馬麗君

（集寧師范學院，內蒙古 烏蘭察布 012000）

淺談小學數(shù)學教學中滲透的數(shù)學思想與方法

馬麗君

（集寧師范學院，內蒙古 烏蘭察布 012000）

小學數(shù)學是小學階段的基礎學科，在小學數(shù)學中滲透數(shù)學思想與方法是促使小學生提高創(chuàng)新能力、思維能力的重要舉措.小學數(shù)學中常見的思想與方法主要為化歸思想、組合思想、變換思想、類比思想方法、歸納思想方法、單位思想方法、符號化的思想方法、極限思想.

小學數(shù)學；思想；方法

自17世紀以來，特別是近一個世紀，數(shù)學學科發(fā)生了很大的變化，教學方法也有了很大的突破，數(shù)學成為研究一般的數(shù)學關系與形式的科學.滲透數(shù)學思想與方法則顯的越來越重要.

1 小學數(shù)學教學中應滲透的常規(guī)數(shù)學思想

在數(shù)學歷史長河中，人類創(chuàng)造出了諸多數(shù)學思想方法，如此多的數(shù)學思想一下滲透到小學生思維中是不現(xiàn)實的，再者小學生的年齡特點，不能全部接受這些思想方法.故而在小學數(shù)學教學中，應選取最簡單、最基本的思想方法，逐步滲透到具體教學之中，促使學生學習數(shù)學的能力得到顯著提升，這些基本思想方法如下.

1.1 變換思想

變換思想是自一種形式變成另一種形式的思想方法，如在對解方程同解變換問題，公式、定律中命題等價變化，幾何問題中等體積變化等.

仔細觀察這些分母，不難發(fā)現(xiàn)：2=1×2，6=2×3…380=19×20,再用拆分的方法,考慮和式中的一般項

于是,問題轉換為如下求和形式:

1.2 化歸思想

化歸思想是把一些看似復雜的數(shù)學問題，通過所學知識轉化、歸納為一個較簡單的數(shù)學問題的過程.也就是矛盾的轉化過程.通?；瘹w思想包含兩個方面的內容.

1.2.1 代數(shù)運算

在一些代數(shù)運算中，直接解決問題比較困難，需要把問題轉換成簡單的或是學過的問題，這樣就把復雜問題化歸成簡單問題.

例如 雞兔同籠：籠中有頭50，有足140，問雞、兔各有幾只？

分析化歸的實質是不斷變更問題，這里可以先對已知成分進行變形.每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，這是問題中不言而喻的已知成分.現(xiàn)在對問題中的已知成分進行變形：“一聲令下”，要求每只雞懸起一只腳（呈金雞獨立狀），又要求每只兔懸起兩只前腳（呈玉兔拜月狀）.那么，籠中仍有頭50，而腳只剩下70只了，并且，這時雞的頭數(shù)與足數(shù)相等，而兔的足數(shù)與兔的頭數(shù)不等;有一頭兔，就多出一只腳，現(xiàn)在有頭50，有足70，這就說明有兔20只，有雞30只.

1.2.2 幾何知識中“變換圖形”

在幾何教學中常會對化歸思想予以利用，通過分割、翻折、平移與割補等諸多手段實現(xiàn)原圖形的“變形”，使不規(guī)則圖形面積計算問題轉變?yōu)橐?guī)則圖形面積計算問題，促使題目自難轉易，順利完成求解過程.

1.3 歸納思想

歸納指的是自特殊實例中推導出一類事物通用性結論的一種思想方法，是自個別到一般的推導過程，它是以觀察與實踐為基礎的，包括不完全歸納法和完全歸納法兩種，而不完全歸納法又可分為因果歸納法和枚舉歸納法.在小學數(shù)學教學中，要對小學生歸納思想能力進行培養(yǎng)，需對以下問題予以重視：（1）獲取知識，首先應引導學生通過綜合、分析、對比、概況及邏輯加工等，獲取所需知識.（2）歸納知識，借助于形象，引導學生自形象至抽象，自模糊至清晰，實現(xiàn)思維飛躍.（3）呈現(xiàn)實例，在展開完全歸納時，列舉的事例應全面、典型，確保歸納結論具有高度說服力與可信度.（4）最后進行歸納.

例如 小學生學習“年月日”

在課堂上可引導學生對年歷表特點進行觀察，歸納出1年包含12個月，1、3、5、7、8、10、12這幾個月每月均有31天，屬于大月，而4、6、9、11每月有30天，屬于小月，而2月在某些年為29天，某些年為28天，因此2月既非大月也非小月.在這里，滲透給學生的即是不完全歸納的思想方法.

