz,接近奈奎斯特頻率512 Hz)相對于采樣頻率1 024 Hz則為極高頻信號,其歸一化頻率接近于π。

        針對上述信號進(jìn)行頻率估計時,由于噪聲干擾增大,其頻率估計精度將出現(xiàn)明顯下降,且存在算法不穩(wěn)定,收斂速度偏慢的缺點[8,9]。針對此問題,文獻(xiàn)[10,11]對ANF誤差函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn),使該誤差函數(shù)具備一定斜直線的特性,一定程度上加快了ANF收斂速度。文獻(xiàn)[12,13]針對上述文獻(xiàn)結(jié)果有偏的問題進(jìn)行了研究,取得了近似無偏的頻率估計結(jié)果,但上述方法的缺點是最優(yōu)頻率估計解為局部極小值點,對頻率初始值的設(shè)定有一定的要求,且為間接頻率估計,對估計后參數(shù)的取值有一定的限制;同時其頻率估計結(jié)果存在振蕩,針對極端頻率信號的估計精度和穩(wěn)定性還有待進(jìn)一步提升。

        為此,本文為解決現(xiàn)有ANF方法估計極端頻率信號時存在收斂速度慢、精度不高、穩(wěn)定性差的問題,通過提出一種新誤差函數(shù),改善ANF在整個頻率范圍內(nèi)的迭代收斂曲面,加快ANF收斂速度與算法穩(wěn)定性;同時,采用偏差補(bǔ)償方式,降低噪聲對ANF的影響,提供近似無偏的極端頻率信號頻率估計結(jié)果。

        綜上所述,本文提出了一種ANF極端頻率信號直接頻率估計新方法,并與原有算法進(jìn)行了有關(guān)性能的比較分析。

        1 極端頻率信號

        設(shè)正弦信號為

        (1)

        根據(jù)采樣定理,fs≥2f0,故可知信號頻率的取值范圍為0<ω0≤π;同時現(xiàn)有的ANF研究表明[14],當(dāng)信號頻率0<ω0≤0.1π或0.9π<ω0≤π時,ANF的性能出現(xiàn)明顯下降,所以本文討論的極頻信號主要指頻率0<ω0≤0.1π的極低頻信號或0.9π<ω0≤π的極高頻信號。

        2 新自適應(yīng)陷波器方法

        2.1 新誤差函數(shù)

        ANF傳遞函數(shù)為

        (2)

        式中ρ為極半徑,控制陷波寬度,且0?ρ<1。ANF參數(shù)a=-2cosω,ω為ANF陷波頻率,在頻率估計過程中,ω將趨近于ω0,故ω可看作為ω0的估計值,此時,a→a0=-2cosω0。

        在頻率估計過程中,若估計a值,則為間接頻率估計,此時需保證-2≤a≤2,以使ω=arccos(-a/2)有解。但若估計ω,則為直接頻率估計,不需保證ω的取值范圍,步驟較為簡化。

        為此,將a=-2cosω代入式(2)可得

        (3)

        式中N(z,ω)和H(z,ω)分別為ANF的FIR和IIR結(jié)構(gòu)。則信號x(k)通過N(z,ω)和H(z,ω)的信號e1(k)和e2(k)分別為

        (4)

        為了獲得最佳頻率估計值,ANF通過調(diào)整陷波頻率ω,使下式的新誤差函數(shù)最小化

        J(ω)=E[e2(k)(e1(k)+e2(k))]

        (5)

        式中E[·]表示求取期望,其保留了傳統(tǒng)IIR自適應(yīng)陷波器頻率估計精度高,在最優(yōu)頻率值附近下降速度快的優(yōu)點;同時使誤差函數(shù)在遠(yuǎn)離最優(yōu)頻率值時仍能夠保持一定的梯度值,使其可保持較快的收斂速度。在實際計算中可按下式進(jìn)行計算

        (6)

        由于輸入信號為正弦信號,故式(3)中N(z,ω)和H(z,ω)在輸入信號頻率ω0處的幅值為

        (7)

