王星, 方宗德, 李聲晉, 高正國(guó), 寧程豐

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.青島中集冷藏運(yùn)輸設(shè)備有限公司, 山東 青島 266300)

準(zhǔn)雙曲面齒輪是齒輪傳動(dòng)中最為復(fù)雜的一種，其幾何形狀與嚙合理論非常復(fù)雜，一直是齒輪制造過(guò)程中的難點(diǎn)。同時(shí)它又是汽車驅(qū)動(dòng)橋中的關(guān)鍵零部件，而準(zhǔn)雙曲面齒輪的嚙合質(zhì)量是通過(guò)正確的切齒設(shè)計(jì)來(lái)保證的，國(guó)內(nèi)不少學(xué)者對(duì)這方面的工作做了深入的研究。

格里森準(zhǔn)雙曲面齒輪常用的切齒方法有4種，代號(hào)分別為HFT、HFM、HGT和HGM。由于HFT大輪采用成形法加工，工件和搖臺(tái)均不轉(zhuǎn)動(dòng)，由刀盤(pán)直接回轉(zhuǎn)加工出齒面，從而具有加工效率高的特點(diǎn)，因此，在汽車工業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用，它也是目前使用最多的準(zhǔn)雙曲面齒輪的切齒方法。唐進(jìn)元等[1]針對(duì)HFT準(zhǔn)雙曲面齒輪，推導(dǎo)了齒面方程和過(guò)渡曲面方程。方宗德等[2]針對(duì)HFT準(zhǔn)雙曲面齒輪，推導(dǎo)了齒輪傳動(dòng)的輪齒接觸分析方法。李慧[3]針對(duì)HFM法利用空間嚙合幾何學(xué)和空間坐標(biāo)變換，建立了大、小輪切齒加工的數(shù)學(xué)模型和齒面表達(dá)的非線性方程組。Simon[4]研究了如何在數(shù)控機(jī)床上加工準(zhǔn)雙曲面齒輪。吳序堂[5]對(duì)HGT準(zhǔn)雙曲面齒輪切齒方法做了深入的理論研究。對(duì)于HGT準(zhǔn)雙曲面齒輪，大輪采用展成法加工，加工效率沒(méi)有成形法高，但是展成法(generated)與成形法(formated)相比，其優(yōu)越之處就是可以設(shè)置齒輪具體的嚙合性能，且自從弧齒錐齒輪與準(zhǔn)雙曲面齒輪加工機(jī)床出現(xiàn)以來(lái)，刀傾法(tilt)的出現(xiàn)和引入齒輪加工中是齒輪加工制造技術(shù)的一大突破，因此，有必要對(duì)HGT準(zhǔn)雙曲面齒輪進(jìn)行理論齒面推導(dǎo)及相應(yīng)的嚙合仿真，為進(jìn)一步的研究打下基礎(chǔ)。

輪齒接觸分析(TCA)，包括齒面接觸分析[6]和邊緣接觸分析[7]，代表了齒輪嚙合的完整過(guò)程。邊緣接觸是一種輪齒齒頂邊緣傳遞運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，當(dāng)邊緣接觸發(fā)生時(shí)，由于兩接觸曲面的位置關(guān)系不確定，因此不能應(yīng)用微分幾何求解在接觸曲面上的主曲率方向。對(duì)于準(zhǔn)雙曲面齒輪，邊緣接觸是極易發(fā)生的,如何正確確定在接觸曲面上的主方向，將對(duì)齒輪副的承載接觸分析產(chǎn)生較大影響。方宗德教授對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了通過(guò)“數(shù)值方法”在接觸點(diǎn)鄰近曲面范圍內(nèi)產(chǎn)生主方向并得到沿該方向離散點(diǎn)處齒面間隙的方法[8-9]。為了問(wèn)題的簡(jiǎn)化，近似取兩齒面嚙合點(diǎn)接觸橢圓的長(zhǎng)軸方向作為邊緣接觸曲面的主方向。

本文采用空間嚙合理論，推導(dǎo)了HGT準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面的表達(dá)方法，便于進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真和生成輪齒模型，以便我們準(zhǔn)確得出不同參數(shù)、不同誤差的齒輪嚙合過(guò)程和性能，能有效降低產(chǎn)品成本、提高產(chǎn)品質(zhì)量，并對(duì)該對(duì)齒輪進(jìn)行了輪齒接觸分析，并以算例驗(yàn)證了邊緣接觸分析的重要性。

1 理論齒面的表達(dá)

1.1 大輪理論齒面

大輪采用展成法加工，小輪采用刀傾法加工，這時(shí)的產(chǎn)形輪是錐形產(chǎn)形輪，產(chǎn)形輪和齒輪之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，刀盤(pán)的切削面和齒面是一對(duì)完全共軛的曲面。大輪和小輪的切齒刀具如圖1a)、圖1b)所示。

