劉立漢

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 重慶401331)

本文考慮在擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的三維Helmholtz方程

Δu(x1,x2,z)+[k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)]

u(x1,x2,z)=f(x1,x2,z),(x1,x2,z)∈R3

(1)

其中

(2)

(A2) 函數(shù)p(x1,x2,z)還滿足

p(x1,x2,z)|dx1dx2dz<1

(3)

其中G(x1,x2,z;ξ1,ξ2,ζ)是三維齊次Helmholtz方程在無擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的Green函數(shù)(更多細(xì)節(jié)見第1節(jié))。

我們的工作主要是由在共軸導(dǎo)波中電磁波的研究所導(dǎo)出的。當(dāng)函數(shù)p(x1,x2,z)≡0，方程(1)描述了在共軸波導(dǎo)上的電磁波的傳播，其中k是波數(shù)，函數(shù)n(x1,x2)是折射率，函數(shù)f(x1,x2,z)是點(diǎn)源項(xiàng)，R是波導(dǎo)的半徑和函數(shù)u(x1,x2,z)是時(shí)間調(diào)和的電磁波速率勢能。在文[1]，我們引進(jìn)了一個(gè)推廣的Sommerfeld-Rellich輻射條件(輸出輻射條件)：對所有的導(dǎo)波分支和自由波分支都有一個(gè)類似Sommerfeld輻射條件，然后我們研究了三維Helmholtz方程在擾動(dòng)的分層介質(zhì)上的解的存在唯一性，也就是這個(gè)折射率是一個(gè)一元函數(shù)。然而，當(dāng)波導(dǎo)是共軸的情況，也就是這個(gè)折射率是一個(gè)二元函數(shù)，目前還不清楚它的合適的輻射條件，因此本文我們引進(jìn)了另一個(gè)推廣的Sommerfeld-Rellich輻射條件(輸出輻射條件)，然后我們考慮了滿足給定輻射條件的擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的三維Helmholtz方程的解的存在唯一性。

正如文[1-3]所示，我們將利用如下記號。在不同的坐標(biāo)系下，三維空間R3中的一個(gè)點(diǎn)分別記為：

P=(x1,x2,z)～(r,θ,z),P′=(ξ1,ξ2,ζ)～(r′,θ′,ζ)

它們有如下關(guān)系:

本文內(nèi)容安排如下: 在第1節(jié)，我們回顧了三維齊次Helmholtz方程在無擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的Green函數(shù)和它的漸近性質(zhì)；在第2.1節(jié)，我們將證明滿足后面將給出的某個(gè)輸出輻射條件的三維Helmholtz方程(1)的解的唯一性；在第2.2節(jié)，我們將證明滿足后面將給出的某個(gè)輸出輻射條件的三維Helmholtz方程(1)的解的存在性。

事實(shí)上，我們的方法也許可以推廣到任何其它類型的共軸波導(dǎo)上，如最近得到廣泛應(yīng)用的“全絕緣波導(dǎo)”[4-5]，于是可以得到類似的結(jié)果。

1 Green函數(shù)

1.1 三維Helmholtz方程在共軸波導(dǎo)上的Green函數(shù)

在這一小節(jié)，我們回顧三維齊次Helmholtz方程在無擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的Green函數(shù)[6-7]。這個(gè)Green函數(shù)后面將用來構(gòu)造三維Helmholtz方程(1)的解。

在柱面坐標(biāo)下，無擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的三維齊次Helmholtz方程為：

(4)

求這個(gè)方程的一個(gè)分離變量的解

u(r,θ,z)=eikβzeimθv(r)

其中β∈C和m∈Z, 則v(r)必須滿足如下常微分方程：

(5)

定義

(6)

那么這個(gè)方程就變形為

(7)

函數(shù)q(r)變形為

(8)

我們把(7)式看成是關(guān)于l∈C的特征值問題，并且稱它為方程(4)的特征值問題[8-9]。從文[6-7]中，可以得到方程(4)的Green函數(shù)G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)：

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=

jm(r,λ)jm(r′,λ)eim(θ-θ′)dχm(λ),0

0≤θ,θ′≤2π;z,ζ∈R

(9)

當(dāng)λ>d2時(shí)，

(10)

其中Jm,Ym分別是m階第一型Bessel函數(shù)和第二型Bessel函數(shù)，

αm(λ)=(-1)(|m|-m)/2|m|!2|m|(λ-d2)-|m|/2,

(11)

