申正義,王晴晴,許 誠,張 勇

(1.空軍預(yù)警學院預(yù)警模擬訓練中心,湖北武漢430019;2.空軍預(yù)警學院圖書館,湖北武漢430019)

0 引言

單站無源定位技術(shù)近年來已成為各軍事強國的一個研究熱點。僅利用單個固定觀測站接收運動目標自身輻射的信號來估計其位置和運動狀態(tài)的過程稱為固定單站無源定位與跟蹤。固定單站無源定位系統(tǒng)本身并不向外輻射電磁波,只需一個信號接收站,具有設(shè)備簡單、受環(huán)境影響小、隱蔽性強和作用距離遠等優(yōu)點[1-3]。

利用空頻域信息實現(xiàn)固定單站無源定位,是一種快速高精度的定位方法。但參數(shù)測量都帶有誤差,因此除了要有高精度的參數(shù)測量技術(shù)外,還需要研究高性能的跟蹤濾波算法,以便最大限度地利用觀測量提供的目標運動信息,同時也可減輕對參數(shù)測量技術(shù)的壓力。固定單站無源定位目標跟蹤是典型的非線性濾波過程,常見的算法主要是擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)和無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)。EKF和UKF算法均存在濾波性能受初始誤差影響較大、系統(tǒng)非線性非高斯特性較強時濾波性能會急劇下降的問題。然而,固定單站無源定位跟蹤是一個典型的非線性狀態(tài)估計問題,且在實際應(yīng)用中根本不存在標準的高斯白噪聲,粒子濾波(Particle Filter,PF)的出現(xiàn)為解決這一問題提供了有效方法。2000年以來,粒子濾波得到了快速發(fā)展,許多改進算法相繼被提出。從改進重要密度函數(shù)選取的角度出發(fā),文獻[4]和文獻[5]分別提出了擴展卡爾曼粒子濾波算法(Extended Kalman Particle Filter,EKPF)和無跡粒子濾波(Unscented Particle Filter,UPF)算法。EKPF和UPF算法的本質(zhì)均是在重要性采樣階段用EKF或UKF算法對每個粒子進行更新,這無疑加大了算法的運算量,使算法的實時性變差。為此本文提出一種改進的UPF算法,對傳統(tǒng)的UPF算法在采用超球面單形采樣策略、用卡爾曼濾波代替狀態(tài)模型的Sigma點采樣、對部分粒子間隔進行UKF采樣三個方面進行了改進,在保證算法濾波性能的前提下有效降低運算量。

1 固定單站無源定位跟蹤系統(tǒng)模型

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)模型

對于單個固定觀測站對空中運動目標輻射源進行定位的情形,其定位模型可采用以觀測站為原點建立的直角坐標系來描述,如圖1所示,T(x,y)為目標輻射源相對位置,v為目標輻射源運動速度矢量,?x,?y為目標運動速度矢量v在x,y軸上的分量,r為斜距,β為輻射源信號方向角[6]。

圖1 二維平面固定單站無源定位模型

目標輻射源多處于巡航狀態(tài),特別是相距觀測站較遠時,其運動狀態(tài)可視為勻速直線運動,外加一個擾動 。 給定狀態(tài)向量,其中x,y為目標位置,為目標速度,則在二維平面直角坐標系下目標狀態(tài)向量隨時間演化的狀態(tài)模型可寫為

式中,W k為系統(tǒng)的擾動噪聲,Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

1.2 系統(tǒng)觀測模型

本文擬采用基于角度β、角度變化率、多普勒頻率變化率等信息為觀測量進行固定單站無源目標定位的方法[7]。根據(jù)定位原理,目標狀態(tài)向量與觀測量之間的關(guān)系如下：

式中,λ為輻射源信號的波長。

上述狀態(tài)模型為線性的,而觀測模型為非線性的,因此需采用非線性濾波算法對目標狀態(tài)進行遞推估計,以實現(xiàn)固定單觀測站對運動目標的無源定位與跟蹤。

2 粒子濾波算法

2.1 標準粒子濾波算法

粒子濾波是以非參數(shù)化的蒙特卡羅近似為特色的一種算法,其核心思想是用大量離散的隨機采樣點(粒子)及其相應(yīng)權(quán)值來近似系統(tǒng)變量的后驗概率密度函數(shù),以樣本均值代替積分運算,從而獲得狀態(tài)變量的最小方差估計,這些粒子根據(jù)貝葉斯準則進行適當?shù)募訖?quán)和遞歸傳播。實際上直接從后驗分布采樣是很困難的,通常引入一個容易獲取樣本的重要密度函數(shù),標準PF算法選擇先驗概率密度作為重要密度函數(shù),沒有充分考慮當前時刻的觀測值,存在粒子退化現(xiàn)象[8]。

