賀英政，王浩偉，楊 坤

（海軍航空工程學(xué)院a.訓(xùn)練部；b.研究生管理大隊；山東煙臺264000）

對產(chǎn)品退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和建模的方法主要有：基于退化軌跡的方法[1-3]，基于隨機過程的方法[4-6]和基于退化量分布的方法。從建模理論上分析，前2 種方法應(yīng)比基于退化量分布方法的預(yù)測精度要高。因為后者不但要對若干測量時刻的退化量分布族類型作出判斷，還要對分布族參數(shù)的時間函數(shù)作出預(yù)測，更為關(guān)鍵的是各測量時刻的退化量可能不最優(yōu)服從同一分布類型。然而，當(dāng)產(chǎn)品個體之間的退化軌跡相差較大，無法使用前2 種建模方法對退化數(shù)據(jù)進(jìn)行較好擬合時，基于退化量分布的方法因具有不區(qū)分個體退化差別的特點而具有較高的可信度。

Nelson[7]首先研究了基于退化量分布的方法，并應(yīng)用對數(shù)正態(tài)分布對同一觀測時刻的退化量進(jìn)行建模。Wang 等[8]使用同樣的方法對感應(yīng)電動機的加速退化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并假設(shè)其尺度參數(shù)與時間有關(guān)而形狀參數(shù)與時間無關(guān)。趙建印等[9]通過失效物理分析推導(dǎo)出了某電容器產(chǎn)品的退化量服從正態(tài)分布，并基于此進(jìn)行了可靠性評估。鄧愛民等[10]對基于退化軌跡和基于退化量分布的2種方法進(jìn)行了系統(tǒng)的介紹。鐘強暉等[11]認(rèn)為產(chǎn)品各個檢測時刻的退化量可能服從不同的分布族，通過選擇分布類型確定其可靠度值，最后使用三參數(shù)威布爾分布對產(chǎn)品壽命進(jìn)行了分析。

本文提出了通過擬合優(yōu)度檢驗選擇退化量分布族及通過數(shù)據(jù)擬合確定分布族參數(shù)的方法。以某金屬產(chǎn)品的裂紋退化數(shù)據(jù)為例，詳細(xì)闡述了所提出方法的具體應(yīng)用過程，并驗證了方法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 可靠性建模分析

基于退化量分布的可靠性評估方法將樣品性能退化量看作隨機變量，把各樣本在同一時刻的退化數(shù)據(jù)認(rèn)為是該隨機變量的一組實現(xiàn)，從退化量分布的角度來描述樣品的退化過程。在產(chǎn)品退化早期，退化量分布曲線的涵蓋范圍離失效閾值較遠(yuǎn)，此時產(chǎn)品可靠性近似為1。隨著產(chǎn)品退化的發(fā)展，退化量分布曲線接近并涵蓋失效閾值，產(chǎn)品的可靠性逐漸降低，其過程如圖1 所示。所以，如能對每個測量時刻的退化量分布進(jìn)行準(zhǔn)確建模，就可對產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行評估。

圖1 基于退化量分布的統(tǒng)計分析Fig.1 Statistical analysis based on degradation amount distribution

基于退化量分布的可靠性建模基于以下假定。

假定1：退化量分布族假定。所有樣品在若干測量時刻的退化量服從同一分布族，但分布族的參數(shù)可能隨時間有所變化。

假定2：分布族參數(shù)假定。分布族參數(shù)可表示為時間t的函數(shù)，并且如果存在加速應(yīng)力，分布族參數(shù)可表示為時間t和加速應(yīng)力S的函數(shù)。

假定3：產(chǎn)品失效假定。樣品的失效閾值l為一常量，當(dāng)樣品退化量X(t)首次達(dá)到失效閾值時，定義為樣品失效，樣品壽命ξ=inf(t|X(t)≥l)服從某一壽命分布類型。

2 可靠性建模

根據(jù)測量時刻的退化量確定分布族類型，文獻(xiàn)[4]中使用失效物理分析的方法推導(dǎo)出了分布族類型，本文使用擬合優(yōu)度比較的方法選擇退化量最優(yōu)的分布族類型?？偨Y(jié)以往文獻(xiàn)用到的分布族類型，將正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布和伽瑪分布作為4個備選分布族類型。假設(shè)在各測量時刻，所有樣品的退化量X(t)為相對于初始值的退化增量，滿足X(0)=0，且X(t)服從正態(tài)分布X(t)～N(μ(t),σ2(t)) ，μ(t)和σ2(t)分別為均值和方差，且有μ(0)=0 和σ(0)=0。設(shè)樣品的失效閾值為l，則可得t時刻樣品的可靠度為