(12)

(13)

其中Im,Km是分別是m階的第一型修正的Bessel函數(shù)和第二型修正的Bessel函數(shù)，

(14)

其中

(15)

(16)

其中

(17)

(18)

其中

(19)

(20)

1.2 Green函數(shù)的漸近性質(zhì)

在這一小節(jié), 我們給出如下引理。

引理1 設(shè)函數(shù)G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)是由(9)式所給出的Green函數(shù)，則對于任意給定的r′,θ′,ζ，我們有

(21)

(22)

證明我們需要考慮三種情況：0<λd2，在每一個(gè)區(qū)間內(nèi)jm(r,λ)和G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)都有不同的性質(zhì)。只證明(21)式，(22)式可類似地證明。

第一種情形：當(dāng)0<λ

又由文[10](或文[11])的(9.6.6)和(9.6.7)式，有

和

I-m(s)=Im(s),m∈Z

則可以得到

記

則

并且由(9)式，有

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通過簡單的計(jì)算立即可以得到(21)式。

第二種情形：當(dāng)λ=d2時(shí)，由(18)式得

jm(r,λ)=r|m|+1/2, 當(dāng)r→0

則可以得到

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通過簡單的計(jì)算立即可以得到(21)式。

第三種情形：當(dāng)λ>d2時(shí)，由(10)式，我們有

又由文[10](或文[11])的(9.1.5)和(9.1.7)式，有

和

J-m(s)=(-1)mJm(s),m∈Z

則可以得到

記

則

jm(r,λ)～am(λ)r|m|+1/2,r→0,

并且由(9)式，有

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通過簡單的立即可以得到(21)式。

定義

則可以得到如下的引理。

(23)

證明由(10)、(14)、(18)式和由(9)式所定義的Green函數(shù)G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)，可以得到

于是，由Fubini-Tonelli定理，容易就可以立即得到(23)式。

引理3 設(shè)(r,θ,z),(r′,θ′,ζ)∈R3和|P-P′|=(rcosθ-r′cosθ′,rsinθ-r′sinθ′,z-ζ)且|P-P′|<1，則存在一個(gè)不依賴于r,θ,z,r′,θ′,ζ的正常數(shù)C1，使得

(24)

證明這個(gè)引理的證明類似于文[12]的引理2.19的證明，因此在這省略。

2 三維Helmholtz方程在擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的解的存在唯一性

2.1 三維Helmholtz方程在擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的解的唯一性

我們將給出推廣的Sommerfeld-Rellich輻射條件，并稱它為輸出輻射條件：首先，我們假設(shè)

u∈C1(R3)∩L2(R3)

(25)

其次，假設(shè)對所有m∈Z,z∈R，如下等式成立：

(26)

其中函數(shù)um(r,z)是如下Fourier級數(shù)的Fourier系數(shù)：

最后，

(27)

這些條件都是由其物理意義所得到的，詳情請見文[6-7]和那里提到的參考文獻(xiàn)。

引理4 設(shè)函數(shù)u(x1,x2,z)∈L2(μ)滿足方程

Δu(x1,x2,z)+

[k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)]u(x1,x2,z)=0

(28)

(29)

證明一方面，由于函數(shù)u(x1,x2,z)是方程(28)的一個(gè)解，從文[1]，可以得到函數(shù)|▽u(x1,x2,z)|2μ(x1,x2,z)和函數(shù)|▽2u(x1,x2,z)|2μ(x1,x2,z)在三維空間R3上是可積的。因此， 很容易得到函數(shù)

屬于Sobolev空間W2,2(R3)。由Sobolev嵌入定理[13]，可以得到函數(shù)Φ(x1,x2,z)∈L∞(R3)，因此，立即可得到(29)式中的第一個(gè)極限。

