周三平, 滕炯華, 黃保山, 徐婧林

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710172)

傳統(tǒng)的基于幾何活動(dòng)輪廓的水平集方法僅利用了圖像的局部信息,在分割邊緣模糊或者含有噪聲的圖像時(shí),通常不能得到令人滿意的結(jié)果。而基于Chan-Vese模型的水平集分割方法[1],依賴的是同質(zhì)區(qū)域的全局信息,能夠有效分割邊緣模糊的圖像。Chan-Vese模型屬于單項(xiàng)水平集二相圖像分割模型,不能將1幅圖像中的多個(gè)目標(biāo)同時(shí)分割開來,為了彌補(bǔ)這個(gè)不足,2002年Chan和Vese提出了多相Chan-Vese模型[2]。多相Chan-Vese模型在分割1幅圖像的多個(gè)目標(biāo)時(shí)得了極大成功,并且對(duì)噪聲不敏感。但是,該模型存在如下缺點(diǎn):1)不能分割灰度不均勻的圖像[3],因?yàn)槟Ｐ图僭O(shè)圖像灰度在各個(gè)區(qū)域上是分段常值的,所以在分割灰度不均勻的圖像時(shí),演化曲線通常不能逼近目標(biāo)的真實(shí)邊緣;2)對(duì)初始輪廓線的位置比較敏感,在分割稍微復(fù)雜的圖像時(shí),曲線的演化結(jié)果嚴(yán)重依賴初始輪廓曲線的位置,不同的初始輪廓線可能會(huì)得到不同的分割結(jié)果,甚至?xí)?dǎo)致分割失敗;3)重新初始化問題[4],為了保證水平集函數(shù)在演化的過程中保持光滑性和符號(hào)距離函數(shù)的特性,需要定期地將水平集函數(shù)重新初始化為符號(hào)距離函數(shù),消耗了大量的時(shí)間。

為了解決這些問題,很多改進(jìn)的模型不斷地被提出。Li Chunming等[5]提出利用核函數(shù)將圖像的局部信息加入到圖像分割模型中,提出了LBF模型,增強(qiáng)了模型分割灰度不均勻圖像的能力。Wang Li等[6]綜合運(yùn)用了Chan-Vese模型中的全局信息和LBF模型中的局部信息,提出了LGIF模型,提高了模型對(duì)初始輪廓的適應(yīng)的能力。無論是LBF模型,還是LGIF模型,都是Chan-Vese模型在圖像二相分割方面的改進(jìn),不能夠同時(shí)將圖像中的多個(gè)目標(biāo)分割開來。

本文提出了一種基于邊緣信息與偏移場(chǎng)矯正的圖像多相分割模型。首先,利用對(duì)數(shù)變換將乘性偏移場(chǎng)轉(zhuǎn)化成線性偏移場(chǎng),然后通過核函數(shù)引入局部灰度信息,最后利用變分法建立了基于區(qū)域信息的偏移場(chǎng)矯正模型。此外,利用水平集函數(shù)與圖像梯度的方向信息對(duì)傳統(tǒng)的邊緣指示函數(shù)[7]進(jìn)行了改進(jìn),綜合利用了圖像的梯度信息,重建了邊緣指示函數(shù)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明我們提出的模型能夠取得令人滿意的分割結(jié)果。

1 多相Chan-Vese模型

1.1 區(qū)域特征函數(shù)

Chan-Vese模型是屬于單項(xiàng)水平集的二相圖像分割模型,該模型用一個(gè)水平集函數(shù),能夠描述圖像的二相分割,如圖1a)所示。當(dāng)圖像具有較復(fù)雜的幾何特征,例如有多個(gè)目標(biāo)、多相邊界、復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí),利用單項(xiàng)水平集模型通常不能夠取得令人滿意的分割結(jié)果。2002年Chan和Vese對(duì)他們先前提出的無邊緣活動(dòng)輪廓模型進(jìn)行了推廣,提出了Chan-Vese多相水平集圖像分割模型。該模型采用n個(gè)水平集函數(shù)將圖像劃分為2n個(gè)區(qū)域,可以很自然地避免多個(gè)水平集之間的重疊與漏分,并且得到的能量函數(shù)具有對(duì)稱的形式。圖1b)給出了用2個(gè)水平集函數(shù)實(shí)現(xiàn)四相分割時(shí),區(qū)域的劃分情況。