1.4 類比思想

類比是根據(jù)兩類或兩個對象的相似或相同點，推斷他們其他方面也相似或相同的思想方法，是自特殊至特殊的方法.在解決數(shù)學問題時，利用類比思想可發(fā)現(xiàn)新問題，所得結論雖具有一定的偶然性，但卻可為該問題的深入研究提供線索，為思維指明方向，這對于問題的最終解決極為有利，故而類比是數(shù)學發(fā)現(xiàn)中最基本、最重要方法.在小學數(shù)學教學中，教師應在結構特征上、數(shù)量關系上、算理思路與思想內容上進行類比思想的滲透教學.

1.5 組合思想

組合是將所研究問題展開合理分組，并對可能發(fā)生的諸多問題在不遺漏、不重復下一一加以求解，最后得出正確結果的過程.

例如 “握手”游戲：30個小朋友游戲，每兩個人之間都握手一次，總共要握手多少次？

小學思維：方法一：假設握手是輪流進行的.設想這么一個情景：30位小朋友排成一列，第一個小朋友先走出列隊和其他29個人每個人握一次手，握完之后站在一旁不再進入列隊，那么他握了29次手；接下來，輪到第二個小朋友，他和隊內其他28個小朋友每人握手一次，所以要握28次手，握完后站到一旁不入隊；第三個走出列隊握手的小朋友要握27次，第四個要握26次，……依次遞減一次.輪到倒數(shù)第二個小朋友，他只要和最后一個小朋友握一次手就行了.而最后一個小朋友則不要再繼續(xù)握了.所以，總共握手的次數(shù)就是從29到1的29個整數(shù)的和：29＋28＋27＋…＋2＋1=435（次）.

方法二：把每個人都算成握手了29次，那么就有30個29次，只是每兩個人的握手都算了兩次，所以還要除以2，得：435（次）.

組合方法：每兩個人握手，就相當于在30個人中間任意選擇2個人進行組合.一個組合對應一次握手，有多少個組合就有多少次握手，即：435（次）.

這些方法既不重復，又不遺漏，體現(xiàn)了組合思想.

1.6 單位思想

在數(shù)學中，在數(shù)及量計算中均需借助到單位.在計量及計數(shù)教學中，關鍵問題即將計量和計數(shù)單位合理引入，在教學中要與計量單位和計數(shù)單位教學相結合，對其運用方法予以適當展示，促使小學生對相應知識有深刻領會.

例如 小學階段所學“升與毫升”課程中，教師先提問：“你們知道這個水壺的容量多大嗎？”經實際操作，可知在用小水杯進行測量時，可容納5杯水，用大水杯測量時，約有4杯左右.通過這一實例，可促使學生深入領會容量計算時單位統(tǒng)一的重要性，這樣可在教學中將單位思想予以有效滲透.

1.7 符號化思想

符號化思想是指普遍而有意識的應用符號對研究對象加以表述的方法，在小學數(shù)學教學中，應用合適的符號，可對數(shù)學方法、思想、邏輯與概念予以簡潔、清楚而準確的表達，可避免語言描述的含糊不清、繁復及冗長等問題.

例如 認識乘法課程.在一電腦教室中，每一張電腦桌上有2臺電腦，問9張電腦桌上一共有放幾臺電腦？教師可在學生將算式寫完后提問：“你們寫算式時，為什么邊寫算式邊數(shù)數(shù)??？”學生說:“算式太長，不數(shù)的話就可能會寫錯了”.此時教師可加以引導：“寫9個2再加起來是挺麻煩的，所以我們需要創(chuàng)造新的寫法，把這個意思簡單的寫出來.”這樣在學生進行再創(chuàng)造時，可經歷對乘法這一符合抽象化過程，學生可以在學習乘號時親身體驗自模糊到清晰的深刻符號化過程.同時，在學習過程中學生可對知識本質予以領悟，喚醒其內心的創(chuàng)造意識與研究意識.

1.8 極限思想

古代杰出的數(shù)學家劉徽的“割圓術”就是利用極限的思想來求得圓的面積的，在圓內作內接正多邊形，當多邊形的邊數(shù)越多時，多邊形的面積就越接近于圓的面積.“割之彌多，所失彌少.割之又割以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”的極限思想.并求出了圓周率，即“徽率”.

現(xiàn)行小學數(shù)學教材中有許多處注意了極限思想的滲透.例如：比較1.9與2.0的大小.可知1.9=2.0這便體現(xiàn)出了極限的思想.

2 小學數(shù)學解題過程中的其它數(shù)學思想方法

2.1 逆向思維的方法，逆向思維是發(fā)散式思維的一種.其基本特征是從已有思路的反方向去思索問題.這種思維形式反映了思維過程的間斷性、突變性、反聯(lián)結性是對思維慣性的克服.其優(yōu)點在于，首先有利于克服慣常思維的保守性，開拓新的數(shù)學領域.其次有利于糾正慣常思維所造成的錯誤認識，開辟數(shù)學新方向.最后有利于排除慣常思維過程中出現(xiàn)的困難，開通新的思路.