另一方面，接下來證明(29)式中的第二個(gè)極限。通過簡單計(jì)算可知，函數(shù)Φ(x1,x2,z)滿足如下方程：

ΔΦ(x1,x2,z)+b(x1,x2,z)·▽Φ(x1,x2,z)+

c(x1,x2,z)Φ(x1,x2,z)=0,

其中

b(x1,x2,z)=(-μ-1μx1,-μ-1μx2,-μ-1μz)=-μ-1·▽μ,

c(x1,x2,z)=k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)+

都是關(guān)于(x1,x2,z)的函數(shù)。

由于函數(shù)Φ(x1,x2,z)∈W2,2(R3)，并且由文[14]的定理8.10，可以得到函數(shù)Φ(x1,x2,z)∈W3,2(H+)，其中H+={(x1,x2,z)∈R3‖z|≥h},h>0是一個(gè)常數(shù)。再次利用Sobolev嵌入定理，可以得到函數(shù)|▽Φ(x1,x2,z)|∈L∞(H+)，因此，立即可得到(29)式中的第二個(gè)極限。

設(shè)函數(shù)u(x1,x2,z)=u(r,θ,z)是三維Helmholtz方程(1)的一個(gè)解，我們定義如下函數(shù)：

則有

引理5 設(shè)函數(shù)u(x1,x2,z)=u(r,θ,z)是方程(28)的一個(gè)弱解，并且函數(shù)U(r,θ,z)定義如上，則函數(shù)U(r,θ,z)是方程

k2n2(r)u(r,θ,z)=-ψ(r,θ,z),

(30)

的一個(gè)弱解，其中

(31)

證明這個(gè)引理的證明類似于文獻(xiàn)[1]的引理6的證明，因此在這省略。

引理6 設(shè)點(diǎn)(r′,θ′,ζ)是固定的，并且R′充分大使得點(diǎn)(r′,θ′,ζ)∈ΩR′，又設(shè)函數(shù)u(r,θ,z)是方程 (32)的一個(gè)解，則有如下等式：

(32)

其中ΩR′={(r,θ,z)|(rcosθ)2+(rsinθ)2+z2≤(R′)2}，函數(shù)ψ(r,θ,z)由(31)式所給定和ν是ΩR′的向外的法向。

證明容易驗(yàn)證函數(shù)ΔG+k2n2(r)G有一個(gè)奇點(diǎn)(θ,z)≡(θ′,ζ)。于是，由引理5我們可以得到，

其中Ωε={(r,θ,z)∈R3|(rcosθ-r′cosθ′)2+(rsinθ-r′sinθ′)2+(z-ζ)2≤ε2}。

由上述公式和第二Green公式，我們可以得到

(33)

因此，通過在上述等式(33)當(dāng)ε→0+取極限，我們很容易就可以立即得到(32)式。

故得到本文的第一個(gè)結(jié)果：

定理1[解的唯一性]設(shè)函數(shù)p(x1,x2,z)滿足假設(shè)條件(A1)和(A2)，則滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)最多只有一個(gè)有界的解。

證明設(shè)函數(shù)u1(x1,x2,z)和函數(shù)u2(x1,x2,z)是滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)的兩個(gè)有界的解，并且設(shè)函數(shù)u(x1,x2,z)=u1(x1,x2,z)-u2(x1,x2,z)。很明顯，函數(shù)u(x1,x2,z)是方程(28)的一個(gè)有界的解且滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)。

由(32)式，有

(34)

由三角不等式和Cauchy-Schwartz不等式，我們得到(34)式的右邊如下：

由(9)式，并且由于函數(shù)jm(r,λ)是有界的，很容易得到

I1→0,I2→0, 當(dāng)R′→∞

因此，得到(34)式的右邊趨于0，當(dāng)R′→∞。

由文[8-9]和Fubini-Tonelli定理，可以得到(34)式的左邊如下：

因此，在(34)式中兩邊當(dāng)R′→∞取極限，可以得到

u(r,θ,z)rdrdθdz=0

(35)

p(r,θ,z)|rdrdθdz

(36)

又由(3)式和上述不等式(36)，可以得到M=0，即:u1(x1,x2,z)=u2(x1,x2,z)。

2.2 三維Helmholtz方程在擾動(dòng)的共軸波導(dǎo)上的解的存在性

在研究三維Helmholtz方程(1)的解的存在性之前，我們先給出如下兩個(gè)引理。

引理7 設(shè)Ψ(r′,θ′,ζ)是一個(gè)復(fù)值函數(shù)并且滿足假設(shè)條件(A1)，則函數(shù)

滿足

證明由引理1和假設(shè)條件(A1)，我們很容易得到此引理。

引理8 設(shè)Ψ(r′,θ′,ζ)是一個(gè)復(fù)值函數(shù)并且滿足假設(shè)條件(A1)，則函數(shù)