圖1 大輪和小輪切齒刀具

圖中,rc2和rc1是刀尖半徑,αg和αp為刀具齒形角,大輪的刀具齒面用參數(shù)θg、和Sg表示為:

(1)

(2)

圖2 大輪和小輪切齒坐標(biāo)系

大輪和小輪的切齒坐標(biāo)系如圖2a)、圖2b)所示，其中，圖2a)是大輪切齒坐標(biāo)系，Og是刀具中心，Oc2是搖臺(tái)中心，O2是齒輪的設(shè)計(jì)交叉點(diǎn)(齒輪軸線與2條軸線間距離線的交點(diǎn))，坐標(biāo)系Sp、Sc2、Sa固定在機(jī)床上，Sg和S2分別固定在刀具和被加工齒輪上，φg和φ2分別為搖臺(tái)轉(zhuǎn)角和大輪的加工轉(zhuǎn)角。

根據(jù)圖2a)中坐標(biāo)關(guān)系,齒面在S2中的表達(dá)式為:

(3)

(4)

式中:M為4×4坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,L為其中的3×3轉(zhuǎn)動(dòng)部分。切削時(shí)刀具形成的假想齒面與大輪齒面嚙合,因此須滿足以下嚙合方程[7]:

f2=N2·R2

(5)

聯(lián)合求解(1)式～(5)式,經(jīng)過(guò)不斷迭代,可得到大輪理論齒面方程。

1.2 小輪理論齒面

根據(jù)圖1b)所示,小輪的刀具齒面用參數(shù)θp、φp和Sp表示為:

(6)

(7)

圖2b)是小輪切齒坐標(biāo)系,經(jīng)過(guò)與大輪齒面的表達(dá)相似的推導(dǎo),得到小輪齒面在坐標(biāo)系S1(固定在小輪上)中的表達(dá)式為:

(8)

(9)

同理,切削時(shí)刀具形成的假想齒面與小輪齒面嚙合,因此也必須滿足以下嚙合方程[7]:

f1=N1·R1

(10)

聯(lián)合求解(6)式～(10)式,經(jīng)過(guò)不斷迭代,可得到小輪理論齒面方程。

2 輪齒接觸分析

2.1 齒面接觸分析

計(jì)及安裝誤差的齒輪嚙合坐標(biāo)系如圖3所示。

圖3 齒輪副嚙合坐標(biāo)系

圖中O1和O2為設(shè)計(jì)交叉點(diǎn),坐標(biāo)系Sh固定在箱體上,S1和S2分別固定在小、大齒輪上,ψ1和ψ2分別是嚙合時(shí)小輪和大輪轉(zhuǎn)角,Σ為軸交角,E為偏置距。根據(jù)圖中坐標(biāo)關(guān)系,大輪齒面在Sh中的表達(dá)式為:

(11)

(12)

式中:Sa、Sb、Sc和Sd為輔助坐標(biāo)系。

小輪齒面在Sh中的表達(dá)式為:

(13)

(14)

2個(gè)齒面的嚙合條件為:

(15)

(15)式表示的矢量方程中包含了6個(gè)標(biāo)量方程,由于n是單位矢量,獨(dú)立的方程數(shù)為5個(gè),再加上2個(gè)嚙合方程,因此共有7個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程,而未知數(shù)為θg、φg、Sg、ψ2、θp、φp、Sp、ψ1共8個(gè)。此時(shí)可按一定步長(zhǎng)選擇ψ1,求解非線性方程組(15),解出其余的7個(gè)未知數(shù),將以上求得的8個(gè)參數(shù)代入(3)式、(4)式和(8)式、(9)式中,分別得到坐標(biāo)系S2和S1中的接觸點(diǎn)。在整個(gè)嚙合過(guò)程中,以一定的步長(zhǎng)選定ψ1,重復(fù)以上計(jì)算,直至求出的接觸點(diǎn)超出齒面的有效邊界,即可得到大輪和小輪齒面的接觸點(diǎn)軌跡。

對(duì)于每一個(gè)瞬時(shí)接觸點(diǎn),齒輪刀具表面的主曲率和主方向都是已知的,根據(jù)圖2所示的切削坐標(biāo)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,可以計(jì)算得到齒面上該點(diǎn)的主曲率和主方向,并根據(jù)事先給定的彈性變形量d≤0.006 35 mm[10],進(jìn)而得到瞬時(shí)接觸橢圓的長(zhǎng)軸方向與尺寸,即齒面嚙合印痕。

