侯曉燕， 李繼紅

(1.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006；2.山西大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，山西 太原 030006)

引 言

隨著電子商務(wù)和現(xiàn)代技術(shù)的迅猛發(fā)展，管理機(jī)構(gòu)和通訊網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行越來越復(fù)雜，顧客對(duì)服務(wù)質(zhì)量和系統(tǒng)性能的要求也越來越高，而排隊(duì)服務(wù)是優(yōu)化服務(wù)機(jī)構(gòu)行為的一種有效方法.基于此，優(yōu)化服務(wù)系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于生活中，如公交車站?？?jī)?yōu)化[1]、收費(fèi)站設(shè)計(jì)與管理[2]和通信服務(wù)臺(tái)資源管理[3]等，企業(yè)通過研究顧客的行為來調(diào)整排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)機(jī)制，從而得到平衡性策略.Hassin和Haviv[4]研究了排隊(duì)系統(tǒng)中顧客的行為及排隊(duì)均衡策略.Stidham[5]對(duì)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客行為和服務(wù)機(jī)制作了優(yōu)化.在此基礎(chǔ)上，孫霞林等[6]對(duì)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行了分析，給出了統(tǒng)計(jì)平衡條件的主要指標(biāo)，討論了該排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題.另外一些文獻(xiàn)基于服務(wù)時(shí)間競(jìng)爭(zhēng)研究了經(jīng)濟(jì)排隊(duì)模型，Brill和Hlynka[7]、Christ[8]研究了以等待時(shí)間來競(jìng)爭(zhēng)顧客的問題.Kut[9]在尋找最優(yōu)價(jià)格和等待時(shí)間過程中，得出了不同的企業(yè)和市場(chǎng)特點(diǎn)將影響企業(yè)產(chǎn)品的價(jià)格和顧客的等待時(shí)間.Parra-Frutos[10]在不確定環(huán)境下，研究了以時(shí)間競(jìng)爭(zhēng)的M/M/1排隊(duì)模型，去尋找使企業(yè)利潤(rùn)最大化的等待時(shí)間和服務(wù)能力水平，但也僅是采用數(shù)據(jù)處理的方式給出了分析結(jié)果，并未實(shí)際建立模型且給出理論結(jié)果；并且，當(dāng)系統(tǒng)中沒有顧客，服務(wù)臺(tái)就會(huì)處于休假狀態(tài)，從而影響了顧客的逗留時(shí)間；這種休假排隊(duì)在實(shí)際生活中得到很多應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、通信網(wǎng)絡(luò)、生產(chǎn)制造系統(tǒng)[11-12].還有一類研究考察了存在第二種服務(wù)可選的M/M/1排隊(duì)模型[13-14].但目前的研究很少將休假機(jī)制與排隊(duì)平衡性策略結(jié)合考慮，基于此，在完全競(jìng)爭(zhēng)假設(shè)下，本文不僅要研究使企業(yè)利潤(rùn)最大化的服務(wù)行為，還要研究休假排隊(duì)的顧客行為，提出了以時(shí)間競(jìng)爭(zhēng)的休假排隊(duì)服務(wù)模型，目的是尋找排隊(duì)最優(yōu)指標(biāo)，比如服務(wù)能力、等待時(shí)間、價(jià)格、輸出率等.

1 模型假設(shè)

由于顧客必須等待一定的時(shí)間才能獲得服務(wù)，其中產(chǎn)品價(jià)格p>0，所以顧客不僅對(duì)價(jià)格感興趣，而且對(duì)等待時(shí)間成本感興趣.將價(jià)格和等待時(shí)間成本的和稱為總費(fèi)用.假設(shè)條件

p+cW≤R

(1)

其中c是每個(gè)顧客等待的單位時(shí)間成本，W為顧客的期望等待時(shí)間，R是顧客被服務(wù)后所得的收益.只要顧客所花的總費(fèi)用不超過服務(wù)所得的收益，顧客就愿意來接受服務(wù).

