李偉, 羊彥, 侯靜

(1.中航工業(yè)西安飛行自動控制研究所, 陜西 西安 710065; 2.西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院, 陜西 西安 710129)

對于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的MMW/IR雙模導(dǎo)引頭,當(dāng)雷達出現(xiàn)故障或持續(xù)受到干擾時,只能利用紅外觀測數(shù)據(jù)進行目標(biāo)跟蹤。由于紅外導(dǎo)引頭只提供目標(biāo)角度信息,就涉及到紅外純方位跟蹤的問題。純方位跟蹤(bearings-only tracking, BOT)利用運動目標(biāo)本身的有源輻射,采用機動單站測向機或觀測站測得目標(biāo)的方位信息序列實時估計目標(biāo)運動參數(shù)(位置、航向、速度等)[1]。單站BOT是一個非線性問題,且根據(jù)目標(biāo)運動分析(target motion analysis,TMA)的理論,當(dāng)目標(biāo)和導(dǎo)彈間的相對加速度為零時,目標(biāo)的距離狀態(tài)是不可觀測的。因此,純方位目標(biāo)跟蹤問題一直是研究的熱點及難點問題[2]。目前純方位TMA問題的常見解決方法為:幾何定位法(四方位法)和濾波法。其中幾何定位法研究最早,但由于純方位TMA問題的非線性,不利于幾何定位方法的使用。隨著現(xiàn)代信號處理技術(shù)的發(fā)展,目前濾波法的研究主要集中在:濾波算法的研究和坐標(biāo)系的選擇[3]。

濾波算法方面,卡爾曼濾波(KF)的應(yīng)用最廣[4]。由于觀測量是目標(biāo)角度信息,在直角坐標(biāo)系中,其測量方程是非線性的,KF無法直接使用。針對上述非線性問題,近年來無跡卡爾曼濾波(UKF)和粒子濾波(PF)等非線性濾波法得到了廣泛關(guān)注,但其計算量巨大,不適于實時應(yīng)用場合。目前工程上最常用的仍是擴展卡爾曼濾波(EKF),但EKF的BOT性能無法達到最佳,且可能存在濾波發(fā)散的問題。此外,偽線性卡爾曼濾波或稱為偽線性估計(PLE),通過修改測量方程改善了濾波器的穩(wěn)定性。但為保證PLE法的跟蹤效果,要求觀察者(即導(dǎo)彈)進行機動且機動軌跡為最佳(或接近最佳)[5];此外受測量噪聲的影響,PLE算法是有偏的[6]。

坐標(biāo)系方面,近年來討論較多的是修正球坐標(biāo)(Modified Spherical Coordinates,MSC)中的卡爾曼濾波法[7]。該算法穩(wěn)定且漸近無偏,在修正的極坐標(biāo)中建立數(shù)學(xué)模型,而濾波計算仍采用EKF。其狀態(tài)變量包含目標(biāo)角度、速度和距離信息,但濾波過程不夠準(zhǔn)確,存在很大誤差。本文結(jié)合某型雙模導(dǎo)引頭的工程背景,針對純方位TMA問題,設(shè)計了EKF、PLE和MSC中的EKF算法,并給出了可觀測條件;通過對3種濾波方法的性能進行仿真比較,結(jié)合工程實際選擇導(dǎo)彈被動跟蹤時的最佳模型。

1 純方位跟蹤問題分析

紅外純方位目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)無法獲得彈目距離,因此系統(tǒng)的可觀測性成為TMA中的一個困難問題。對純方位TMA來說,當(dāng)方位數(shù)據(jù)由單基站測量得到時,在導(dǎo)彈機動前,上述估計問題是不可觀測的[8-9]。本文主要研究彈目相對運動時的跟蹤問題,不涉及可觀測性的討論。

在三維直角坐標(biāo)系下,假設(shè)目標(biāo)以初速度vt(0),加速度at(t)做勻加速運動;導(dǎo)彈以初速度vm(0),加速度am(t)進行機動,其初始加速度為am(0)。則目標(biāo)相對導(dǎo)彈的距離為r,速度為v(t)=vt(t)-vm(t),加速度為a(t)=at(t)-am(t)。暫不考慮噪聲,定義系統(tǒng)的狀態(tài)向量為X=[r,v,a]T,則系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述為:

