李 偉，梁玉英，蔡金燕，呂 萌，張國龍

(軍械工程學院電子與光學工程系，河北石家莊 050003)

0 引言

電應力隨機沖擊是裝備發(fā)生故障的主要因素之一，大多數大功率高電壓電子裝備中通常含有容值很大的儲能電容，在通斷電的瞬間產生很大的沖擊電流，影響電路的性能并最終導致電路故障。目前，電應力加速試驗主要針對器件級，如二極管[1]、傳感器[2]，DC模塊[3]等，針對板級以上電應力試驗方法研究較少。

目前，大部分基于退化數據的可靠性評估方法都只考慮產品具有單一退化量，而實際工程問題中，產品往往具有多個特征參數，在這種情況下，利用多個性能參數的退化數據對產品進行可靠性分析的工作就變得比較復雜了。解決多性能退化參數可靠性評估的方法主要有兩種：一是假設多個性能參數之間相互獨立，此時可以按照串聯(lián)系統(tǒng)的方法進行處理，這種方法具有簡單快速的優(yōu)點，缺點是分析不夠全面，評估結果誤差較大；二是充分考慮性能參數之間的相關性，如聯(lián)合概率密度法和狀態(tài)空間法[4-5]，這些方法的優(yōu)點是充分考慮了參數之間的相關性，缺點是當特征參數較多時計算量大、建模困難。

為解決上述問題，文中對基于多性能參數退化數據的可靠性評估方法進行研究。在電沖擊環(huán)境應力作用下，對某型雷達的18V20 kHz信號板進行加速退化試驗，對試驗結果進行深入剖析，總結出電沖擊下電路板退化的一般規(guī)律，之后將統(tǒng)計相關理論應用到高可靠長壽命電子裝備的可靠性分析中，設計出電子裝備可靠性分析的方法及步驟，并以試驗數據驗證了算法的有效性。

1 基于退化建模的可靠性分析方法

由于現代電子裝備高可靠長壽命的特點，一般在加速試驗中常有少量失效甚至沒有失效出現，傳統(tǒng)的方法已經不再適用高可靠長壽命電子裝備的可靠性分析。研究表明，大部分產品的失效最終可以追溯到產品潛在的性能退化過程，從產品失效機理出發(fā)，通過分析產品失效的相關性和退化規(guī)律，獲得充分的與壽命相關的性能信息，對加速退化試驗數據進行建模、分析，進而有效地外推得到額定工作應力下產品的可靠性[6-7]。

電子產品失效與退化量之間的精確關系使得能夠利用退化模型和退化數據對失效時間進行推斷和預測。建立退化量X(t)與失效時間分布和可靠度函數R(t)之間的聯(lián)系需要2個條件：描述性能退化過程的模型和失效閾值D．

設從產品總體中隨機抽取m個樣品，單個樣品的性能退化量隨時間的退化軌跡由d(t)，t>0描述，那么第i個樣品tj時刻監(jiān)測得到的退化數據：

Xij=d(tij，Θi)+εij

在目前的加速退化建模研究工作中，利用具有獨立增量的隨機過程模型描述產品的性能退化過程。對大部分具有性能退化的產品來說，退化過程可用以下模型來描述，其中前3種應用最為廣泛：

Wiener過程模型：X(t)=μt+σW(t)；

Gamma過程模型：ΔX(t)～Ga(vt，u)；

隨機變量模型：X(t)=g(t；Θ)

邊緣分布模型：X(t)～f(θ1(t)，…，θn(t))

Wiener過程模型能夠描述很多典型產品的性能退化過程，并且具有良好的統(tǒng)計分析特性，因此成為目前基于性能退化的可靠性建模與分析中最基本、應用最廣泛的模型之一。Gamma過程是非負、嚴格單調的隨機過程，可以很好的描述退化過程是嚴格單調的產品的性能退化過程，例如磨損過程、疲勞過程、腐蝕過程等。累計損傷模型適用于性能退化過程被認為是沖擊和微小損傷的累積導致的，因而也稱為沖擊模型。