設(shè)顧客到達(dá)過程服從參數(shù)λ的泊松過程，且假設(shè)其對(duì)價(jià)格和等待時(shí)間敏感，所以到達(dá)率λ是關(guān)于價(jià)格和期望等待時(shí)間的函數(shù)，即：

λ=λ(p,W(μ))

(2)

在完全競(jìng)爭(zhēng)假設(shè)下，存在許多的服務(wù)企業(yè)和顧客，產(chǎn)品都是相同的.考慮M/M/1排隊(duì)模型，企業(yè)的服務(wù)是參數(shù)為μ的泊松過程，當(dāng)系統(tǒng)中沒有顧客時(shí)，服務(wù)臺(tái)立即進(jìn)入休假，休假時(shí)間服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，從而影響了顧客的等待時(shí)間.期望等待時(shí)間(排隊(duì)時(shí)間加上服務(wù)時(shí)間)表達(dá)式為

(3)

在排隊(duì)系統(tǒng)M/M/1中，輸入與輸出相同，且不被服務(wù)機(jī)制所影響，所以，若到達(dá)過程為參數(shù)λ的泊松過程，則輸出過程也是參數(shù)λ的泊松過程.

2 期望利潤(rùn)函數(shù)

假設(shè)給定期望等待時(shí)間，參數(shù)c和R已知，將得到滿足表達(dá)式(1)的產(chǎn)品價(jià)格.因此，為了得到最優(yōu)的價(jià)格，需要最優(yōu)的期望等待時(shí)間.

假設(shè)將企業(yè)成本建立在服務(wù)能力和到達(dá)率上：建立在服務(wù)能力上的成本函數(shù)表示為C(μ),即服務(wù)顧客的能力，假設(shè)當(dāng)μ≠0時(shí)，C(μ)≠0，dC(μ)/dμ=C＇(μ)>0，并且它是連續(xù)可導(dǎo)的，它的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的；建立在到達(dá)率上的成本表示為γ，是每個(gè)顧客的固定成本.

由于本文考慮的是休假排隊(duì)模型，所以到達(dá)率還是關(guān)于休假能力θ的函數(shù)，由(3)式可以得到到達(dá)率λ的函數(shù)為:

(4)

由(1)式可得價(jià)格p的函數(shù)為：

p(W)=R-cW

(5)

期望收入函數(shù)為:I(W,μ,θ)=λ(W,μ,θ)[p(W)-γ]

因此，期望利潤(rùn)函數(shù)為：

π(W,μ,θ) =期望收入-服務(wù)能力=I(W,μ,θ)-C(μ)

式中W、μ和θ均為變量.

為保證利潤(rùn)函數(shù)有意義，企業(yè)的收入必須為正，否則，企業(yè)將不會(huì)設(shè)定這樣一個(gè)方案.由此得到以下條件：

此條件使得λ和p(W)-γ都為正，從而保證了期望收入為正.

條件B 由條件A可得1/μ+1/θ<(R-γ)/c，所以服務(wù)能力μ必須滿足如下條件：

此條件給出了服務(wù)能力的可能取值范圍，表示如果條件A成立的話，那么條件B也成立，反之不成立.為了簡(jiǎn)化，將最小的服務(wù)能力cθ/[(R-γ)θ-c]表示為μ*.

條件C 由條件A可得1/μ+1/θ<(R-γ)/c和1/μ+1/θ

同樣，條件A成立，條件C成立.將最小休假能力max {μ/(Wμ-1),cμ/[(R-γ)μ-c]}稱為θ*.

條件D 服務(wù)能力成本函數(shù)C(μ)是這樣一個(gè)函數(shù)：存在使得期望利潤(rùn)函數(shù)為正的W、μ和θ.

因此，企業(yè)期望利潤(rùn)函數(shù)可以寫成如下：

(6)

在這里，條件A、B和C已包含.在研究利潤(rùn)最大化的解決方案之前，先來研究此函數(shù)的一些性質(zhì).

引理1 期望利潤(rùn)函數(shù)π(W,μ,θ)有以下性質(zhì)：

(i) 當(dāng)W>1/θ時(shí)，π(W,μ,θ)關(guān)于W是嚴(yán)格凹函數(shù)；

(ii) 存在兩個(gè)值W1、W2，使得1/μ+1/θ0；

(iii) 當(dāng)W∈(1/μ+1/θ,(R-γ)/c)時(shí)，π(W,μ,θ)存在最大值；

(iv) 當(dāng)0C(μ)時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于μ是嚴(yán)格遞增的；相反，是嚴(yán)格遞減的；

(v) 當(dāng)0θ*是嚴(yán)格遞增的.