圖1 區(qū)域劃分的水平集表示

為了更加清楚、簡(jiǎn)潔地描述區(qū)域的劃分情況,我們定義如下的區(qū)域特征函數(shù):

(1)

1.2 多相Chan-Vese模型

多相Chan-Vese模型采用1.1節(jié)中的分割策略,即利用n個(gè)水平集函數(shù)將1幅圖像劃分成2n個(gè)區(qū)域。當(dāng)利用2個(gè)水平集函數(shù)實(shí)現(xiàn)圖像的四相分割時(shí),相應(yīng)的能量泛函為:

(2)

式中：u為長(zhǎng)度項(xiàng)系數(shù),c1、c2、c3、c4分別代表圖像在4個(gè)區(qū)域中的灰度均值,χ1、χ2、χ3、χ4分別表示4個(gè)區(qū)域的特征函數(shù),φ1、φ2為水平集函數(shù),δ(φ)為Dirac函數(shù),為梯度算子。

多相Chan-Vese模型利用了圖像的全局信息,能夠自然地處理圖形拓?fù)涞淖兓?且能夠在較大范圍內(nèi)收斂。但是,當(dāng)區(qū)域χ1、χ2、χ3、χ4中圖像的灰度不均勻時(shí),那么灰度均值c1、c2、c3、c4就可能會(huì)和圖像的原始灰度值相差很大。如果沒有引入圖像的局部信息,多相Chan-Vese模型分割灰度不均勻的圖像時(shí)很難取得較好的分割效果。

2 偏移場(chǎng)修正的多相模型

2.1 灰度不均勻性

由于成像設(shè)備的原因及外在條件的影響,我們獲取的圖像往往具有灰度不均勻性。雖然人眼無法察覺圖像的灰度不均勻性,但是分割算法對(duì)這些虛假的變化卻十分敏感。被廣泛接受的灰度不均勻的假設(shè)是在圖像域中加入一個(gè)隨空間緩慢變化的光滑偏移場(chǎng),可以用如下的數(shù)學(xué)模型來描述:

Y(k)=X(k)*G(k)+N

(3)

式中：Y(k)表示觀測(cè)到的圖像,X(k)表示真實(shí)的圖像,G(k)表示光滑變化的偏移場(chǎng),N表示噪聲。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,通常忽略噪聲的影響,對(duì)模型做對(duì)數(shù)變換:

ln(Y(k))=ln(X(k))+ln(G(k))

(4)

令ln(Y(k))=y(k),ln(X(k))=x(k),ln(G(k))=β(k),則乘性偏移場(chǎng)模型可線性化為:

y(k)=x(k)+β(k)

(5)

2.2 核函數(shù)

在局部區(qū)域中灰度變化是可以分離的,但是在整個(gè)圖像區(qū)域中灰度的變化卻不易分離。因此在偏移場(chǎng)矯正的模型中需要利用核函數(shù)來描述局部區(qū)域。核函數(shù)通常滿足如下特性:

1)K(u)=K(-u)

2)K(u)>K(v) if |u|<|v| and |u|→∞,K(u)→0

核函數(shù)K可以選擇任何滿足上述3個(gè)條件的函數(shù)。本文中,我們選擇高斯核函數(shù)來描述圖像的局部信息。高斯核函數(shù)定義如下:

(6)