式中，Φ(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

考慮到非線性情況，使用時間t的冪率函數(shù)表示均值和方差：

式中，a、b、c、d待定系數(shù)。

將式（2）代入式（1）中，得到可靠度函數(shù)為

3 參數(shù)估計

假設(shè)每次對n個樣品在同一時刻進(jìn)行退化量測量，xij（i=1,2,…,n;j=1,2,…,m）表示第i個樣品第j次測量時的退化量，tj表示第j次測量的時刻，μj表示第j次測量時的退化量均值，表示第j次測量時的退化量方差。則有：

將式（4）代入式（2），可得：

對式（5）中的兩個等式求對數(shù)，可得：

4 實例應(yīng)用

文獻(xiàn)[12]提供了某金屬產(chǎn)品21 個樣品的裂紋尺寸增長數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)的測量間隔為百萬次運行周期，本文使用了其中前11 組數(shù)據(jù)，具體內(nèi)容如表1 所示。所有樣品的裂紋初始值都為0.90，設(shè)當(dāng)裂紋數(shù)據(jù)增長到1.30時產(chǎn)品失效。

表1 裂 紋尺寸增長數(shù)據(jù)Tab.1 Increment data of crack size

求出以上11列數(shù)據(jù)與裂紋初始值之間的差值，使用Anderson-Darling 統(tǒng)計量[13-15]對11 列差值進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗，確定各列所服從的最優(yōu)分布族類型。最優(yōu)服從正態(tài)分布的是第1、3、5、6、10 列，最優(yōu)服從威布爾分布的是第2、4、7、8 列，最優(yōu)服從伽瑪分布的是第9列，最優(yōu)服從對數(shù)正態(tài)分布的為第11列。其中，第5列的擬合優(yōu)度檢驗情況如圖2所示。

圖2 擬合優(yōu)度檢驗Fig.2 Goodness-of-fit test

根據(jù)擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果，分別假設(shè)各列數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布和威布爾分布進(jìn)行參數(shù)估計和可靠性評估。

1）假設(shè)服從正態(tài)分布。通過式（4）解得均值和方差，其變化軌跡見圖3。并利用式（6）得到各系數(shù)的最小 二 乘 估 計 為可靠度函數(shù)可確定為

圖3 均值與方差的變化軌跡Fig.3 Changing path of the mean and variance

圖4 尺度參數(shù)與形狀參數(shù)的變化軌跡Fig.4 Changing path of the scale and shape parameters

從圖4 中可看出，形狀參數(shù)不是時間t的單調(diào)函數(shù)，設(shè)形狀參數(shù)為與t無關(guān)的常數(shù)m，其估計值m?取為 均 值4.076。設(shè)η(t)=a?tb，得 最 小 二 乘 估 計，可靠度函數(shù)可確定為

為了對以上2 種假設(shè)下的可靠性預(yù)測值進(jìn)行驗證，可計算出每列數(shù)據(jù)在最優(yōu)分布族下的可靠度值，如表2所示，并以此為基準(zhǔn)進(jìn)行預(yù)測結(jié)果比較，可靠性預(yù)測曲線如圖5所示。

表2 最優(yōu)分布族下的可靠度值Tab.2 Reliability at the best fitting distribution type

圖5 可靠度預(yù)測值比較Fig.5 Compare between different reliability predictions

由圖5 可知，假設(shè)退化量服從正態(tài)分布和假設(shè)退化量服從威布爾分布的可靠度預(yù)測結(jié)果幾乎一致，這說明如果在這2 個分布族之間發(fā)生誤指定，對預(yù)測結(jié)果的影響很小，并且2 種假設(shè)下的預(yù)測曲線與表2 中的可靠度值擬合曲線非常接近，可認(rèn)為通過2 種假設(shè)所得的可靠度預(yù)測值都是可信的。

5 結(jié)束語

基于退化量分布的可靠性建模方法為長壽命、高可靠性產(chǎn)品的可靠性評估提供了一種新思路，尤其適用于產(chǎn)品個體間的退化軌跡相差較大的情況。本文通過數(shù)據(jù)擬合的方法做出了對退化量分布族和其參數(shù)的假定，結(jié)果證明這種處理方法具有較高的準(zhǔn)確度和可信度。

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