證明(i)π(W,μ,θ)關(guān)于W的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)為:

(7)

當(dāng)W>1/θ時(shí)，容易看出上式恒小于0.因此π(W,μ,θ)對(duì)?W>1/θ是嚴(yán)格凹函數(shù)；

(ii) 因?yàn)楫?dāng)W=1/μ+1/θ和W=(R-γ)/c時(shí)，π(W,μ,θ)<0，再由條件A和D可知，存在一個(gè)開區(qū)間(W1,W2)?(1/μ+1/θ,(R-γ)/c)使得π(W,μ,θ)為正，且π(W1,μ,θ)=π(W2,μ,θ)=0；

(iv)π(W,μ,θ)對(duì)μ求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)：

容易看出結(jié)論成立；

(v)π(W,μ,θ)對(duì)θ求一階導(dǎo)數(shù)得:

由p-γ>0可知上式恒大于0.因此，π(W,μ,θ)關(guān)于θ>θ*是嚴(yán)格遞增的.

3 最優(yōu)方案的設(shè)定

3.1 期望等待時(shí)間

在給定服務(wù)能力和休假能力的前提下，要得到企業(yè)的最優(yōu)方案，需要利潤(rùn)最大化的等待時(shí)間.因此，有如下定理：

定理1 在完全競(jìng)爭(zhēng)假設(shè)下，以時(shí)間競(jìng)爭(zhēng)的M/M/1休假排隊(duì)服務(wù)企業(yè)，到達(dá)率由收益為R、等待時(shí)間成本為c的顧客組成.給定服務(wù)能力μI>μ*，休假能力θI>θ*,則企業(yè)的最優(yōu)等待時(shí)間為:

(8)

企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)品價(jià)格為:

(9)

企業(yè)的最優(yōu)輸出率為:

(10)

證明由引理1中的性質(zhì)(iii)可知期望利潤(rùn)函數(shù)(6)式在區(qū)間(1/μ+1/θ,(R-γ)/c)上存在一個(gè)最大值.因此利潤(rùn)最大化的等待時(shí)間就是令(7)式等于0，即可得到(8)式.很容易得到(9)、(10)式.

這樣，顧客就可根據(jù)企業(yè)的服務(wù)能力和休假能力來調(diào)整顧客的到達(dá)過程，同時(shí)，企業(yè)可設(shè)定出合理的價(jià)格.

3.2 最優(yōu)服務(wù)策略

由最優(yōu)等待時(shí)間的表達(dá)式得到了利潤(rùn)函數(shù)，記為π*(μ)，下面用此函數(shù)去尋找最優(yōu)的服務(wù)能力水平.

將(8)式代入(6)式可以得到利潤(rùn)函數(shù)π*(μ)：

(11)

可以看出π*(μ*)=-C(μ*)<0.

使得(11)式最大化的條件一為:

(12)

在這里，μ～是否存在關(guān)鍵在于C(μ)，如果μ～存在，也沒有明確的表達(dá)式.條件二為:

(13)

此研究中的μ～如果存在的話，有如下引理：

引理2 如果μ～存在，那么μ～>μ*.

證明由于C′(μ)>0,再由(12)式有

因此，

觀察(13)式，π*(μ)為凸函數(shù)或?yàn)榘己瘮?shù)關(guān)鍵在于服務(wù)能力成本函數(shù)C(μ)的情形.因此，有如下結(jié)論：服務(wù)能力成本函數(shù)C(μ)不同，服務(wù)能力μ對(duì)利潤(rùn)函數(shù)π*(μ)的影響也不同.特別地，我們分別討論C(μ)為線性函數(shù)、凹函數(shù)和凸函數(shù)的情況，即C″(μ)=0、C″(μ)<0和C″(μ)>0.

引理3 如果C(μ)為線性函數(shù)或凹函數(shù)，則π*(μ)為凸函數(shù)，如果最小值μ～存在，有π*(μ*)<0,如果最小值μ～不存在，π*(μ)隨著μ的增加而增加.