設產品的失效閾值為D，產品的壽命T即為性能退化量首次達到D的時間，以遞增的退化過程為例，即為T=inf(t|X(t)>D}。

基于退化模型的可靠性分析算法步驟如下：

步驟1：收集試驗樣本在時間的性能退化數據，對于第i個樣品，退化數據為(tj，Xij)(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)；

步驟2：依據性能退化曲線的趨勢及單位時間退化量的變化趨勢，選擇適當的退化軌跡模型；

步驟3：利用采集到的性能退化數據估計性能退化模型的參數θ；

步驟4：給定失效閾值D，根據Step2中求得各樣本退化軌跡模型，利用T=inf{t|X(t)>D}外推求出樣本的壽命特征。

2 基于Copula函數的多性能參數退化數據可靠性評估方法

為全面、系統(tǒng)地分析現代電子產品的故障趨勢，其監(jiān)測的性能參數往往具有多個，這些性能參數間往往存在一定的相關性。Copula函數是一個使多維隨機變量的聯(lián)合分布函數和他們的一維邊緣分布函數聯(lián)系起來的函數，對于刻畫相依性，Copula函數具有許多優(yōu)良的性質。1959年Sklar定理中第一次提到了Copula這個概念，經過數十年的發(fā)展，Copula函數廣泛應用于風險管理[9]、金融投資[10]、和生物統(tǒng)計[11]領域。在剛剛起步的可靠性領域，Singpurwalla[12]、易文德[13]等研究了用Copula函數表征串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、串并聯(lián)混合系統(tǒng)、冷貯備系統(tǒng)部件之間的相依性；Sari[14]、潘正強[15]研究了用Copula函數描述兩個性能參數的相關性條件下的二元退化建模問題。文中將Copula函數與退化建模的可靠性評估方法相結合，提出了基于Copula函數的多性能參數退化數據可靠性評估方法。

2．1Copula函數的概念及性質

定義1 二維Copula是一個定義域為[0，1]2，值域為[0，1]的函數，即C：[0，1]2→[0，1]，且滿足下列條件：

(1)對任意的u，v∈[0，1]，

C(u，0)=C(0，v)=0，

C(u，1)=u，C(1，v)=v；

(2)對任意的u1，u2，v1，v2∈[0，1]，令u1≤u2，v1≤v2，

C(u2，v2)-C(u1，v2)-C(u2，v1)+C(u1，v1)≥0．

定義2 (Sklar定理)設聯(lián)合分布函數H具有邊緣F和G，存在一個Copula函數C，對任意的x，y∈R有

H(x，y)=C(F(x)，G(y))．

(1)

如果F、G連續(xù)，則C是唯一的；否則，C的唯一性在RanF×RandG上確定。相反，如果C是Copula函數，F、G是分布函數，那么式中函數H是一個聯(lián)合分布函數，它的邊緣分布為F、G．

構造Copula函數的方法有很多種，例如代數方法、根據聯(lián)合分布求邊緣分布的逆的方法、幾何方法、用Archimedean族[31]的生成元構造等。其中Archimedean Copula函數構造簡單、可變性強且具有很好的性質，接下來介紹幾種常用的Archimedean Copula．

(1)Frank Copula

Frank Copula是對稱的Archimedean Copula，定義為

(2)

式中α∈(-1，∞){0}。

(2)Clayton Copula

Clayton Copula是非對稱的Archimedean Copula，定義為

C(u，v)=max(u-α+v-α-1)-1/α，0)

(3)

式中α∈[-1，∞]{0}。

(3)Gumbel Copula

Gumbel Copula是非對稱的Archimedean Copula，定義為

C(u，v)=exp{-[(-lnu)α+(-lnv)α]1/α}

(4)