        相角為

        (8)

        結(jié)合式(4),(7)和(8),可得

        (9)

        將式(7)~(9)代入式(5),可得

        J(ω)=E[e2(k)(e1(k)+e2(k))]=

        (10)

        為說明所提新誤差函數(shù)的優(yōu)越性,故比較文獻(xiàn)[10]所采用的如下式所示的原有誤差函數(shù)為

        (11)

        實際計算時按下式計算

        (12)

        為說明本文所提如式(5)所示新誤差函數(shù)的優(yōu)越性,故所取參數(shù)同文獻(xiàn)[10]保持一致,A=1,θ=π/6,ρ=0.95,σ2=0,輸入信號頻率分別取3個不同的值,π/3,π/2和2π/3,則文獻(xiàn)[10]和本文方法所提誤差函數(shù)如圖1所示。又由于極高頻和極低頻具有對稱性,故只分析頻率ω0為0.01π時的極低頻信號,其他參數(shù)設(shè)置保持不變,則極端頻率下相應(yīng)的誤差函數(shù)如圖2所示。

        圖1 不同方法所提誤差函數(shù)的理論值與計算值

        圖2 ω0=0.01π時不同方法所提誤差函數(shù)

        由圖1,2可知,兩種不同誤差函數(shù)的理論計算值同實際計算值基本保持一致。同時,本文所提誤差函數(shù)J(ω)相較J0(ω)的梯度值較大,在迭代計算過程中的收斂速度將更快,且最優(yōu)頻率值的選取較為明顯。特別當(dāng)輸入信號頻率為極低頻,ω0=0.01π時,文獻(xiàn)[10]所提誤差函數(shù)在這一區(qū)域附近基本為平直線,喪失了對最優(yōu)解的收斂性能,且容易在最優(yōu)解附近產(chǎn)生收斂振蕩,導(dǎo)致其算法不穩(wěn)定。而本文所提誤差函數(shù)仍然具有較大的梯度值,仍可收斂至最優(yōu)頻率值,提升了算法的穩(wěn)定性。

        圖3 ω0=π/3時本文方法所提誤差函數(shù)曲面圖

        圖4 ω0=π/3時原有誤差函數(shù)曲面圖

        圖5 ω0=0.01π時本文方法所提誤差函數(shù)曲面圖

        圖6 ω0=0.01π時原有誤差函數(shù)曲面圖

        2.2 頻率估計偏差問題分析

        結(jié)合式(5)所示新誤差函數(shù),可知ANF直接頻率估計方法為

        ω(k)-μ[(g1(k)+2g2(k))e2(k)+e1(k)g2(k)]

        (13)

        式(13)中的e1(k)g2(k)相對于其他項較小,為簡化計算,可略去e1(k)g2(k)[10],于是可得

        ω(k+1)=ω(k)-μ[g1(k)+2g2(k)]e2(k)

        (14)

        (15)

        可知g1(k)和g2(k)分別為x(k)通過G1(z,ω)和G2(z,ω)后的信號。

        一般而言,式(14)所示頻率估計方法結(jié)果有偏,為消除該偏差,對式(14)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)條件下的偏差分析,此時ω→ω0,故可得[15]

        (16)

        穩(wěn)態(tài)下,由于ω→ω0,故可用ω0替代式(15)中的ω(k),由此可得e1(k),e2(k),g1(k)和g2(k)的表達(dá)式

        (17)

        其中,δω(k)=ω(k)-ω0;v1(k),v2(k),v3(k)和v3(k)為噪聲v0(k)分別通過N(z,ω),G1(z,ω),H(z,ω)和G2(z,ω)后所產(chǎn)生。

        由此,將式(14)的兩邊同時減去ω0,可得

        δω(k+1)=δω(k)-μ[g1(k)+2g2(k)]e2(k)

        (18)

