王貴紅,趙金娥

(1.玉溪農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計算機科學(xué)系, 云南 玉溪 653106；2.紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 蒙自 661199)

風(fēng)險理論不僅是當(dāng)前保險業(yè)、精算界研究的重要課題，而且也是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個重要分支，其主要研究和處理保險實務(wù)中的隨機風(fēng)險模型，并從定量的角度分析保險公司經(jīng)營的安全性.生存概率作為其中一個核心課題，在風(fēng)險理論的研究中有著舉足輕重的地位[1-2].經(jīng)典風(fēng)險模型由瑞典精算師Lundberg[3]于1903年創(chuàng)立,它在理論上為風(fēng)險模型奠定了重要的思路,但作為一種理論模型由于其在應(yīng)用上的方便及在數(shù)學(xué)上的簡單性,學(xué)者們對它的研究已經(jīng)比較深入和完善.在經(jīng)典風(fēng)險模型中,總是假定保險公司的保費收入是時間的線性函數(shù),但在保險公司的實際運營中,經(jīng)常要根據(jù)以往的索賠經(jīng)驗對保費率進行調(diào)整,以致于在未來某個固定的時期內(nèi)保險公司收到的保險費是隨機的.根據(jù)這一實際情況,文獻[4-7]研究了保費收入是復(fù)合Poisson過程的風(fēng)險模型,并假設(shè)保險公司的保單到達過程與索賠計數(shù)過程是相互獨立的.事實上,由于保險公司所賣出的保單數(shù)越多,其發(fā)生的索賠次數(shù)也應(yīng)更多,因此保險公司的索賠計數(shù)過程與保單到達過程之間應(yīng)具有某種相依性.此外,現(xiàn)實生活中,貨幣利息強度總是存在且對保險公司的經(jīng)營也有一定的影響,因此研究常利息力下稀疏風(fēng)險模型的生存概率是非常有現(xiàn)實意義的.基于以上事實,考慮一類常利息力下的風(fēng)險模型,其中保單到達過程為復(fù)合Poisson過程,而索賠的計數(shù)過程為保單到達過程的p-稀疏過程.利用盈余過程的馬氏性及概率論、隨機過程等學(xué)科的理論方法,得到了模型在有限時間內(nèi)和無限時間內(nèi)生存概率滿足的積分-微分方程,并在保費額及索賠額均服從指數(shù)分布時得到了有限時間內(nèi)生存概率的微分方程.

1 模型引入

定義1 設(shè)(Ω,F,P)是一包含本文所有隨機變量(隨機過程)的完備概率空間,則對u≥0,t≥0,定義保險公司在t時刻的盈余為：

(1)

其中：

1)δ≥0為常利息力,常數(shù)u表示保險公司的初始準備金；

2) {M(t),t≥0}是參數(shù)為λ>0的Poisson過程,表示保險公司在(0,t]時間內(nèi)收到的保單數(shù)；

3) {Yk,k≥1}是一獨立同分布的非負隨機變量序列,表示保險公司第k次收取的保險費,其分布函數(shù)為G(y)；

4) {N(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的一個p-稀疏過程,即{N(t),t≥0}是強度為λp(0

5) {Xk,k≥1}是一獨立同分布的非負隨機變量序列,表示保險公司第k次的索賠額,其分布函數(shù)為F(x)；

6) {Xk,k≥1},{Yk,k≥1}和{M(t),t≥0}相互獨立.

定義2 記T=inf{t≥0,Uδ(t)<0},表示保險公司的破產(chǎn)時刻,則在初始準備金為u的條件下,分別定義保險公司的最終破產(chǎn)概率及在t時刻之前的破產(chǎn)概率為

ψ(u)=P{T<∞|Uδ(0)=u},ψ(u,t)=P{T

對應(yīng)的生存概率為Φ(u)=1-ψ(u),Φ(u,t)=1-ψ(u,t)．

2 主要結(jié)果

定理1 風(fēng)險模型(1)在無限時間內(nèi)的生存概率Φ(u)滿足以下積分-微分方程：

(2)

并滿足邊界條件：

Φ(+∞)=1,Φ(0)=0,

證明令h(t)=ueδt-u,則在很小的時間區(qū)間(0,Δt)內(nèi),由全概率公式及盈余過程的馬氏性,有

等價地

上式兩邊同時除以Δt,并令Δt→0,則有

即

由此可得

由文獻[5]知Φ(+∞)=1,顯然Φ(0)=0,在(2)式中令u→0,得

推論1 若F(x)=1-αe-αx(x≥0),G(y)=1-βe-βy(y≥0),則對于任何u≥0,Φ(u)滿足下面的微分方程:

uδΦ?(u)+[2δ-λ-uδ(β-α)]Φ″(u)+[(λ-δ)(β-α)-uδαβ]Φ′(u)=0.

并滿足邊界條件

Φ(+∞)=1,Φ(0)=0,

證明將F(x)=1-αe-αx,G(y)=1-βe-βy代入(2)式,有

(3)

由文獻[8]知Φ(u)具有可微性,故對(3)式兩邊關(guān)于u求導(dǎo),得

(4)

(4)式兩邊再對u求導(dǎo),有

(5)

由(3)～(5)式,即得

uδΦ?(u)+[2δ-λ-uδ(β-α)]Φ″(u)+[(λ-δ)(β-α)-uδαβ]Φ′(u)=0

定理2 風(fēng)險模型(1)在有限時間內(nèi)的生存概率Φ(u,t)滿足下列偏微分-積分方程：

并滿足邊界條件：

Φ(+∞,t)=1,Φ(u,∞)=Φ(u).

證明類似于定義1,有

Φ(u,t)=[1-λΔt+o(Δt)]Φ(u+h(Δt),t-Δt)+

等價地

上式兩邊同時除以Δt,并讓Δt→0,則有

即

參考文獻:

[1] 龔日朝.廣義復(fù)合Poisson模型下有限時間內(nèi)的生存概率[J].數(shù)學(xué)季刊,2003,18(2):134-139.

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[3] LUNDBERG F I. Approximerad framstallning af sannolikhetsfunktionen: II. Aterforsakring af kollektivrisker[M].Uppsala.,1903.

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[8] 張春生,吳榮.關(guān)于破產(chǎn)概率函數(shù)的可微性的注[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2001,17(3):267-275.