楊志明

一、不等式的解題思路

不等式的解題思路，從本質上來看，體現(xiàn)的是等價轉化的思路，可以使用解方程式的思路，將同解不等式逐漸轉換成為簡化的不等式，因而保持同解變形就成為解不等式應遵循的主要原則.在解不等式的過程中不但要能夠熟練準確地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保證每步轉化都要是等價變形.

在解不等式時，常常出現(xiàn)不等式組的形式，因此要求不等式組的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式組時，首先應求出組內各個不等式的解集，然后利用數(shù)軸的性質取其交集.

二、常見的不等式的解題方法

1.配方法

配方是指將代數(shù)式變形為完全平方和常數(shù)之和.將符合形式的不等式進行配方，求出與不等式等價的方程的解，再根據(jù)不等式的符號求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假設a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，該方程的兩個實數(shù)解為x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；則不等式的解集為{x|xx1}.

常見的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.換元法

有些不等式在不同的部分出現(xiàn)了相同的未知數(shù)表達式，這個表達式使解題思路變得尤為復雜，這時就可以采用換元法來解決.換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不很明確的不等式引入一個或多個變量進行代換，簡化原有的結構或實現(xiàn)某種轉化與變通，使得解題變得簡單明了.常用的有三角代換法和增量換元法這兩種思路.

（1）三角代換法.三角代換法就是將三角函數(shù)的性質引入來解不等式（組），在符合定義域的情況下，將解不等式（組）轉而解三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質求出解，最終再化為不等式的解.這種方法在平時做題中經常使用，要引起注意的是，在明確函數(shù)的定義域的情況下，靈活的運用該方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由題可知x>0且y>0，因此可以使用三角代換.原不等式可化為xy+1≤axy+1的形式，假設xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），則tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因為sin（θ+π/4）的最大值為1（此時θ=π/4），所以可以得到a的最小值為2.

（2）增量換元法.增量換元法就是用一個簡單的變量將不等式中某個復雜的、重復出現(xiàn)的形式替換，先轉而求出增量的解，再進行增量還原最終求出不等式的解.這種解題方法簡化不等式的形式，突出重點，明晰了解題的思路，快速準確地求出結果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量換元：假設x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，則原不等式可轉化為y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y(tǒng)=2或3. 第三步，增量還原，x+1/x=2或3，當x+1/x=2時，x=1；當x+1/x=3時，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最終求出不等式的解集.

3.分類討論法

對于情況不明確的不等式，要分不同的情況逐一討論來解不等式.該方法嚴謹準確，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分類討論a與0的大小關系；

（1）當a>0時，x-x1和x-x2同號，再進一步分為兩種情況，①x-x1和x-x2同時為正，此時x>x2；②x-x1和x-x2同時為負，此時x

（2）當a<0時，x-x1和x-x2異號，再進一步分為兩種情況，①x-x1為正，x-x2為負，則x1

由上可得，當a>0時，解集為{x|xx2}；

當a<0時，解集為{x|x1

4.判別式法

在判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根時，除了可以使用配方法，還可以直接運用判別式法，其中Δ=b2-4ac為根的判別式，當Δ=b2-4ac<0時，該方程在實數(shù)范圍內沒有解；當Δ=b2-4ac=0時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ=b2-4ac>0時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根.這種方法在處理不等式的問題時，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，將上式進行轉換可得到y(tǒng)（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分類討論：當y=0時，滿足題意.當y≠0時，使用判別式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 綜上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范圍為[-23/3，23/3].

5.穿針引線法

穿針引線法，也稱為標根法，解高次不等式時，常常使用.先將高次不等式化簡，求出方程的根，在數(shù)軸上進行標根，最后利用規(guī)律求出有效的范圍.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿針引線法.

穿針引線法的解題口訣：“奇穿偶不穿，符號定區(qū)間”.