        對式(18)兩邊同取期望,并將式(17)代入。同時,令Ri,j=Rj,i=E[vi(k)vj(k)]表示噪聲vi(k)和vj(k)的相關(guān)值,計算時由于ρ→1,為簡化計算,設(shè)(1-ρ)2≈0,則可得

        E[δω(k+1)]=E[δω(k)]-μE[g1(k)+2g2(k)]e2(k)=(1-μM1)E[δω(k)]+

        (19)

        由式(19)可知,其右邊最后一項,即輸出信號間噪聲的相關(guān)性,是導(dǎo)致如式(14)所示頻率估計算法結(jié)果有偏的根本原因。同時,該項是輸入信號噪聲σ2、極半徑ρ和頻率估計結(jié)果ω的函數(shù),且無論如何調(diào)整上述參數(shù),都無法使該項為0。為此,需消除此項的影響,提高其頻率估計精度。

        2.3 無偏頻率估計方法

        為得到無偏頻率估計結(jié)果,需對輸入信號噪聲σ2進(jìn)行估計。為此,令c(k)=4(ρ-1)sin2ω(k),分析可知

        E[c(k)x(k)e1(k)]=

        c(k)A2sinω0cosφ1E[δω(k)]+c(k)σ2

        (20)

        式(20)中右邊最后一項包含了2R3,4+R2,3的值,于是,將式(20)中的c(k)x(k)e1(k)代入式(18),兩邊同取期望。雖然引入了多余項c(k)A2sinω0cosφ1·E[δω(k)],但是該項可與式(19)中的M1合并,對頻率估計精度的影響較小,由此可知基于新誤差函數(shù)的ANF極端頻率無偏直接估計新方法為

        ω(k+1)=ω(k)-μG(k)

        (21)

        其中,G(k)=[g1(k)+2g2(k)]e2(k)-c(k)x(k)e1(k)。

        該算法流程為:

        Step1. 設(shè)置頻率初始值ω(0),算法步長μ和ANF參數(shù)ρ;

        Step2. 在k時刻,將信號x(k)分別通過N(z,ω)和H(z,ω),得到e1(k)和e2(k),并計算c(k);e1(k)=x(k)-2cosω(k)x(k-1)+x(k-2),e2(k)=e1(k)+2ρcosω(k)e2(k-1)-ρ2e2(k-2),c(k)=4(ρ-1)sin2ω(k)。

        Step3. 計算k時刻的信號g1(k)和g2(k),同時計算G(k)的值;

        G(k)=[g1(k)+2g2(k)]e2(k)-c(k)x(k)e1(k)

        Step4. 按式(21)更新頻率估計值,得到

        ω(k+1)=ω(k)-μG(k)

        Step5. 重復(fù)步驟Step2~Step4,直至算法收斂。

        3 性能分析

        3.1 穩(wěn)態(tài)偏差分析

        對式(21)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)條件下的偏差分析,式(21)兩邊同減去ω0并取期望,得

        E[δω(k+1)]=E[δω(k)]-μE[G(k)]=

        [1-μ(M1-c(k)A2sinω0cosφ1)]E[δω(k)]+

        (22)

        穩(wěn)態(tài)條件下,可知

        (23)

        式(22)可變化為

        (24)

        3.2 穩(wěn)態(tài)MSE分析

        對式(21)兩邊同減去ω0并平方,求取期望可得

        (25)

        式(25)左邊第二項的計算可利用文獻(xiàn)[13]所用方法,得

        2μE[G(k)δω(k)]=2μE[δω(k-2)G(k)]-

        (26)

        則結(jié)合式(26),將式(25)展開,經(jīng)過一系列復(fù)雜繁瑣的推導(dǎo)后,可得

        (27)