證明如果C(μ)為線性函數(shù)，則C″(μ)=0，(13)式大于0，π*(μ)為凸函數(shù).如果C(μ)為凹函數(shù)，則C″(μ)<0，(13)式大于0，π*(μ)也為凸函數(shù).如果μ～存在，由于π*(μ*)<0,又μ～為最小值，所以π*(μ～)<π*(μ*)<0.如果μ～不存在，由于π*(μ*)<0并且由條件D知存在使得π*(μ)>0的μ，所以π*(μ)關(guān)于μ是嚴(yán)格遞增的.

因此，如果C(μ)為線性函數(shù)或凹函數(shù)，服務(wù)企業(yè)的最優(yōu)方案有如下定理：

定理2 如果C(μ)為線性函數(shù)或凹函數(shù)，則存在一個(gè)服務(wù)能力水平μ**，μ**>μ*,π*(μ**)=0，當(dāng)μ>μ**時(shí)，π*(μ)>0，且隨著的μ增加而增加.

因此，如果C(μ)為線性函數(shù)或凹函數(shù)時(shí)，不存在使得企業(yè)利潤(rùn)最大化的服務(wù)能力水平，它的利潤(rùn)隨著服務(wù)能力的增加而增加.

引理4 如果C(μ)為凸函數(shù)時(shí)，π*(μ)先是凸函數(shù)，隨著μ的增加，π*(μ)變?yōu)榘己瘮?shù).另外，最小值(最大值)在凸(凹)區(qū)間取到.

綜合以上結(jié)果，并且考慮到π*(μ*)<0，有如下的推論：

推論1 如果C(μ)為凸函數(shù)，π*(μ)的最優(yōu)解在凹區(qū)間取得.

因此，由定理2和推論1能夠得到如下結(jié)論：

(1)當(dāng)服務(wù)能力成本函數(shù)是線性函數(shù)或凹函數(shù)時(shí)，企業(yè)的利潤(rùn)隨著服務(wù)能力的增加而增加，此時(shí)，企業(yè)不存在最優(yōu)方案；

(2)當(dāng)服務(wù)能力成本函數(shù)是凸函數(shù)時(shí)，企業(yè)存在最優(yōu)的服務(wù)能力.

4 實(shí)例分析

假設(shè)c=10,R=100,γ=10,給定休假能力θI=1/2,將其代入(11)式來驗(yàn)證企業(yè)利潤(rùn)與服務(wù)能力的關(guān)系.

當(dāng)服務(wù)能力成本函數(shù)為線性函數(shù)，并設(shè)C(μ)=10μ+30時(shí)，如圖1(a)所示.從圖中可以看出，極值μ～存在，且μ*<μ～，與引理2相符.存在μ**使得π*(μ**)=0，并且，當(dāng)μ>μ**時(shí)，π*(μ)>0，且隨著μ的增加而增加，同定理2.因此，沒有最優(yōu)的服務(wù)能力.

當(dāng)服務(wù)能力成本函數(shù)為凹函數(shù)，并設(shè)為C(μ)=-2μ2+40μ+50時(shí)，如圖1(b)所示.從圖中可以看出，極值μ～存在，且μ*<μ～，與引理2相符.存在μ**使得π*(μ**)=0，并且，當(dāng)μ>μ**時(shí)，π*(μ)>0，且隨著μ的增加而增加，同定理2.同樣沒有最優(yōu)的服務(wù)能力.

當(dāng)服務(wù)能力成本函數(shù)為凸函數(shù)，并設(shè)為C(μ)=3μ2-40μ+20時(shí)，如圖1(c)三所示.從圖中可以看出，在μ～處取得最大值，此時(shí)企業(yè)的利潤(rùn)最大，同推論1.此時(shí)，存在最優(yōu)的服務(wù)能力.

圖1 不同服務(wù)成本函數(shù)(a)線性函數(shù)，(b)凹函數(shù)，(c)凸函數(shù)下公司利潤(rùn)與服務(wù)能力的關(guān)系

5 結(jié) 論

研究了完全競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，以時(shí)間競(jìng)爭(zhēng)的休假排隊(duì)服務(wù)企業(yè)的平衡性策略.本文建立的模型得出了服務(wù)企業(yè)的最優(yōu)策略必須隨服務(wù)能力成本函數(shù)的變化而變化.因此，在確定的環(huán)境下，以時(shí)間競(jìng)爭(zhēng)的企業(yè)，加快工作進(jìn)程不一定總是帶來越高的利潤(rùn).

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