曲程遠(yuǎn)，魏曉丹

(1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧 大連 116600；2.大連民族學(xué)院計算機科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116600)

本文旨在討論如下粘性擴散方程初邊值問題的弱解的存在唯一性，

▽u)=0，

x∈Ω，0

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈Ω

(2)

(3)

近年來，眾多數(shù)學(xué)工作者開展了對偽拋物型方程的理論研究。如KAKINA等[7]，CAO等[8]建立了具內(nèi)部源的偽拋物型方程的指標(biāo)理論；TERRACINA等[9]利用偽拋物正則化，對具cubic-like形式響應(yīng)函數(shù)的正倒向非線性擴散方程弱熵解的存在唯一性做了一系列的討論。 對形如方程(1)的非線性偽拋物方程的研究始于上世紀(jì)70年代，DAVIS于1972年就研究了偽拋物型方程的初邊值問題整體解的存在性。 GLADKOV[10]研究了偽拋物型方程的Cauchy問題解的唯一性。 然而對問題(1)-(3)解的存在唯一性，還未見完整討論。在本文中，我們利用不動點方法給出弱解的存在性，進一步證明了弱解的唯一性。

本文安排如下：第一部分證明問題(1)-(3)弱解的存在性，第二部分給出唯一性。

1 弱解的存在性

令空間W={w∈L∞(0,T;H1(Ω));wt∈L∞(0,T;H1(Ω))}，W是一個Banach空間，具有范數(shù)‖w‖W=‖w‖L∞(0,T;H1(Ω))+‖wt‖L∞(0,T;H1(Ω))。本文中我們考慮的弱解定義如下

定義1 稱u為問題(1)-(3)的弱解，如果u∈W, 滿足積分等式

▽φ+

g(|▽Gσ*u|)▽u·▽φ)dx=0,

?φ∈H1(Ω),t∈(0,T)

并且

為利用Schauder不動點定理來證明弱解的存在性，我們首先討論如下的線性化問題

▽u)=0，

x∈Ω，t∈(0,T)

(4)

其中c(x,t)是一個給定的具有正下界的函數(shù)，且?c/?t有界。由經(jīng)典理論[11]可知，問題 (2)-(4)弱解的存在唯一性可以利用Galerkin方法得到。

命題1 對任意的u0∈H1(Ω)，線性化問題(2)-(4)具有唯一弱解u∈W。

定理1 若u0∈H1(Ω)，問題(1)-(3)存在弱解。

證明這里我們采用Schauder不動點理論來證明。令w∈W,使得

‖w‖L∞(0,T;L2(Ω))+‖wt‖L∞(0,T;L2(Ω))≤c1‖u0‖H1(Ω)

其中c1為待定正常數(shù)。因為w，?w/?t滿足上式，則有▽Gσ*w和▽Gσ*wt屬于L∞(0,T;C∞(Ω))，且存在依賴于Gσ和Ω的常數(shù)c2，使得

‖▽Gσ*w‖L∞(0,T;L∞(Ω))≤c1c2‖u0‖H′(Ω),

‖▽Gσ*wt‖L∞(0,T;L∞(Ω))≤c1c2‖u0‖H′(Ω)

因此有

(5)

考慮如下問題

▽φ+

g(|▽Gσ*w|)▽u·▽φ)dx=0,

?φ∈H1(Ω),t∈(0,T)

(6)

由式(5)和命題1，問題(6)具有唯一解uw∈W。

令φ=uω，代入問題(6)并從 0到t上積分有

于是可得

(7)

▽uw|2dx.

由式(7)有

(8)

‖▽uw‖L∞(0,T;L2(Ω))≤c3，

(9)

我們引入如下定義的子空間W0

W0={w∈W;w在弱意義下滿足(2)和(3)，

c1‖u0‖H1(Ω),‖▽w‖L∞((0,T);L2(Ω))≤c3,

為了利用Schauder不動點定理，我們需要證明P:w→uw從W0到W0弱連續(xù)。令wj為W0中一列弱收斂于w的序列，uj=uwj。往證P(wj)=uj弱收斂于P(w)=uw。根據(jù)式(7)-(9)和Sobolev空間中的經(jīng)典結(jié)論，我們可以從uj得到一個收斂于u的子列，使得

wj→w在L2(0,T;L2(Ω))中且?guī)缀跆幪幱讦浮?0,T)上；

g(|▽Gσ*wj|)→g(|▽Gσ*w|) 在L2(0,T;L2(Ω))中且?guī)缀跆幪幱讦浮?0,T)上；

uj→u在L∞(0,T;L2(Ω))中弱收斂；

uj→u在L2(0,T;L2(Ω))中和且?guī)缀跆幪幱讦浮?0,T)上；

uj(x,0)→u0(x) 在L2(Ω)中；

通過以上收斂我們得到u=P(w)。由于問題(6)的解是唯一的，序列uj=P(wj)在W0中弱收斂于u=P(w)，即P弱連續(xù)。根據(jù)Schauder不動點定理，存在w∈W0使得w=P(w)=uw，即uw為問題(1)-(3)的解。

2 弱解的唯一性

定理2 問題(1)-(3)的弱解是唯一的。

證明令u1，u2為(1)-(3)兩個弱解。則對于幾乎每一個(0,T)中的t和i=1,2，我們有

div(α1▽(u1-u2))=div((α1-α2)▽u2),

x∈Ω，0

(10)

u1(x,0)-u2(x,0)=0,x∈Ω

(11)

(12)

其中αi(x,t)=g(|▽Gσ*ui|)。

令0

α1▽(u1-u2)▽(v1-v2))dxdt+

(13)

(14)

由于g(s)和Gσ是光滑的，我們有‖α1-α2‖L∞(Ω)≤c7‖u1-u2‖L2(Ω)，其中c7是取決于g(s)和Gσ的常數(shù)。對式(14)使用Young不等式，得到

(15)

2cs‖▽(w1-w2)(·,s)‖L2(Ω)

則由Gronwall不等式的積分形式可知在(0,T1]上u1-u2≡0。最后，在區(qū)間(T1,2T1]，(2T1,3T1]等上進行同樣的步驟，最終在(0,T)上得到u1≡u2。

參考文獻：

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[11]EVANS L C. Partial differential equations [M]. 2nd ed, Rhode Island: American Mathematical Socitety, 2010.