        其中,ψ1=A2sinω0[6Bcos(ω0-φ2)-2ccosφ1],ψ2=A4sin2ω0[9B2+9B2cos(2φ2-2ω0)/2-

        3cBcos(φ1-φ2-ω0)-6cBcos(φ2-ω0)cosφ1],

        2cos2(iω0)]+6Bc[cos(φ1-φ2-ω0)cos(2iω0)+

        2cos(ω0-φ2)cosφ1]},ψ4=4sin2ω0(1-ρ)(13-32cos2ω0)σ4。

        結(jié)合式(23)可知,穩(wěn)態(tài)下式(27)可化為

        (28)

        4 計算驗證

        4.1 頻率估計精度分析

        圖7 ω0=0.01π時ANF頻率估計效果圖

        圖8 ANF頻率估計偏差E[δω(k)]和均方差

        圖9 ANF在全頻段頻率估計偏差E[δω(∞)]和均方差

        圖10 SNR=5 dB時ANF在0<ω0≤0.1π的頻率估計偏差E[δω(∞)]和均方差

        圖11 無噪聲時ANF在0<ω0≤0.1π的頻率估計E[δω(∞)]和

        4.2 時變信號頻率估計精度分析

        圖12 ANF時變信號頻率估計效果圖

        保持參數(shù)設(shè)置不變,待估頻率值ω0開始設(shè)為0.05π,在第5×104個采樣點后變?yōu)?.3π。則ANF估計時變信號頻率的效果如圖12所示。由圖12可知,本文方法能夠較好地跟蹤時變信號,但文獻(xiàn)[13]所提方法在信號頻率由0.05π變?yōu)?.3π時,喪失了跟蹤信號頻率的能力,這主要是由于當(dāng)頻率發(fā)生變化時,誤差函數(shù)曲面也發(fā)生了變化,此時ANF的頻率估計值剛好位于變化后誤差函數(shù)的全局極小值點,而最優(yōu)頻率解恰恰位于遠(yuǎn)離此處的局部極小值點,從而導(dǎo)致其無法收斂至最優(yōu)頻率解,反而繼續(xù)收斂至全局極小值點,導(dǎo)致頻率估計產(chǎn)生偏差,無法實時跟蹤時變信號的頻率。

        4.3 步長μ對頻率估計精度的影響分析

        圖13 不同μ值下的ANF頻率估計偏差E[δω(∞)]和均方差

        4.4 極半徑ρ對頻率估計精度的影響分析

        圖14 不同ρ值下的ANF頻率估計偏差E[δω(∞)]和均方差

        4.5 不同信噪比(SNR)對頻率估計精度的影響分析

        保持參數(shù)設(shè)置不變,圖15是不同信噪比下ANF的頻率估計精度。由圖15可知,當(dāng)信噪比較高時,本文方法與文獻(xiàn)[13]方法的頻率估計精度相當(dāng),而當(dāng)信噪比較低時,本文方法明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[13]方法。

        圖15 不同信噪比下的ANF頻率估計偏差E[δω(∞)]和均方差

        5 結(jié) 論

        針對ANF極端頻率估計存在的問題,提出了一種極端頻率估計ANF新方法。通過新誤差函數(shù),改善ANF在整個頻率范圍內(nèi)的迭代收斂曲面,加快了ANF收斂速度,增強(qiáng)了ANF頻率估計的穩(wěn)定性;通過噪聲σ2估計,利用偏差補(bǔ)償技術(shù),有效降低了ANF頻率估計的偏差與均方差,提高了頻率估計精度,獲得了近似無偏頻率估計結(jié)果;分析了所提方法的穩(wěn)態(tài)性能。本文方法彌補(bǔ)了ANF對極端頻率信號進(jìn)行頻率估計時的缺陷,拓展了ANF進(jìn)行頻率估計的適用范圍。研究表明有如下結(jié)論:

        (1) 算法精度較高。特別針對極端頻率信號時,較原方法有明顯提高。

        (2) 算法抗噪性較好。在信噪比為-10~20 dB時,本文方法的頻率估計精度變化較原方法更小,且MSE值基本保持不變。

        (3) 算法實現(xiàn)簡單。本文算法相對于原算法增加的計算量較少,且為時域遞推算法,實時性可以得到滿足。

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