2.2 基于重要密度函數(shù)選擇的改進粒子濾波算法

EKPF和UPF算法從改進重要密度函數(shù)的選擇入手,分別利用EKF和UKF運算對每個粒子進行更新,將最后得到的近似后驗密度作為重要密度函數(shù),引入了當前時刻的最新觀測值,在一定程度上提高了算法的估計精度[4-5]。對于具有高斯特性的狀態(tài)噪聲和觀測噪聲的弱非線性系統(tǒng),EKPF能夠較好地克服經(jīng)典粒子濾波存在的問題,但在很多情況下,動態(tài)系統(tǒng)具有強非線性,一階線性化近似之后會導(dǎo)致很大的模型誤差,從而使EKF的估計性能迅速下降甚至造成濾波發(fā)散。UPF算法采用UKF運算得到更優(yōu)的重要密度函數(shù),由于UKF采用UT變換,對均值和協(xié)方差的計算可以精確到真實后驗分布的二階矩,使得粒子的分布更加接近狀態(tài)的后驗概率分布,濾波精度優(yōu)于UKF和EKPF算法。

UPF算法的具體實現(xiàn)步驟如下：

(1)初始化采樣

(2)計算濾波估計值和方差

(3)重要性采樣

(4)重要性權(quán)值計算

根據(jù)式(5)計算粒子的重要性權(quán)值,并進行歸一化。

(5)重采樣

計算Neff,若Neff＜Nth,則進行重采樣,得到

(6)狀態(tài)估計

3 改進的UPF算法

3.1 改進思路

與EKPF算法類似,UPF算法的本質(zhì)仍是在重要性采樣階段用UKF算法對每個粒子進行更新,這種方法引入了當前時刻新的觀測值,從而可以得到較高的估計精度,但由于UKF的計算量很大程度上取決于無跡變換(UT)中的采樣點個數(shù),因此對于高維系統(tǒng),UPF的計算量會隨著采樣點的增加而變得龐大,使算法的實時性相對于UKF和EKPF算法更差。為此,本文通過對UPF算法作如下改進,提出一種改進的UPF算法：

(1)在UPF算法第(2)步,借鑒簡化UKF算法的思想,采用超球面單形采樣策略[9],相對于采用對稱采樣的標準UKF算法有效減少了需要采樣的Sigma點數(shù)。

(2)在UPF算法第(2)步,針對式(1)所示的固定單站無源定位目標跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)模型的線性特性,直接用卡爾曼濾波代替狀態(tài)方程的UT變換和加權(quán)擬合,對狀態(tài)以及狀態(tài)估計的誤差協(xié)方差陣進行一步預(yù)測,進一步簡化UPF中的UKF運算[10]。

(3)在UPF算法第(2)步只間隔計算N/4的粒子的濾波估計值和方差,在第(3)步進行重要性采樣時,只從重要密度函數(shù)中采樣產(chǎn)生N/4的粒子,其余3N/4的粒子仍采用標準粒子算法的先驗概率分布作為重要密度函數(shù)進行采樣更新,既增加了粒子的多樣性,又降低了算法的運算量。

經(jīng)過上述改進后,UPF算法中UKF采樣的Sigma點數(shù)量為9(2L+1,L為狀態(tài)模型的維數(shù)),改進算法中運用的簡化UKF方法的Sigma點數(shù)量為6(L+2),且直接用KF代替狀態(tài)方程的Sigma點采樣;另一方面,改進算法相對于標準粒子濾波算法只有N/4的粒子采用了UKF進行重要性采樣更新,因此對于高階系統(tǒng),改進算法的計算量相對于UPF大大減小,實時性得到有效提高。此外,改進算法既考慮了當前時刻的觀測值、先驗概率對后驗概率分布的影響,又增加了粒子的多樣性,使粒子集更加逼近真實的后驗概率密度函數(shù),從而使濾波精度能夠得到保持。

3.2 算法運算步驟

基于超球面單形采樣的改進UPF算法的運算步驟如下：

第一步 初始化粒子及其權(quán)值

(1)對于k=1,2,…,+∞,計算預(yù)測值和預(yù)測協(xié)方差陣：

(3)根據(jù)預(yù)測的狀態(tài)變量和觀測矢量的樣本點計算Kalman增益矩陣：

(4)根據(jù)k時刻的觀測值對狀態(tài)變量及其協(xié)方差陣濾波更新：

第三步 重要性采樣

第四步 重要性權(quán)值計算

按式(5)計算粒子的重要性權(quán)值,并歸一化。

第五步 重采樣

按式(6)計算Neff,若Neff＜Nth,則進行重采樣,得到新的粒子集

第六步 狀態(tài)估計

按照式(7)計算狀態(tài)估計值。

4 算法性能仿真驗證

4.1 仿真條件

假定觀測站位置為(0,0),目標的初始位置為(50 km,220 km),以(300 m/s,50 m/s)的速度作勻速直線運動,目標輻射源信號波長λ=30 mm,觀測間隔T=1 s,觀測時間為120 s。為比較上述幾種濾波算法的定位跟蹤效果,采用相對位置誤差(RPE)來評價算法的濾波性能。