式中：σ為高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)ρ是以x為中心點(diǎn)的圓形鄰域Oy的半徑,即|x-y|2≤ρ2。當(dāng)時(shí)ρ≥3σ時(shí),高斯函數(shù)K(x-y)基本趨近于零。因此在實(shí)際計(jì)算時(shí),我們約定:當(dāng)ρ≥3σ時(shí),K(x-y)=0。圓形鄰域半徑ρ應(yīng)依據(jù)圖像灰度不均勻的強(qiáng)度而定,當(dāng)灰度不均勻效應(yīng)比較明顯的時(shí),由于偏移場(chǎng)變化量比較大,所以應(yīng)該選擇較小的鄰域半徑ρ。

2.3 邊緣指示函數(shù)

當(dāng)演化曲線到達(dá)目標(biāo)邊緣時(shí),邊緣指示函數(shù)能夠終止曲線的演化。在長(zhǎng)度項(xiàng)中加入邊緣指示函數(shù)能夠有效地避免長(zhǎng)度項(xiàng)陷入局部最小。傳統(tǒng)的邊緣指示函數(shù)僅利用了圖像梯度的幅值信息,如(7)式所示。

(7)

在多相水平集圖像分割模型中,當(dāng)多個(gè)邊緣出現(xiàn)在演化曲線附近時(shí),演化曲線可能辨別不清哪一個(gè)邊緣是對(duì)應(yīng)的目標(biāo)形成的,從而導(dǎo)致分割效果不理想。針對(duì)這個(gè)問題,本文利用水平集函數(shù)與圖像梯度的方向信息對(duì)傳統(tǒng)的邊緣指示函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn),提出利用水平集函數(shù)φ的梯度方向表示演化曲線C的梯度方向,水平集函數(shù)與圖像梯度之間的方向信息重建邊緣指示函數(shù):

S(I,φ)=H[(Gσ*I)·φ]

(8)

(9)

式中：H表示Heaviside函數(shù),Gσ表示標(biāo)準(zhǔn)差為σ的二維Gaussian濾波算子,表示空間梯度算子。當(dāng)演化曲線C到達(dá)目標(biāo)附近時(shí),水平集函數(shù)φ與圖像邊緣有相同的梯度,S(I,φ)=1,(Gσ*I)很大,g*≈0,曲線停止演化。當(dāng)演化曲線C遠(yuǎn)離圖像邊緣時(shí),(Gσ*I)≈0,如果水平集函數(shù)φ與圖像邊緣梯度方向相同,則S(I,φ)=1,g*≈1,曲線正常演化;如果水平集函數(shù)φ與圖像邊緣梯度方向不同,則S(I,φ)=0,g*≈0,曲線演化被抑制。所以,在圖像邊緣當(dāng)1條演化曲線對(duì)應(yīng)多個(gè)圖像邊緣時(shí),邊緣指示函數(shù)g*能夠引導(dǎo)演化曲線選擇正確的圖像邊緣。

2.4 正則項(xiàng)

水平集函數(shù)在演化一段時(shí)間后就會(huì)發(fā)生振蕩,并且隨著曲線的演化,誤差會(huì)不斷積累,最終造成演化曲線偏離目標(biāo)的邊緣。傳統(tǒng)的解決方案是定期將水平集函數(shù)重新初始化為符號(hào)距離函數(shù),該過程不但非常復(fù)雜,而且費(fèi)時(shí)。本文在正則項(xiàng)中加入能量懲罰項(xiàng)來使得演化后的水平集函數(shù)自動(dòng)趨近于符號(hào)距離函數(shù),避免了重新初始化程序,如(10)式所示。

(10)

為了水平集函數(shù)在演化過程中保持光滑以及防止在最后分割結(jié)果中出現(xiàn)較小的孤立區(qū)域,需要在正則項(xiàng)中增加長(zhǎng)度懲罰項(xiàng):

(11)

當(dāng)演化曲線處于同質(zhì)區(qū)域時(shí),g*≈1演化曲線正常演化;當(dāng)演化曲線處于目標(biāo)邊緣附近時(shí),g*≈0演化進(jìn)程被強(qiáng)制禁止,從而避免了長(zhǎng)度項(xiàng)在目標(biāo)附近取得局部極小值。

