楊甲山

(梧州學院數(shù)理系, 廣西 梧州 543002)

考慮如下一類高階非線性變時滯阻尼泛函微分方程

Q(t)f(φ(x(δ(t))))=0，t≥t0

(1)

其中n≥2為偶數(shù)，t0≥0為常數(shù)，z(t)=x(t)+P(t)x(τ(t))，A(t),P(t),Q(t)∈C([t0,+∞),R)，φ(u)=|u|γ-1u，γ>0為常數(shù)；f(u)∈C(R,R)且uf(u)>0(u≠0)。本文總假設(shè)下列條件成立：

關(guān)于方程(1)的特殊情形及其振蕩性結(jié)果見文[1-4]。若方程(1)中P(t)≡0，f(u)=u，則可簡化為

[A(t)φ(x(n-1)(t))]′+b(t)φ(x(n-1)(t))+

Q(t)φ(x(δ(t)))=0

(2)

而方程(2)的振蕩性在文[5]也作了仔細研究，并給出了3個非常有價值的振蕩準則。本文的目的是研究方程(1)振蕩性，并給出當文[5]中定理3的條件(C9)(文[6-16]也有類似的條件)不成立時的一些新的振蕩準則。

1 幾個引理

引理1[6]設(shè)u在[t0,+∞)上是正的n次可微函數(shù)，u(n)(t)最終定號，則存在t*≥t0和整數(shù)l(0≤l≤n)，當u(n)(t)≥0時，n+l為偶數(shù)；當u(n)(t)≤0時，n+l為奇數(shù)，使得

當l>0時，有u(k)(t)>0，t≥t*，k=0,1,…,l-1;

且當l≤n-1時，有(-1)l+ku(k)(t)>0，t≥t*，k=l,l+1,…,n-1

引理2[7]設(shè)u滿足引理1的條件，且u(n-1)(t)u(n)(t)≤0(t≥t*)，則對任何θ∈(0,1)，存在常數(shù)M>0， 使得對一切充分大的t有u′(θt)≥Mtn-2u(n-1)(t)。

引理3[8]設(shè)a,b為非負實數(shù)，則λabλ-1-aλ≤(λ-1)bλ，λ>1，等號成立當且僅當a=b。

引理4 設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，則z(t)>0,z′(t)>0,z(n-1)(t)>0,z(n)(t)≤0。

證明完全類似于文[5]中的引理4，在此從略。

2 主要結(jié)果和證明

為了敘述方便，考慮集合D={(t,s)|t≥s≥t0}，D0={(t,s)|t>s≥t0}。稱函數(shù)H∈Y，如果函數(shù)H(t,s)∈C(D,R)，當t≥t0時H(t,t)=0; 當(t,s)∈D0時H(t,s)>0且H(t,s)對第二個變量有連續(xù)非正的偏導(dǎo)數(shù)。

引入記號

Φ(s)=αQ(s)[1-P(δ(s))]γ，

(3)

定理1 若存在函數(shù)H∈Y及ζ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

(4)

證明設(shè)方程(1)存在非振蕩解x(t)。不失一般性，設(shè)x(t)>0,x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，t≥T≥t0。由方程(1)并注意到條件(H3)，得

[A(t)φ(z(n-1)(t))]′+b(t)φ(z(n-1)(t))≤

-αQ(t)φ(x(δ(t)))<0

(5)

由引理2，對0<θ<1，存在常數(shù)M>0，有

z′(θδ(t))≥Mδn-2(t)z(n-1)(δ(t))≥

Mδn-2(t)z(n-1)(t)

(6)

由x(t)≤z(t)及引理4知，z(t)≤x(t)+P(t)z(τ(t))≤x(t)+P(t)z(t)，即

x(t)≥[1-P(t)]z(t)≥0

(7)

定義函數(shù)

(8)

