黃曉華，仇家強(qiáng)，劉奇，王可，張健

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

現(xiàn)代機(jī)床正向高速、大功率、高精度的方向發(fā)展，隨著加工精度和切削速度的不斷提高，對(duì)機(jī)床動(dòng)態(tài)特性提出了更高的要求。利用有限元方法研究機(jī)床動(dòng)態(tài)性能已經(jīng)成為設(shè)計(jì)和優(yōu)化機(jī)床結(jié)構(gòu)的重要手段和發(fā)展趨勢(shì)?；谠Y(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法，分別從結(jié)構(gòu)件內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部輪廓進(jìn)行優(yōu)化，有效解決了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)［1］提出了基于元結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法，并用該方法對(duì)床身進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化。文獻(xiàn)［2］建立了元結(jié)構(gòu)方法的理論模型，并證明了該方法的可行性。文獻(xiàn)［3－5］運(yùn)用該方法對(duì)機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)優(yōu)化。本文針對(duì)傳統(tǒng)元結(jié)構(gòu)選型過(guò)程中，存在備選元結(jié)構(gòu)局部尺寸完全由經(jīng)驗(yàn)確定、質(zhì)量不統(tǒng)一等問(wèn)題，提出新的選型方法，并通過(guò)兩種典型元結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的分析、比較，驗(yàn)證新選型方法的可行性。

1 基于元結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

1.1 基于元結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法簡(jiǎn)介

元結(jié)構(gòu)指把機(jī)械結(jié)構(gòu)大件按其組成的形體進(jìn)行分解，最終可分解得一些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化不大、相對(duì)獨(dú)立的基本單元結(jié)構(gòu)［1，6］。如床身等結(jié)構(gòu)件中“井”字形筋板形成的一系列立方體筋格元結(jié)構(gòu)。通過(guò)改善元結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤詈蛢?yōu)化其尺寸比例，可有效提高結(jié)構(gòu)件動(dòng)態(tài)性能。基于元結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化包含以下幾個(gè)過(guò)程:提取元結(jié)構(gòu)和框架結(jié)構(gòu)→元結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)優(yōu)化→框架結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)優(yōu)化→建立整體結(jié)構(gòu)的變量化模型→選取設(shè)計(jì)變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化［7］。

1.2 元結(jié)構(gòu)選型方法

元結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化包含元結(jié)構(gòu)的選型和尺寸優(yōu)化兩方面的內(nèi)容，當(dāng)需要改變?cè)Y(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤顣r(shí)就涉及到元結(jié)構(gòu)的選型問(wèn)題。常見(jiàn)的元結(jié)構(gòu)選型流程如圖1(a)，其備選元結(jié)構(gòu)尺寸完全由經(jīng)驗(yàn)確定，可通過(guò)比較元結(jié)構(gòu)單體的動(dòng)態(tài)特性來(lái)選定元結(jié)構(gòu)型式。該選型過(guò)程存在以下不足:1)備選元結(jié)構(gòu)的尺寸比例由經(jīng)驗(yàn)確定，未經(jīng)優(yōu)化，直接比較不能保證選型的正確性，如文獻(xiàn)［5］中兩種元結(jié)構(gòu)尺寸的選定;2)元結(jié)構(gòu)局部尺寸的選擇具有一定的任意性，備選元結(jié)構(gòu)間存在一定的質(zhì)量差。文獻(xiàn)［3］提及使備選元結(jié)構(gòu)質(zhì)量大致相等，但沒(méi)有給出具體的解決方法。當(dāng)注重結(jié)構(gòu)的輕量化時(shí)，質(zhì)量指標(biāo)在綜合性能中占有一定的權(quán)重，不可忽視;3)未給合實(shí)際結(jié)構(gòu)考慮元結(jié)構(gòu)擴(kuò)展后的動(dòng)態(tài)性能。

圖1 元結(jié)構(gòu)選型流程

為解決以上不足，本文提出如圖1(b)所示的選型方法。先根據(jù)實(shí)際需要提出備選元結(jié)構(gòu)，并在ANSYS 優(yōu)化模塊中優(yōu)化備選元結(jié)構(gòu)的尺寸比例。在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)置統(tǒng)一的最大質(zhì)量約束，使得優(yōu)化后備選元結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能均達(dá)到最優(yōu)的同時(shí)，質(zhì)量基本一致。由于擴(kuò)展結(jié)構(gòu)更接近實(shí)際結(jié)構(gòu)，其動(dòng)態(tài)特性也更能體現(xiàn)實(shí)際結(jié)構(gòu)件的動(dòng)態(tài)特性，因此，先將尺寸優(yōu)化后的元結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展，再根據(jù)擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能選定元結(jié)構(gòu)的型式。以下將以?xún)煞N典型元結(jié)構(gòu)的比較，進(jìn)行詳細(xì)分析和說(shuō)明，驗(yàn)證新方法的可行性。