正則項(xiàng)通常由能量懲罰項(xiàng)與能量項(xiàng)組成,所以本文提出的正則項(xiàng)ER為:

(12)

2.5 水平集方法

將基于局部灰度信息的偏移場(chǎng)矯正模型及改進(jìn)的正則項(xiàng)加入到多相Chan-Vese模型中,本文的提出的模型為:

(13)

式中：?i為區(qū)域權(quán)重系數(shù),νk為長(zhǎng)度懲罰項(xiàng)系數(shù),μk為能量懲罰項(xiàng)系數(shù)。Hε(z)為Heaviside函數(shù)H(z)非緊湊、光滑、嚴(yán)格單調(diào)的逼近,δε(z)為Dirac函數(shù)δ(z)正則逼近。

(14)

(15)

首先,利用變分法推導(dǎo)出偏移場(chǎng)β(y)及區(qū)域灰度均值ci的數(shù)學(xué)模型。能量泛函E(φ)可以看成是ci,β(y)以及水平集函數(shù)φ的函數(shù),將ci,φ看作常量,求能量泛函E(φ)對(duì)β(y)的變分,即:

(16)

由(16)式可知,β(y)的一個(gè)特解為:

(17)

同理,將β(y),φ看作常量,求能量泛函E(φ)對(duì)ci的變分,可得ci為:

(18)

其次,利用梯度下降流最小化能量泛函E(φ),得到曲線的演化方程為:

(19)

(20)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)通過自然圖像與人工合成圖像的分割實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證模型對(duì)初始輪廓位置的魯棒性、噪聲抑制能力及灰度不均勻圖像的分割能力。本文實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Matlab7.0,IBM PC,Pentium IV處理器,主頻2.2GHz,RAM 2GB。本文所有的實(shí)驗(yàn)中,除了迭代次數(shù)和初始輪廓線的位置不同之外,其它參數(shù)規(guī)定如下:時(shí)間步長(zhǎng)T=0.05,懲罰項(xiàng)權(quán)系數(shù)μ1=μ2=4,區(qū)域權(quán)重系數(shù)?1=?3=0.7,?2=?4=0.5,長(zhǎng)度項(xiàng)權(quán)重系數(shù)ν1=ν2=6,網(wǎng)格間距h=1,ε=2(Hε(z),δε(z)參數(shù)),鄰域算子函數(shù)K(x,y)的窗口大小為11×11。如無特別說明,實(shí)驗(yàn)中多相Chan-Vese模型與本文模型取相同的參數(shù)。

圖2 灰度均勻圖像分割

首先,分割灰度均勻圖像來驗(yàn)證模型初始輪廓位置的魯棒性。初始化時(shí)僅用初始輪廓曲線包圍目標(biāo)的一小部分,如圖2a)、圖2d)所示。經(jīng)過40次的迭代,演化曲線成功的停止在了目標(biāo)的真實(shí)邊界上,如圖2b)、圖2e)所示。圖2c)、圖2f)為在相同的初始輪廓曲線條件下,多相Chan-Vese模型經(jīng)過100次迭代的分割結(jié)果?？梢钥闯?右上演化曲線誤將其他2個(gè)目標(biāo)的邊緣當(dāng)做是目標(biāo)邊緣,導(dǎo)致了越界分割。增加迭代次數(shù)至500次時(shí),多相Chan-Vese模型分割結(jié)果仍如圖2b)、圖2e)所示,沒有任何改善。

其次,對(duì)模型的噪聲抑制能力進(jìn)行驗(yàn)證。圖3a)為零噪聲的人工合成圖像,圖3b)在圖3a)中加入方差為0.15的高斯噪聲后初始化輪廓曲線位置,經(jīng)過100次的迭代,目標(biāo)成功地被從噪聲圖像中提取了出來,如圖3c)所示。為了進(jìn)一步凸顯本文所提模型對(duì)噪聲的抑制能力,在圖3a)中分別加入方差為0.3、0.5的高斯噪聲,經(jīng)過200次的迭代,實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖3d)與圖3e)所示?？梢钥闯?對(duì)于受強(qiáng)噪聲污染的圖像,本文算法仍能取得令人滿意的分割效果。