則V(t)>0(t≥T)，注意到式(5)-(7)，可以得到

注意到式(3)的第一個式子，于是由上式，當t≥T時，有

上式兩邊同乘H(t,s)，并從T到t(t≥T)積分，可得

(9)

現(xiàn)取

代入引理3中的不等式，得

|h(t,s)|V(s)-

(10)

將式(10)代入式(9)，有

(11)

即

H(t,t0)V(T)

(12)

于是

注1 通過選擇恰當?shù)牟煌暮瘮?shù)H(t,s)和ζ(s)就能導(dǎo)出許多關(guān)于方程(1)及其特殊情形的不同類型的其它具體振蕩準則。如，若方程(1)中n=2，P(t)≡0，f(u)=u，δ(t)=t，并在定理1中取ζ(s)=1，于是由定理1，我們可得如下結(jié)果。

推論1 若存在函數(shù)H∈Y, 使得

[H(t,s)Q(s)-

[A(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+b(t)|x′(t)|γ-1·

x′(t)+Q(t)|x(t)|γ-1x(t)=0

是振蕩的。

這是Li等[9]將Philos型振蕩準則推廣到了二階半線性阻尼微分方程所得到的結(jié)果。本文將其推廣到了具有阻尼項的高階非線性中立型變時滯微分方程(1)。又如取H(t,s)=(t-s)k，由定理1，可得如下結(jié)果。

推論2 如果存在常數(shù)k>γ及函數(shù)ζ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

其中常數(shù)θ∈(0,1)和M>0如引理2，函數(shù)Φ(s),Ψ(s)定義如式(3)。則方程(1)是振蕩的。

若方程(1)中n=2，P(t)≡0，b(t)≡0，f(u)=u，δ(t)=t，并在推論2中取ζ(t)=1，則有

則方程[A(t)φ(x′(t))]′+Q(t)φ(x(t))=0(t≥t0)是振蕩的。

推論3就是文[8]中的定理4.7.5，也是Li等[2]推廣了Kamenev的結(jié)果所得到的結(jié)論。

若方程(1)中P(t)≡0，f(u)=u，則定理1即為文[5]中的定理3。其它相關(guān)結(jié)果可參見文獻[10-14]及其參考文獻。若式(4)不成立，我們有下面的判別準則。

定理2 若存在函數(shù)H∈Y及ζ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，ξ1(t),ξ2(t)∈L2([t0,+∞),R)使得對任意的s≥T，有

(13)

(14)

并且ξ1和ξ2滿足

+∞

(15)

其中T≥t0為某常數(shù)，常數(shù)θ∈(0,1)和M>0如引理2，[ξ1(τ)-ξ2(τ)]+=max{[ξ1(τ)-ξ2(τ)],0}，函數(shù)Φ(s)，ψ(s)及h(t,s)定義如定理1，則方程(1)是振蕩的。

證明設(shè)方程(1)存在非振蕩解x(t)。不失一般性，設(shè)x(t)>0,x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，t≥T≥t0。 定義函數(shù)V(t)如式(8)，則由定理1的證明可得式(9)和式(11)。由式(11)，當t≥s≥T≥t0時，有

(16)

由式(16)，進一步可得

注意到式(13)、式(14)，由上式即得

ξ1(s)-ξ2(s)≤V(s)，s≥T≥t0

(17)

另一方面，由式(9)，有

|h(t,τ)|V(τ)}dτ≤

上式蘊含著

|h(t,τ)|V(τ)}dτ≤V(T)-ξ1(T)≤C0

(18)

式中C0為某常數(shù)，并能斷言

(19)

于是由式(18)，知

(20)

所以，對充分大的正整數(shù)n，

于是，對充分大的正整數(shù)n及ε∈(0,1)，有

1-ε>0

(21)