2 元結(jié)構(gòu)單體及擴(kuò)展結(jié)鉤動(dòng)態(tài)特性分析

2.1 元結(jié)構(gòu)單體間的分析比較

目前機(jī)床床身中典型的元結(jié)構(gòu)型式如圖2 所示。

圖2 典型元結(jié)構(gòu)

A 型為在六面體的每個(gè)面開(kāi)圓形出砂孔;B 型為六面體的每個(gè)面開(kāi)正方形出砂孔;C 型為B 型的改進(jìn)型，在方形出砂孔的每個(gè)直角處加入過(guò)渡斜角。

在ANSYS 中建立A 和C 型的參數(shù)化模型，進(jìn)行尺寸迭代優(yōu)化。雖然實(shí)際元結(jié)構(gòu)不一定都為等邊長(zhǎng)的立方體，但對(duì)其進(jìn)行分析具有代表性。統(tǒng)一立方體元結(jié)構(gòu)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=300 mm(取筋板厚度中心距離)，鑄鐵材料彈性模量E=1.3e5 MPa，密度ρ=7 350e9 kg/mm3，泊松比μ=0.27。

設(shè)計(jì)變量:如圖2 所示，對(duì)A 型，選擇圓形出砂孔的直徑D、筋板厚度T 作為設(shè)計(jì)變量;對(duì)C 型，選方形出砂孔的邊長(zhǎng)D、過(guò)渡斜角的直角邊長(zhǎng)S 和筋板厚度T 作為設(shè)計(jì)變量。

狀態(tài)變量:選定元結(jié)構(gòu)的質(zhì)量作為約束變量。優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，備選元結(jié)構(gòu)的最大質(zhì)量約束條件一致。

目標(biāo)函數(shù):對(duì)于動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，可選低階頻率、振型幅值等動(dòng)態(tài)指標(biāo)構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)。本文以提高元結(jié)構(gòu)的低階頻率作為優(yōu)化的目標(biāo)，由元結(jié)構(gòu)前三階固有頻率構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)。由于ANSYS 優(yōu)化設(shè)計(jì)總是使目標(biāo)函數(shù)值最小，且為正值［8］，從提高結(jié)構(gòu)低階頻率出發(fā)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)F 為:

式中:

Freq1、Freq2、Freq3 分別為元結(jié)構(gòu)的一、二、三階固有頻率。選用一階優(yōu)化方法，最大質(zhì)量約束條件為90 kg時(shí)，目標(biāo)函數(shù)F 的迭代曲線(xiàn)如圖3 所示。在不同質(zhì)量約束條件下，最優(yōu)尺寸比例如圖4 及圖5 所示，優(yōu)化后元結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率及實(shí)際質(zhì)量如表1 所示。

圖3 目標(biāo)函數(shù)F 迭代曲線(xiàn)

圖4 最優(yōu)尺寸比例D/L 曲線(xiàn)

圖5 最優(yōu)尺寸比例T/L、S/L 曲線(xiàn)

根據(jù)圖4、圖5 中設(shè)計(jì)變量與元結(jié)構(gòu)邊長(zhǎng)的比值曲線(xiàn)，最優(yōu)尺寸比例D/L、T/L 和S/L 均隨著質(zhì)量的變化有較大變化。此外，A、C 兩種型式元結(jié)構(gòu)的最優(yōu)尺寸比例D/L、T/L 并不相同。由此可得，用傳統(tǒng)選型方法比較這兩種型式的元結(jié)構(gòu)時(shí)，采用統(tǒng)一D/L、T/L 會(huì)影響選型的正確性。

分析表1 中數(shù)據(jù)，元結(jié)構(gòu)的前三階頻率均隨著質(zhì)量的增加而提高，因此，當(dāng)備選的元結(jié)構(gòu)質(zhì)量相差較大時(shí)，比較結(jié)果并不可靠。表1 中數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)質(zhì)量約束條件相同時(shí)，優(yōu)化后的元結(jié)構(gòu)質(zhì)量基本一致，A 型元結(jié)構(gòu)前三階頻率加權(quán)和SUMFREQ 的值比C 型元結(jié)構(gòu)略高，但C 型元結(jié)構(gòu)的一、二階頻率則較A 型高。因此，從提高元結(jié)構(gòu)低階頻率的目的出發(fā)，兩型元結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性各有優(yōu)點(diǎn)，動(dòng)態(tài)性能相當(dāng)。

表1 優(yōu)化后的元結(jié)構(gòu)前三階固有頻率及實(shí)際質(zhì)量

由上述分析可得以下結(jié)論:1)元結(jié)構(gòu)的最優(yōu)尺寸比例隨著質(zhì)量的變化而變化;2)元結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和尺寸比例對(duì)其頻率影響較大。未經(jīng)優(yōu)化的備選元結(jié)構(gòu)質(zhì)量不相同，同時(shí)尺寸比例有待優(yōu)化。簡(jiǎn)單地通過(guò)比較由經(jīng)驗(yàn)提出的元結(jié)構(gòu)單體的頻率選定元結(jié)構(gòu)型式并不可靠。而借助ANSYS 對(duì)元結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化，使備選元結(jié)構(gòu)尺寸比例達(dá)到最優(yōu)的同時(shí)，消除了質(zhì)量差的影響，從而可在備選元結(jié)構(gòu)質(zhì)量基本一致的條件下，對(duì)其最優(yōu)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行比較。