在使用該方法解題時，一定要注意將未知數(shù)x的系數(shù)化為1，仔細轉化準確的確定不等式的方向，在數(shù)軸上標根時，按照根的大小順序，根據(jù)穿針引線法的法則依次穿線才能得到準確的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 將上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由圖1可得該不等式的解集為：{x|x<-1或24}

一、不等式的解題思路

不等式的解題思路，從本質上來看，體現(xiàn)的是等價轉化的思路，可以使用解方程式的思路，將同解不等式逐漸轉換成為簡化的不等式，因而保持同解變形就成為解不等式應遵循的主要原則.在解不等式的過程中不但要能夠熟練準確地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保證每步轉化都要是等價變形.

在解不等式時，常常出現(xiàn)不等式組的形式，因此要求不等式組的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式組時，首先應求出組內各個不等式的解集，然后利用數(shù)軸的性質取其交集.

二、常見的不等式的解題方法

1.配方法

配方是指將代數(shù)式變形為完全平方和常數(shù)之和.將符合形式的不等式進行配方，求出與不等式等價的方程的解，再根據(jù)不等式的符號求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假設a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，該方程的兩個實數(shù)解為x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；則不等式的解集為{x|xx1}.

常見的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.換元法

有些不等式在不同的部分出現(xiàn)了相同的未知數(shù)表達式，這個表達式使解題思路變得尤為復雜，這時就可以采用換元法來解決.換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不很明確的不等式引入一個或多個變量進行代換，簡化原有的結構或實現(xiàn)某種轉化與變通，使得解題變得簡單明了.常用的有三角代換法和增量換元法這兩種思路.

（1）三角代換法.三角代換法就是將三角函數(shù)的性質引入來解不等式（組），在符合定義域的情況下，將解不等式（組）轉而解三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質求出解，最終再化為不等式的解.這種方法在平時做題中經常使用，要引起注意的是，在明確函數(shù)的定義域的情況下，靈活的運用該方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由題可知x>0且y>0，因此可以使用三角代換.原不等式可化為xy+1≤axy+1的形式，假設xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），則tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因為sin（θ+π/4）的最大值為1（此時θ=π/4），所以可以得到a的最小值為2.

（2）增量換元法.增量換元法就是用一個簡單的變量將不等式中某個復雜的、重復出現(xiàn)的形式替換，先轉而求出增量的解，再進行增量還原最終求出不等式的解.這種解題方法簡化不等式的形式，突出重點，明晰了解題的思路，快速準確地求出結果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量換元：假設x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，則原不等式可轉化為y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y(tǒng)=2或3. 第三步，增量還原，x+1/x=2或3，當x+1/x=2時，x=1；當x+1/x=3時，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最終求出不等式的解集.

3.分類討論法

對于情況不明確的不等式，要分不同的情況逐一討論來解不等式.該方法嚴謹準確，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分類討論a與0的大小關系；

（1）當a>0時，x-x1和x-x2同號，再進一步分為兩種情況，①x-x1和x-x2同時為正，此時x>x2；②x-x1和x-x2同時為負，此時x

（2）當a<0時，x-x1和x-x2異號，再進一步分為兩種情況，①x-x1為正，x-x2為負，則x1

由上可得，當a>0時，解集為{x|xx2}；

當a<0時，解集為{x|x1

4.判別式法

在判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根時，除了可以使用配方法，還可以直接運用判別式法，其中Δ=b2-4ac為根的判別式，當Δ=b2-4ac<0時，該方程在實數(shù)范圍內沒有解；當Δ=b2-4ac=0時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ=b2-4ac>0時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根.這種方法在處理不等式的問題時，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，將上式進行轉換可得到y(tǒng)（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分類討論：當y=0時，滿足題意.當y≠0時，使用判別式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 綜上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范圍為[-23/3，23/3].

5.穿針引線法

穿針引線法，也稱為標根法，解高次不等式時，常常使用.先將高次不等式化簡，求出方程的根，在數(shù)軸上進行標根，最后利用規(guī)律求出有效的范圍.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿針引線法.

穿針引線法的解題口訣：“奇穿偶不穿，符號定區(qū)間”.