最后,對(duì)模型分割灰度不均勻圖像的能力進(jìn)行驗(yàn)證。圖4a)、圖4d)為灰度不均勻的核磁共振圖像初始化輪廓曲線,經(jīng)過200次的迭代,圖4b)、圖4c)以及圖4e)、圖4f)分別給出了多相Chan-Vese模型和本文所提模型的分割結(jié)果。圖4b)中,多相Chan-Vese模型外側(cè)輪廓線發(fā)生了越界情況,并且圖4e)的分割也不完全。2組實(shí)驗(yàn),本文模型都能取得比較滿意的分割效果。圖5給出了偏移場(chǎng)修正前后圖像的灰度直方圖,可以看出修正后圖像的灰度直方圖呈多峰狀分布,表明在同質(zhì)區(qū)域內(nèi)灰度值趨近于某一常值,符合Chan-Vese模型的基本假設(shè)。

圖4 灰度不均勻圖像分割

圖5 修正前后圖像的灰度直方圖

4 結(jié) 論

本文針對(duì)圖像分割中的灰度不均勻及多相分割時(shí)演化曲線的越界現(xiàn)象,提出了一種基于邊緣信息與偏移場(chǎng)矯正的圖像多相分割模型。首先,利用對(duì)數(shù)變換將乘性偏移場(chǎng)轉(zhuǎn)化成線性偏移場(chǎng),通過核函數(shù)將區(qū)域灰度信息引入到偏移場(chǎng)中,利用變分法建立了基于區(qū)域信息的偏移場(chǎng)矯正模型。其次,利用水平集函數(shù)與圖像梯度的方向信息對(duì)傳統(tǒng)的邊緣指示函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn),綜合運(yùn)用了圖像的梯度信息,重建了邊緣指示函數(shù)。此外,引入了能量懲罰項(xiàng),避免了復(fù)雜的、耗時(shí)的重新初始化程序,提高了曲線的演化速度。人工合成圖像和真實(shí)圖像的分割實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提出模型與多相Chan-Vese模型相比,不但增強(qiáng)了模型對(duì)初始輪廓曲線位置的魯棒性,同時(shí)在一定程度上加強(qiáng)了模型對(duì)噪聲的抑制能力,而且在分割灰度不均勻的圖像時(shí)也能取令人滿意的分割結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1] Chan T F, Vese L. Active Contours without Edge[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2001, 10(2):266-277

[2] Vese L, Chan T F. A Multiphase Level Set Framework for Image Segmentation Using the Mumford and Shah Model[J]. International Journal of Computer Vision, 2002,50(3):271-293

[3] 黃保山,滕炯華. 基于偏移場(chǎng)修正的C-V模型水平集圖像分割算法[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).2013,31(2):218-222

Huang Baoshan, Teng Jionghua. A Novel Algorithm of Level Set Image Segmentation Based on Bias Field Correction C-V Model[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2013, 31(2):218-222 (in Chinese)

[4] Li Chunming, Xu Chengyang. Distance Regularized Level Set Evolution and Its Application to Image Segmentation[J]. IEEE Trans on Image Process 2010,12(12): 3243-3254

[5] Li Chunming, Kao Chiyue. Minimization of Region-Scalable Fitting Energy for Image Segmentation[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2008, 17(10): 1940-1949

[6] Wang Li, Li Chunming. Active Contours Driven by Local and Global Intensity Fitting Energy with Application to Brain MR Image Segmentation[J]. Computerized Medical Imaging and Graphics, 2009, 33(7): 520-531

[7] Li C, Xu C, Gui C, et al. Level Set Evolution without Re-Initialization: A New Variational Formulation [C]∥IEEE International Conference on Computer Vision and Patttern Recognition (CVPR), 2005, 1: 430-436