式中α∈[1，∞)。

2．2基于Copula函數的故障預測算法

二元退化是多性能參數退化的特殊情況，也是最基本最重要的情形，是研究多性能參數退化的基礎，所以本節(jié)考慮兩個性能參數時可靠性評估方法。選擇兩個具有代表性的性能參數，假定它們的退化軌跡可以用Wiener過程描述，相關性可以用Copula函數描述，具體方法如下所述。

設產品有m個特征退化參數X1，X2，…，Xm，它們反映了產品性能的不同特征，受試樣本量為n．對于樣品i，其在tk(k=1，2，…，p)時刻觀測到的m個特征參數值就是一個樣本值(x1i，x2i，…，xmi)T，它是一個m維向量。因而，n個受試樣本組成了m×n維性能參數矩陣。同時m個特征退化參數的失效閾值為Df=[Df1，Df2，…，Dfm]。

根據Wiener過程的性質

Δτ(tk)=tk-tk-1，j=1，…，m

則相應的概率分布函數為

(5)

式中：θj=(μj，σj)為待估計的模型參數。

考慮兩個性能參數，即m=2時，Fi1(t)、Fi2(t)分別為Xi1、Xi2的分布函數?？煽慷群瘮禐镽ij(t)=P(Tij>t)=1-Fij(t)，j=1，2，H(Xi1(t)，Xi2(t))為聯(lián)合分布函數。根據Sklar定理，存在一個Copula函數C，使得

H(Xi1(t)，Xi2(t))=C(Fi1(t)，Fi2(t))

由上式可得試驗數據的似然函數

(6)

式中θ=(μ1，σ1，μ2，σ2，α)為模型參數；c(Fi1(tk)，Fi2(tk))為參數為α的Copula函數概率密度函數。

根據式(6)利用MCMC方法進行參數估計，產品2個性能參數的失效閾值為Df1，Df2，則產品在額定工作應力下的可靠度函數為

R(t)=P(X1(t)≤Df1，X2(t)≤Df2)

=C(F1(t，Df1，θ1)，F2(t，Df2，θ2))

(7)

當兩個性能參數相互獨立時，產品的可靠度函數為

R(t)=R1(t)·R2(t)

由式(7)即可對產品的故障時間和趨勢做出預測，得到產品的各種壽命特征值。

3 實例分析

以電沖擊作用下某型雷達18V20 kHz信號產生及放大電路的加速退化試驗數據為例。試驗中共安排了8個樣本，每24 h檢測1次數據，檢測到2 040 h有性能參數出現明顯的退化，試驗終止。圖1為各參數的試驗數據。

該電路的功能為信號產生及放大，為下一級提供18V 20 kHz的正弦信號，實際使用時該信號可又有一定的裕度。對于正弦信號，結合工程上判斷及給出失效閾值的習慣，可以有直流分量、幅度、頻率、相位4個特征值。根據其在裝備系統(tǒng)中發(fā)揮的作用，相位不予考慮，主要衡量其余3個特征量。觀察試驗數據，在電沖擊的作用下，經過3個月的時間，頻率參數有了明顯的退化過程，幅度參數退化不明顯，而偏移量參數沒有明顯的規(guī)律，所以這里選擇幅值參數和頻率參數作為退化特征參數進行數據處理。

由圖1可以看出試驗數據沒有明顯的離群點，頻率試驗數據中最上方的樣本數據曲線無論從數值上還是退化趨勢上與其他樣本有明顯的區(qū)別，同時發(fā)現此樣本對應的幅值試驗數據最下方的樣本曲線，也存在離群現象，所以將此樣本的試驗數據做剔除處理。

(a)

(b)

(c)

(d)

接下來對幅值參數和頻率參數的退化數據進行Wiener過程辨識，根據Wiener過程的性質ΔΧ=X(t+Δt)-X(t)～N(μΔt，σ2Δt)，對單位時間內的退化量進行擬合優(yōu)度檢驗，退化數據的直方圖和對數據服從正態(tài)分布的擬合優(yōu)度檢驗效果圖如圖2所示，從分布假設概率圖可以看出數據基本分布在一條直線上，并且利用Lilliefors檢驗法的結果為0，這些都表明試驗數據的單位時間變化量服從正態(tài)分布，即幅值與頻率的退化過程符合Wiener過程。