Ψ(r′,θ′,ζ)r′dr′dθ′dζ

滿足

證明由引理2和假設(shè)條件(A1)，很容易得到此引理。

考慮滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)的解的存在性，則得到如下結(jié)果。

定理2[解的存在性]設(shè)函數(shù)f(x1,x2,z)∈L2(R3)和函數(shù)p(x1,x2,z)∈L2(R3)，并且都滿足假設(shè)條件(A1)和(A2)，則滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)的三維Helmholtz方程(1)至少存在一個(gè)有界的解。

特別地，這個(gè)解是如下積分方程唯一的有界的解：

p(ξ1,ξ2,ζ)u(ξ1,ξ2,ζ)]dξ1dξ2dζ

(37)

證明首先，證明函數(shù)u(x1,x2,z)有界，然后證明它滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)。

一方面，我們有

J1+J2

(38)

其中B1(x1,x2,z)={(x1,x2,z)∈R3|(x1-ξ1)2+(x2-ξ2)2+(z-ζ)2≤1}。

由引理3和(9)式，我們可知，在相差一個(gè)常數(shù)倍的情況下，|J1|相當(dāng)于

由H?lder不等式，我們估計(jì)|J1|2。

因?yàn)楹瘮?shù)f(x1,x2,z)∈L2(R3)，所以，(38)式右邊的第一個(gè)積分J1有界。

由引理1，引理2和引理3，我們知道函數(shù)G(x1,x2,z;ξ1,ξ2,ζ)在B1(x1,x2,z)之外有界，又由函數(shù)f(x1,x2,z)滿足假設(shè)條件(A1)，因此，(38)式右邊的第二個(gè)積分J2有界。

由(3)式和壓縮影像原理，我們立即可得到函數(shù)u(x1,x2,z)有界。

另一方面，接下來我們證明函數(shù)u(x1,x2,z)滿足輸出輻射條件(25)、(26)和(27)。由于函數(shù)u(x1,x2,z)有界，并且由于函數(shù)f(x1,x2,z)和函數(shù)p(x1,x2,z)都滿足假設(shè)條件(A1)和(A2)，再根據(jù)引理7和引理8，我們立即可得到此結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]LIU L, QIN Y, XU Y, et al. A uniqueness and existence of solutions for the 3-D Helmholtz equation in a stratified medium with unbounded perturbation [J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2013, 36: 2033-2047.

[2]XU Y. Scattering of acoustic waves by an obstacle in a stratified medium [J]. Partial differential equations with real analysis, Pitman Research Notes in Mathematics Series, 1992, 263: 147-168.

[3]XU Y. Radiation condition and scattering problem for time-harmonic acoustic waves in a stratified medium with a non-stratified inhomogeneity [J]. IMA Journal of Applied Mathematics, 1995, 54: 9-29.

[4]FINK Y, RIPIN D, FAN S, et al. Guiding optical light in air using an all-dielectric structure [J]. Journal of Lightwave Technology, 1999, 17: 2039-2041.

[5]IBANESCU M, FINK Y, FAN S, et al. An all-dielectric coaxial waveguide [J]. Science, 2000, 289: 415-419.

[6]ALEXANDROV O, CIRAOLO G. Wave propagation in a 3-D optical waveguide [J]. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2004, 14: 819-852.

[7]ALEXANDROV O, CIRAOLO G. Wave propagation in a 3-D optical waveguide II:Numerical results [C]//Proceedings of the 5th International Congress of the ISAAC held in Catania, 2005.

[8]CODDINGTON E A, LEVINSON N. Theory of ordinary differential equations [M]. New York: McGraw-Hill, 1955.

[9]TITCHMARSH E C. Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations [M]. Oxford: Oxford at the Clarendon Press, 1946.

[10]ABRAMOWITZ M, STEGUN I A. Handbook of mathematical functions [M]. New York: Dover, 1972.

[11]MAGNUS W, OBERHETTINGER F, SONI R. Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics [M]. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1966.

[12]CIRAOLO G. Non-rectilinear waveguides: analytical and numerical results based on the Green′s function [D]. Ph D Thesis, http://www.math.unipa.it/～g.ciraolo/

[13]ADAMS R, FOURIER J. Sobolev spaces [M]. New York: Academic Press, 2003.

[14]GILBARG D, TRUDINGER N. Elliptic partial differential equations of second order [M]. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1977.