(1)

(2)

目標(biāo)的純角度觀測φ(t)和θ(t)構(gòu)成的系統(tǒng)觀測方程為:

(3)

(4)

(1)式、(3)式和(4)式描述的系統(tǒng)面臨的問題是:通過目標(biāo)的純角度觀測φ(t)和θ(t)能否估計狀態(tài)向量X,且估計精度如何。

2 純方位目標(biāo)跟蹤算法

2.1 擴展卡爾曼濾波

純方位目標(biāo)跟蹤的EKF算法是在常規(guī)KF的基礎(chǔ)上,把非線性問題進行近似處理而得到的。紅外目標(biāo)跟蹤的狀態(tài)方程及觀測方程為:

Xk=Φk,k-1Xk-1+GWk-1

(5)

Zk=HkXk+Vk

(6)

式中：Wk和Vk是相互獨立的零均值高斯白噪聲,其協(xié)方差陣分別為Q和R,

Hk=

(7)

式中:

2.2 偽線性卡爾曼濾波

偽線性卡爾曼濾波使用偽線性測量殘差來代替方位測量值。其特點是能夠用線性估計理論求解純方位TMA問題,且消除了EKF中濾波初值對算法穩(wěn)定性的影響。其狀態(tài)方程與(5)相同,觀測方程為:

Z2k=h2(Xk)+V2k

(8)

式中：

(9)

將觀測方程(8)偽線性化后[2],得新的觀測方程為:

Zk=HkXk+nk

(10)

式中：Zk=0,Hk=[Hk1,Hk2]:

Hk2=02×6

測量噪聲nk=[rhvφIR,rvθIR]T的協(xié)方差陣為:

(11)

根據(jù)狀態(tài)方程(5)和觀測方程(10),并給定適當(dāng)?shù)某踔?就可以用卡爾曼濾波對系統(tǒng)狀態(tài)進行偽線性濾波。

2.3 基于修正球坐標(biāo)系的角度跟蹤算法

修正球坐標(biāo)(MSC)中的卡爾曼濾波穩(wěn)定且漸近無偏。其在修正的極坐標(biāo)中建立數(shù)學(xué)模型,而算法仍采用EKF。

2.3.1 修正球坐標(biāo)系

圖1 修正的球坐標(biāo)系

慣性坐標(biāo)系(I)到目標(biāo)視線坐標(biāo)系(A)旋轉(zhuǎn)矩陣為:

(12)

(13)

為便于描述,采用x1至x6依次表示X的對應(yīng)分量,則:

(14)

(15)

(16)

由(14)式和(15)式可以看出,當(dāng)目標(biāo)與紅外傳感器間的相對加速度為零時,前5個分量不受第6分量的影響,且第5分量可觀測。只要存在加速度,該狀態(tài)向量的分量全部可觀測。在實際應(yīng)用中,由于目標(biāo)加速度通常未知,所以三方向加速度可當(dāng)相互獨立過程噪聲處理。

2.3.2 基于MSC的卡爾曼濾波

將狀態(tài)方程(13)式線性化得:

(17)

設(shè)紅外傳感器采樣周期為T,則對上式離散化后所得的狀態(tài)方程為:

Xk=Φk,k-1Xk+GkWk

(18)

式中：Φk,k-1=[Φ1,Φ2]

(19)

Φ2=

(20)

(21)

紅外傳感器的觀測方程為：

Zk=HkXk+Vk

(22)

(23)

在得到離散狀態(tài)方程、測量方程、過程噪聲協(xié)方差陣和觀測噪聲協(xié)方差陣后,可得基于MSC的Kalman濾波方程組為:

(24)

式中:Pk|k-1為一步預(yù)測協(xié)方差陣,Pk為估計協(xié)方差陣,Kk為濾波增益陣。

(24)式在MSC中未進行狀態(tài)外推。這是由于MSC中的非線性狀態(tài)方程較為復(fù)雜,這時的外推過程本質(zhì)上屬于非線性濾波的外推。而在直角坐標(biāo)系中卻可以很容易地做到這一點,即目標(biāo)的運動可以用相對簡單的狀態(tài)方程予以精確描述。所以,本文在MSC下進行狀態(tài)更新,增益陣、濾波協(xié)方差以及預(yù)測協(xié)方差的計算,在并直角坐標(biāo)系中進行外推。