此外,還可由ψ1和ψ2獲得齒輪副的傳動(dòng)誤差曲線。傳動(dòng)誤差函數(shù)[2]由下式定義:

(16)

根據(jù)以上計(jì)算得到的一組ψ1和ψ2,可以給出整個(gè)嚙合過(guò)程中的傳動(dòng)誤差曲線。嚙合印痕與傳動(dòng)誤差是齒面接觸分析的主要結(jié)果,比較完整地表達(dá)了齒輪副在空載或輕載下的嚙合性能。

2.2 邊緣接觸分析

當(dāng)退出嚙合時(shí),小輪的齒頂邊緣與大輪的齒面可能相接觸。這時(shí),在嚙合坐標(biāo)系Sh中小輪的齒頂邊緣與大輪的齒面有相同的位置矢量,且小輪的齒頂邊緣切矢量一定與大輪的齒面法矢垂直[5]。因此,有:

r1h(θp,φp,Sp,ψ1)=r2h(θg,φg,Sg,ψ2)

(17)

(18)

f1=N1·R1

(19)

以及大輪刀具和大輪的嚙合方程[7]:

f2=N2·R2

(20)

再加上一個(gè)輔助方程:

(21)

共有7個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程。

經(jīng)過(guò)齒面接觸分析與邊緣接觸分析后,就可以比較完整地得到TCA求解過(guò)程。

3 算 例

將準(zhǔn)雙曲面齒輪的切齒設(shè)計(jì)與輪齒接觸分析編制成計(jì)算機(jī)程序,以一對(duì)格里森準(zhǔn)雙曲面齒輪為例,對(duì)輪齒進(jìn)行了嚙合過(guò)程仿真,其主要參數(shù)及切齒參數(shù)如表1、表2所示。

表1(續(xù))

表2 切齒參數(shù)

輪齒接觸分析結(jié)果如圖4、圖5和圖6所示。

圖4 不考慮安裝誤差時(shí)的齒面嚙合印痕

圖5 不考慮安裝誤差時(shí)的傳動(dòng)誤差曲線 圖6 考慮安裝誤差時(shí)的TCA分析結(jié)果

圖4和圖5分別為在沒(méi)有考慮安裝誤差的情況下齒面嚙合印痕和傳動(dòng)誤差曲線。由圖4可以看出,齒輪在進(jìn)入和退出嚙合時(shí)都發(fā)生了邊緣接觸,由圖5可以看出,在考慮邊緣接觸時(shí),傳動(dòng)誤差呈現(xiàn)了一定的對(duì)稱性,且形成了較大的幅值,該圖所示結(jié)果形象地說(shuō)明了齒輪傳動(dòng)由邊緣接觸向下一對(duì)齒過(guò)渡的連續(xù)過(guò)程。

根據(jù)國(guó)標(biāo)GB 11365-89表18,當(dāng)軸夾角有0.000 3 rad安裝誤差時(shí)的輪齒接觸分析結(jié)果如圖6所示,其中,圖6a)沒(méi)有考慮邊緣接觸,圖6b)考慮了邊緣接觸?？梢钥闯?嚙合區(qū)向大輪小端移動(dòng),圖6b)中傳動(dòng)誤差呈現(xiàn)了一定的對(duì)稱性,且幅值有明顯的下降。

邊緣接觸分析的結(jié)果對(duì)于進(jìn)一步的強(qiáng)度分析和振動(dòng)分析都有很重要的意義。

4 結(jié) 論

本文以一對(duì)格里森準(zhǔn)雙曲面齒輪副為研究對(duì)象,討論了加工方法HGT坐標(biāo)系的建立及齒面方程的推導(dǎo),并對(duì)齒輪副進(jìn)行了輪齒接觸分析,得到如下結(jié)論:

1) 建立了格里森HGT準(zhǔn)雙曲面齒輪的切齒加工數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)了理論齒面方程。

2) 對(duì)齒輪進(jìn)行了輪齒接觸分析,包括齒面接觸分析和邊緣接觸分析,并編制成計(jì)算機(jī)程序,可以比較完整地對(duì)齒輪在空載或輕載下的嚙合過(guò)程進(jìn)行準(zhǔn)確的仿真,驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型和理論推導(dǎo)的正確性。

3) 在此研究的基礎(chǔ)上可以進(jìn)行齒面承載接觸分析等方面的研究。

CNC錐齒輪機(jī)床的出現(xiàn)開(kāi)創(chuàng)了錐齒輪加工裝備的新紀(jì)元,如何通過(guò)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換在CNC機(jī)床上實(shí)現(xiàn)HGT準(zhǔn)雙曲面齒輪的加工有待進(jìn)一步研究。

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