在使用該方法解題時，一定要注意將未知數(shù)x的系數(shù)化為1，仔細轉化準確的確定不等式的方向，在數(shù)軸上標根時，按照根的大小順序，根據(jù)穿針引線法的法則依次穿線才能得到準確的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 將上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由圖1可得該不等式的解集為：{x|x<-1或24}

一、不等式的解題思路

不等式的解題思路，從本質上來看，體現(xiàn)的是等價轉化的思路，可以使用解方程式的思路，將同解不等式逐漸轉換成為簡化的不等式，因而保持同解變形就成為解不等式應遵循的主要原則.在解不等式的過程中不但要能夠熟練準確地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保證每步轉化都要是等價變形.

在解不等式時，常常出現(xiàn)不等式組的形式，因此要求不等式組的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式組時，首先應求出組內各個不等式的解集，然后利用數(shù)軸的性質取其交集.

二、常見的不等式的解題方法

1.配方法

配方是指將代數(shù)式變形為完全平方和常數(shù)之和.將符合形式的不等式進行配方，求出與不等式等價的方程的解，再根據(jù)不等式的符號求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假設a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，該方程的兩個實數(shù)解為x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；則不等式的解集為{x|xx1}.

常見的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.換元法

有些不等式在不同的部分出現(xiàn)了相同的未知數(shù)表達式，這個表達式使解題思路變得尤為復雜，這時就可以采用換元法來解決.換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不很明確的不等式引入一個或多個變量進行代換，簡化原有的結構或實現(xiàn)某種轉化與變通，使得解題變得簡單明了.常用的有三角代換法和增量換元法這兩種思路.

（1）三角代換法.三角代換法就是將三角函數(shù)的性質引入來解不等式（組），在符合定義域的情況下，將解不等式（組）轉而解三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質求出解，最終再化為不等式的解.這種方法在平時做題中經常使用，要引起注意的是，在明確函數(shù)的定義域的情況下，靈活的運用該方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由題可知x>0且y>0，因此可以使用三角代換.原不等式可化為xy+1≤axy+1的形式，假設xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），則tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因為sin（θ+π/4）的最大值為1（此時θ=π/4），所以可以得到a的最小值為2.

（2）增量換元法.增量換元法就是用一個簡單的變量將不等式中某個復雜的、重復出現(xiàn)的形式替換，先轉而求出增量的解，再進行增量還原最終求出不等式的解.這種解題方法簡化不等式的形式，突出重點，明晰了解題的思路，快速準確地求出結果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量換元：假設x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，則原不等式可轉化為y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y(tǒng)=2或3. 第三步，增量還原，x+1/x=2或3，當x+1/x=2時，x=1；當x+1/x=3時，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最終求出不等式的解集.

3.分類討論法

對于情況不明確的不等式，要分不同的情況逐一討論來解不等式.該方法嚴謹準確，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分類討論a與0的大小關系；

（1）當a>0時，x-x1和x-x2同號，再進一步分為兩種情況，①x-x1和x-x2同時為正，此時x>x2；②x-x1和x-x2同時為負，此時x

（2）當a<0時，x-x1和x-x2異號，再進一步分為兩種情況，①x-x1為正，x-x2為負，則x1

由上可得，當a>0時，解集為{x|xx2}；

當a<0時，解集為{x|x1

4.判別式法

在判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根時，除了可以使用配方法，還可以直接運用判別式法，其中Δ=b2-4ac為根的判別式，當Δ=b2-4ac<0時，該方程在實數(shù)范圍內沒有解；當Δ=b2-4ac=0時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ=b2-4ac>0時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根.這種方法在處理不等式的問題時，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，將上式進行轉換可得到y(tǒng)（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分類討論：當y=0時，滿足題意.當y≠0時，使用判別式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 綜上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范圍為[-23/3，23/3].

5.穿針引線法

穿針引線法，也稱為標根法，解高次不等式時，常常使用.先將高次不等式化簡，求出方程的根，在數(shù)軸上進行標根，最后利用規(guī)律求出有效的范圍.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿針引線法.

穿針引線法的解題口訣：“奇穿偶不穿，符號定區(qū)間”.

在使用該方法解題時，一定要注意將未知數(shù)x的系數(shù)化為1，仔細轉化準確的確定不等式的方向，在數(shù)軸上標根時，按照根的大小順序，根據(jù)穿針引線法的法則依次穿線才能得到準確的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 將上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由圖1可得該不等式的解集為：{x|x<-1或24}