由上式并注意到式(21)，得

由式(14)知，上式右邊是有界的，這與式(20)矛盾！所以式(19)是成立的。

由式(19)，并注意到式(17)，我們有

這與式(15)矛盾! 定理證畢。

適當選取函數(shù)H(t,s)和ζ(t)，就可以從定理2得到方程(1)的一系列具體振蕩準則。例如，取H(t,s)=(t-s)k，ζ(t)≡1，就有

推論4 如果存在函數(shù)ξ1(t),ξ2(t)∈L2([t0,+∞),R)及常數(shù)k>γ使得

注2 若方程(1)中P(t)≡0，f(u)=u，則本文定理2及推論4得到了文[5]中定理3的條件(C9)不成立時方程(2)的振蕩準則。

3 例子

顯然條件(H1)-(H5)是滿足的。現(xiàn)取ζ(t)=1，H(t,s)=(t-s)3，則此時定理1即為推論2，故有

因此推論2的條件全部滿足，于是由推論2知此時方程是振蕩的。

即此時式(4)是不成立的，也就是說文[5]中定理3的條件(C9)不滿足，因此，文[5]中定理1-定理3和本文定理1及其推論均不能用?，F(xiàn)改用本文定理2(此時定理2即為推論4)，則

所以

→+∞(t→+∞)

顯然，定理2(推論4)的條件是滿足的。于是，由定理2(推論4)知，此時方程是振蕩的。但文[5-14]中的定理均不能判定例1和例2中方程的振蕩性。

參考文獻：

[1]KAMENEV I V. An integral criterion for oscillation of linear differential equations of second order [J]. Math Zametki, 1978, 23: 249-251.

[2]LI H J, YEH C C. An integral criterion for oscillation of nonlinear differential equations [J]. Math Japonica, 1995, 41: 185-188.

[3]PHILOS CH G. Oscillation theorems for linear differential equations of second order [J]. Arch Math, 1989, 53: 482-492.

[4]WANG Q R. Oscillation and asymptotics for second-order half-linear differential equations [J]. Appl Math Comput, 2001, 122: 253-266.

[5]張全信，俞元洪. 偶階半線性阻尼泛函微分方程的振動性[J]. 應(yīng)用數(shù)學學報, 2010, 33(4): 601-610.

[6]AGARWAL R P, GRACE S R, REGAN D O. Oscillation theory for difference and functional differential equations [M]. New York: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[7]GYOR I, LADAS G. Oscillation theory for delay differential equations with applications [M]. Clarendon: Oxford, 1991.

[8]AGARWAL R P, BOHNER M, LI W T. Nonoscillation and oscillation: Theory for functional differential equations [M]. New York: Marcel Dekker, 2004.

[9]LI W T, ZHONG C K, FAN X L. Oscillation criteria for second-order half-linear ordinary differential equations with damping [J]. Rocky Mountain J Math, 2003, 33(1): 1-26.

[10]YANG X J．Oscillation criteria for nonlinear differential equations with damping [J]. Appl Math Comput, 2003, 136: 549-557.

[11]WANG Q R .Oscillation criteria for even order nonlinear damped differential equations [J]. Acta Math Hungar, 2002, 95: 169-178.

[12]WU H W, WANG Q R, XU Y T. Oscillation criteria for certain even order nonlinear functional differential equations [J]. Dynamic Systems and Applications, 2004, 13: 129-144.

[13]楊甲山，方彬. 一類二階中立型微分方程的振動和非振動準則[J]. 四川師范大學學報：自然科學版，2012，35(6)：776-780.

[14]羅李平，俞元洪. 三階半線性中立型微分方程的振動結(jié)果[J]. 系統(tǒng)科學與數(shù)學, 2012, 32(5): 571-579.

[15]楊甲山. 具正負系數(shù)和阻尼項的高階微分方程的振動定理[J]. 中山大學學報：自然科學版, 2012, 51(1): 30-34.

[16]林全文，莊容坤. 二階非線性橢圓型微分方程新的振動準則[J]. 中山大學學報：自然科學版, 2013, 52(2): 57-61.