式中,(xtrue,ytrue)為目標位置真實值為目標位置的估計值。

本文將傳統(tǒng)的EKPF、UPF算法以及本文提出的改進UPF算法應(yīng)用于固定單站無源定位目標跟蹤系統(tǒng)中,在初始值為真值或測量值時,選擇觀測量的測量誤差為(2,0.4,1)和(5,0.8,2),測量誤差單位為(mrad,mrad/s,Hz/s),分別進行100次蒙特卡羅實驗,考察3種算法的濾波性能和濾波耗時。在3種算法的仿真中,均取粒子數(shù)N=200,重采樣門限Nth=66。

4.2 仿真結(jié)果分析

分別在四種不同條件下對3種算法的濾波性能進行100次蒙特卡羅實驗,得到3種算法的收斂次數(shù)和單次濾波耗時如表1所示,仿真中RPE＜5%時認為算法收斂1次。

表1 100次實驗中各算法收斂次數(shù)及濾波耗時對比

為了提供更直觀的濾波性能比較,圖2和圖3分別給出了3種算法在4種條件下RPE＜5%的統(tǒng)計平均曲線。

從以上仿真結(jié)果中可以看出,3種算法在固定單站無源定位跟蹤系統(tǒng)中均具有良好的適應(yīng)性。在相同條件下,UPF及其改進算法的濾波性能明顯優(yōu)于EKPF算法,這是因為EKPF算法采用EKF運算進行重要密度采樣,存在線性化近似引起的模型誤差,而UPF算法采用基于UT變換的UKF運算進行重要密度采樣,可以更有效地應(yīng)對系統(tǒng)模型的非線性和噪聲為非高斯分布等因素。從仿真結(jié)果還可以看出,初始值為真值時,在濾波初始階段改進算法的濾波精度略遜于UPF,但隨著濾波時間的積累,兩者的濾波曲線基本重合;初始值為測量值時,改進算法與UPF算法的濾波性能基本相當,說明改進算法基本保持了原算法的濾波精度。

圖2 初始值為真值時3種算法的性能比較

圖3 初始值為測量值時3種算法的RPE曲線

在濾波耗時方面,由于UKF算法的運算量本身大于EKF,因此UPF算法的運算時間相對于EKPF算法也明顯增大,使算法的實時性變差。本文提出的改進UPF算法在重要密度函數(shù)采樣階段進行UKF運算時,針對固定單站無源定位跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)模型的線性特性直接用KF代替狀態(tài)模型的Sigma采樣,并采用超球面單形采樣策略,使Sigma點數(shù)量少于傳統(tǒng)的UKF,且只有N/4的粒子進行了UKF采樣更新,既增加了粒子的多樣性,使粒子分布更加合理,抑制了粒子退化現(xiàn)象,又有效降低了算法的運算量。因此改進算法的運算效率優(yōu)于UPF,平均運算時間少于UPF。

需要注意的是,從仿真結(jié)果看,改進的UPF算法盡管運算量大幅下降,但其濾波耗時仍較高,這是由于Matlab仿真時N個粒子的運算是順序執(zhí)行的。實際工程應(yīng)用中,硬件上實現(xiàn)粒子濾波運算時N個粒子的處理是并行的,且隨著高速計算機的出現(xiàn),運算速度大幅提高,因此改進的UPF算法可滿足系統(tǒng)的實時性要求,適合固定單站無源定位跟蹤系統(tǒng)。

5 結(jié)束語

本文在介紹以角度、角度變化率、多普勒頻率變化率為觀測量的固定單站無源定位與跟蹤原理的基礎(chǔ)上,引入EKPF和UPF算法對定位結(jié)果進行濾波處理,并針對UPF算法運算量大、實時性差的問題,對其進行了3個方面的改進,提出了改進的UPF算法。理論分析和仿真結(jié)果表明,基于重要密度采樣改進的粒子濾波算法對固定單站無源定位跟蹤系統(tǒng)具有較好的濾波估計能力,但由于UPF算法需對每個粒子進行UKF濾波預(yù)測更新,運算量大幅增加。改進的UPF算法通過用KF代替狀態(tài)模型的Sigma采樣、采用超球面單形采樣策略、只對N/4的粒子進行UKF采樣更新三個方面的改進,可用相當于EKPF的運算效率得到UPF的濾波精度,有效提高了算法的實時性,具有較好的實用和推廣價值。

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