(a)幅值數據正態(tài)分布擬合優(yōu)度檢驗

(b)頻率數據正態(tài)分布擬合優(yōu)度檢驗

(c)幅值數據直方圖

(d)頻率數據直方圖

由于Frank Copula具有良好的對稱性，這里考慮使用Frank Copula來描述幅值與頻率退化數據的相關性，其中Copula參數α與時間無關，利用MCMC方法估計式(6)中的模型參數θ．

利用Winbugs軟件實現MCMC方法的Gibbs抽樣。所有參數均為無信息先驗分布，設置迭代次數為50 000次，參數θ=(μ1，σ1，μ2，σ2，α)估計的均值、標準差、MCMC誤差以及分位點如表1所示，圖3為參數的后驗密度函數的核估計。

該型雷達技術勤務手冊中規(guī)定該電路板輸出信號的標準幅值為9 V，頻率為20 kHz，手冊中并未給出其失效標準，因此根據經驗將失效閾值定位標準值的80%～120%，即幅值的失效閾值為7．2 V和10．8 V，頻率的失效閾值為24 kHz．

圖4為單獨考慮幅值和頻率性能參數時電路板的可靠度曲線。將參數的估計值與兩個性能參數的失效閾值代入公式，得到電路板Frank Copula相關時的可靠度曲線如圖5所示，并與2個性能參數獨立情形下的可靠度曲線做了對比。

圖3參數驗后分布概率密度分布圖

表1 沖擊模型模型參數估計結果

圖4 幅值、頻率可靠度曲線

圖5 綜合可靠度曲線對比圖

由上述分析及圖5可以得到，同一時刻，不考慮幅值與頻率相關時的可靠度比考慮兩者相關時小，表明有多個性能參數發(fā)生退化時，同時考慮多個性能退化參數是十分必要的，文中提出的Copula函數有效地綜合了多個性能參數的變化信息進而實現了多性能參數退化數據的可靠性分析。當t=20 000 h時的可靠度R(20 000)=0．993 1，這表明在電沖擊作用下，有超過99．31%的電路板樣本壽命要超過20 000 h，平均壽命為43 273 h．

另外，根據“通用雷達裝備故障分析與仿真系統(tǒng)”對該電路板的可靠性分析預計，得到其平均壽命為6.937 1×105h，這與利用Copula相關所求的特征壽命存在一個數量級的誤差。進過深入分析，誤差主要來源以下幾個方面：

(1)試驗中所用的元器件皆為民用級，在質量上與軍用級存在一定的差距；

(2)試驗中雷達電路板的輸入電壓、溫濕度皆為正常工作應力，但電沖擊施加頻率為0．2 Hz，遠遠高于平時使用的頻率，這也說明了電沖擊在影響電路板壽命上的起到了很大的作用；

(3)試驗的隨機性。

4 結束語

針對多性能參數下雷達板級電路可靠性分析中模型復雜、相關性差的不足，將Copula函數理論引入到基于Wiener過程隨機建模的可靠性評估中，利用Wiener過程描述不同性能參數的退化過程，利用Copula函數刻畫了多性能參數的相關性，從而解決了多性能參數退化數據的雷達電路板可靠性分析問題。電路板的兩個性能參數退化規(guī)律都符合Wiener過程，進而實現了基于Wiener過程進行建模從而得到電路板壽命特征，但文中所提出的模型并不局限于此，若兩個性能參數退化過程非負、嚴格單調時，可以用Gamma過程描述時，或者一個性能參數退化過程為Wiener過程，另一個為Gamma過程，文中模型同樣適用。這是用Copula函數描述相關性的一大優(yōu)點。

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作者簡介：李偉(1988—)，碩士研究生，研究方向為武器系統(tǒng)性能檢測與故障診斷、可靠性。E-mail：evenstar1213@sina.com