例如 小明利用寒假看了一本課外讀物，第一個星期看了這本書的一半少20頁，第二個星期看了剩下的一半多30頁，第三個星期看了80頁正好看完.問這本書共有多少頁？

解析 利用逆向思維的解題方法.從最后一次算起，因最后80頁是第二星期看后剩下的頁數(shù)的一半少20頁，80+30得到110頁，為第一星期看后剩的頁數(shù)的一半.正好比全書的一半多20頁（第一星期差20頁正好一半）.將110×20=220后減去20得書的一半，再乘以2即得全書的頁數(shù).列式為：[（80+30）×2-20]×2=400（頁）.

例如 李白無事街上走，提壺去打酒，遇店加一倍，遇花喝一斗，三遇花和店，喝干壺中酒.試問：壺中原有多少酒？

解析 題意是李白提壺上街買酒、喝酒的過程.每次遇見酒店，便將壺中的酒量增添一倍，而每次遇到花，便喝酒一斗，這樣他遇店遇花經過3次，便把所有的酒全喝完了，問：李白壺中原有多少酒？采用逆向思維的方式，從最后一次開始推算：

見花前———有1斗酒；

第三次：見花后壺中酒喝完，遇店前———壺中有酒半斗；

第二次：見花前———壺中有酒（斗）；

遇店前———壺中有酒（斗）；

第一次：見花前———壺中有酒（斗）；

遇店前———壺中有酒（斗）；

即：李白壺中原有酒為（斗）.

2.2 研究數(shù)學問題的對立面，也就是矛盾的同一性.即從原問題的反面入手.進行新的探索.反其道而行之：例如非歐幾何的創(chuàng)立等等.

例如在小學分數(shù)加法時，把乘法法則用作加法法則了，即對兩個分數(shù)相加時，分子加分子，分母加分母：.結果顯然是錯誤的.但是，這種錯誤的算法得到的結果和正確的結果相比，有沒有什么明顯的不同呢？仔細看看，是有很明顯的不同：按正確的算法.正數(shù)越加越大.要比與都大才對.可是在與之間，它比大，比小.如果小學生掌握了這種思想就不會出現(xiàn)類似的錯誤了.

3 在小學教學中滲透小學教學的思想和方法

數(shù)學思想方法是在更高層次上對數(shù)學知識進行抽象與概括的方法，在小學教材中，很多表層知識里均有潛在的數(shù)學思想，部分數(shù)學思想方法和數(shù)學知識是融為一體的，而有的則和相關數(shù)學知識結合在一起.數(shù)學教師在教學中應對教材中數(shù)學思想方法予以深入挖掘，自身先充分理解這些深層知識，使之自潛在形態(tài)轉變成顯形態(tài)，確保自己首先對這些知識有清楚的感受，之后才可傳授給學生.由于同一教材內容中通常蘊含有多種數(shù)學思想，而需滲透的可能只是其中的一種，無需全面滲透，故而在數(shù)學教學預設中，應對某課時中需滲透的思想予以合理確定.首先把這種思想融合到教師的思想中，進而在教案中對這一思想加以融合，之后向學生傳遞，使之滲透到學生掌握知識的過程中，使學生對數(shù)學知識產生好奇，迫切探索，經操作對數(shù)學思想方法予以親身經歷、理解、感受、掌握，最終加以領悟，如此才可促使數(shù)學思想真正注入到學生的大腦中.讓學生的思維能力和知識能力共同發(fā)展.

4 在小學教學中滲透數(shù)學思想方法的意義

首先，掌握數(shù)學思想方法有利于記憶.“高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)在的工具，而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具.”數(shù)學思想方法作為數(shù)學學科的核心內容，在數(shù)學學習中是至關重要的，學生掌握了小學數(shù)學思想方法后，對于小學數(shù)學知識的的記憶是非常有益的.而且能把握問題的本質，解決問題的基本思想.掌握事物或問題之間的邏輯關系.其次，掌握小學數(shù)學思想方法有利于數(shù)學能力的提高.學生的數(shù)學能力主要是在掌握數(shù)學概念、定理過程中形成和發(fā)展起來的，同時也是在掌握和運用數(shù)學知識的過程中形成起來的.在小學數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的能力始終是教學目標中的一個重要方面，掌握了數(shù)學的思維，靈活的思考，善于抓事物的主要矛盾，能辯證地全面地考慮問題以及分析、抽象、概括能力，都是小學數(shù)學教學應該著力培養(yǎng)的.最后，小學數(shù)學思想方法是聯(lián)結小學數(shù)學的一條紅線.掌握了小學數(shù)學的思想方法，學生在對小學數(shù)學中的問題自本質到現(xiàn)象的看待，從而順利解決數(shù)學問題.

〔1〕解恩澤，趙樹智.數(shù)學思想方法縱橫論[M].科學出版社,1987.

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〔4〕王權.中國小學數(shù)學教育史[M].2001.

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