2.2 擴(kuò)展結(jié)構(gòu)間的分析比較

根據(jù)上述分析，就元結(jié)構(gòu)單體而言，兩種元結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能相當(dāng)。實(shí)際應(yīng)用中，優(yōu)化元結(jié)構(gòu)的最終目的是提高由其擴(kuò)展所得的床身等實(shí)際結(jié)構(gòu)件的動(dòng)態(tài)性能，因此，通過(guò)比較擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能選定元結(jié)構(gòu)型式更符合實(shí)際需要。以簡(jiǎn)單的長(zhǎng)方體床身結(jié)構(gòu)為例，將元結(jié)構(gòu)擴(kuò)展成3 ×2 ×2 個(gè)單元的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)再進(jìn)行分析和比較。選取優(yōu)化后的元結(jié)構(gòu)作為基本單元，分別進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展所得結(jié)構(gòu)如圖6 所示。

圖6 擴(kuò)展結(jié)構(gòu)

對(duì)由不同質(zhì)量的元結(jié)構(gòu)擴(kuò)展所得結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行模態(tài)分析，得到擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率和質(zhì)量如表2 所示，表中Δ=(A－C)/C×100%。

表2 擴(kuò)展結(jié)構(gòu)前三階固有頻率及質(zhì)量

由表中數(shù)據(jù)可知:1)以同一質(zhì)量的元結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展后兩型結(jié)構(gòu)實(shí)際質(zhì)量基本一致，這是由于以上兩種元結(jié)構(gòu)的質(zhì)量基本相等，且立方體元結(jié)構(gòu)每個(gè)面完全相同，具有特殊性。一般情況下，由不同型式的元結(jié)構(gòu)擴(kuò)展所得結(jié)構(gòu)的質(zhì)量不相等，在注重控制結(jié)構(gòu)質(zhì)量的情況下，擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的質(zhì)量不可忽視;2)由同一質(zhì)量元結(jié)構(gòu)組成的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，A 型擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率均高于C 型擴(kuò)展結(jié)構(gòu)，且平均高出6.6%。顯然，就固有頻率而言，A 型擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能更優(yōu)。

2.3 結(jié)果分析

根據(jù)前面的分析，就元結(jié)構(gòu)單體間的比較而言，兩種元結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能相當(dāng)，而根據(jù)擴(kuò)展結(jié)構(gòu)間的比較，A 型擴(kuò)展結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性明顯優(yōu)于C 型。從優(yōu)化實(shí)際結(jié)構(gòu)整體動(dòng)態(tài)性能的目的來(lái)看，由于擴(kuò)展結(jié)構(gòu)更接近實(shí)際結(jié)構(gòu)，其動(dòng)態(tài)性能更能反應(yīng)整個(gè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能，即最優(yōu)的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)才是最終需要的。因此，本文提出的選型方法通過(guò)比較擴(kuò)展結(jié)構(gòu)來(lái)選擇元結(jié)構(gòu)的型式更符合實(shí)際，選型結(jié)果更準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

本文提出的元結(jié)構(gòu)選型方法可有效解決目前選型方法存在的不足，其創(chuàng)新點(diǎn)在于:

1)應(yīng)用ANSYS 優(yōu)化模塊先對(duì)備選元結(jié)構(gòu)進(jìn)行迭代優(yōu)化，使元結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能均達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)可消除備選元結(jié)構(gòu)間的質(zhì)量差距，保證選型結(jié)果的可靠性。

2)將優(yōu)化后的備選元結(jié)構(gòu)進(jìn)行擴(kuò)展，分析、比較擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能。分析表明根據(jù)擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能選擇元結(jié)構(gòu)的型式更符合實(shí)際結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)優(yōu)化的需要。

元結(jié)構(gòu)的選型過(guò)程即為先優(yōu)化備選元結(jié)構(gòu)，再將優(yōu)化后的元結(jié)構(gòu)擴(kuò)展，最后根據(jù)擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能選定元結(jié)構(gòu)的型式。該方法使元結(jié)構(gòu)的選型更準(zhǔn)確，改進(jìn)了元結(jié)構(gòu)的選型過(guò)程，可以廣泛應(yīng)用于元結(jié)構(gòu)的機(jī)床立柱、床身等復(fù)雜結(jié)構(gòu)部件的動(dòng)態(tài)優(yōu)化，提高機(jī)床整機(jī)的動(dòng)態(tài)性能。

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