值得注意的是,當(dāng)由外推到濾波時,需要將目標(biāo)在直角坐標(biāo)系下的狀態(tài)變?yōu)樵贛SC下的狀態(tài),由濾波到外推時,需要將目標(biāo)在MSC下的狀態(tài)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系下的狀態(tài)。

(25)

可得:

(26)

然后在直角坐標(biāo)系中進行外推:

(27)

(28)

式中:

(29)

與EKF和PLE相比較而言,MSC坐標(biāo)中的狀態(tài)方程是非線性的,且遠(yuǎn)比直角坐標(biāo)中復(fù)雜。然而,MSC濾波可將系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測分量與不可觀測分量自然分離,因此這種方法可以有效地抑制誤差協(xié)方差陣的病態(tài)畸變。而直角坐標(biāo)中的EKF濾波則無此特性,由此產(chǎn)生的估計誤差的影響經(jīng)常得出錯誤的可觀測性,而MSC坐標(biāo)中的EKF濾波則消除了以上直角濾波的缺陷,是一種穩(wěn)定的濾波算法[5]。

3 仿真結(jié)果與分析

假定目標(biāo)作勻速直線運動,采用紅外導(dǎo)引頭數(shù)據(jù),對3種卡爾曼濾波算法進行仿真。數(shù)據(jù)設(shè)定為:掃描周期TIR為0.01 s。目標(biāo)初始位置為(8 000,8 000,-8 000)m,運動速度為(340,0,0)m/s;導(dǎo)彈初始位置為(0,0,0)m,初始運動速度為(100,0,0)m/s,導(dǎo)彈在Y方向做S型機動。紅外方位角、俯仰角的觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差均為0.057°。分別采用隨機設(shè)置初始狀態(tài)的EKF、PLE和MSC下的EKF算法,通過Monte Carlo仿真實驗,并選取100次收斂情況下得到的斜距估計誤差隨時間變化的結(jié)果。

圖2和圖3分別為位置濾波誤差和速度濾波誤差。由圖可見,MSC濾波特性與理論分析一致。導(dǎo)彈機動時,估計值收斂,且濾波過程未出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。偽線性濾波算法相對擴展卡爾曼濾波算法收斂較快,但隨著時間的增加,其產(chǎn)生的有偏距離估計和速度估計是很明顯的。

圖4和5分別為俯仰角和方位角濾波誤差曲線?？梢钥闯?MSC濾波算法初始起伏較大,但隨著迭代次數(shù)的增加,MSC濾波算法收斂到一個較高的精度。偽線性濾波算法和擴展卡爾曼濾波算法的收斂速度相當(dāng),但偽線性算法的估計精度略差。

圖2 位置濾波誤差 圖3 速度濾波誤差 圖4 俯仰角濾波誤差

圖5 方位角濾波誤差

為比較各種算法的穩(wěn)定性,通過100次Monte Carlo仿真實驗,表1記錄了3種算法收斂的次數(shù)。

表1 3種算法收斂性能的比較

由表1可以看出,偽線性濾波算法和基于修正球坐標(biāo)系的卡爾曼濾波算法的收斂性能要好于常規(guī)的擴展卡爾曼濾波算法。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合工程實際,對紅外純方位TMA的卡爾曼濾波算法進行了詳細(xì)的分析和比較,給出了可觀測條件,分別用EKF、偽線性卡爾曼濾波和MSC下的EKF 3種濾波方法對純方位TMA問題進行了求解。針對不同的算法給出了濾波方程,并對各方法的濾波特性進行了分析,并通過蒙特卡羅方法進行仿真驗證。實驗結(jié)果表明直角坐標(biāo)中的EKF是一種不穩(wěn)定的算法,算法容易發(fā)散;而偽線性卡爾曼濾波法雖然穩(wěn)定性較好,但產(chǎn)生的估計是有偏的。MSC中的EKF,解決了算法的不穩(wěn)定性問題,估計效果也相對較好。

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