陳文峰,李少東,楊 軍

(空軍預(yù)警學(xué)院,湖北武漢430019)

0 引言

作為一種能夠在遠(yuǎn)距離、全天候條件下對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)獲得高分辨圖像的技術(shù),逆合成孔徑雷達(dá)(ISAR)成像技術(shù)在遠(yuǎn)程預(yù)警、目標(biāo)識(shí)別及空中管制等軍事和民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

ISAR通過(guò)發(fā)射大帶寬信號(hào)獲得高分辨率距離像,利用目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)的轉(zhuǎn)動(dòng)獲得方位向高分辨率。然而,雷達(dá)參數(shù)限制了方位向成像分辨率。將壓縮感知(CS)理論[1]應(yīng)用于ISAR成像中能夠獲得方位向高分辨。文獻(xiàn)[2]利用正交匹配追蹤(OMP)算法提出一種基于統(tǒng)計(jì)CS的短孔徑成像方法,該方法雖然獲得了方位向高分辨,但是OMP需要預(yù)知信號(hào)的稀疏度;文獻(xiàn)[3]在低信噪比下提出了一種改進(jìn)CS高分辨ISAR成像方法,但是該方法迭代地利用加權(quán)1-范數(shù)進(jìn)行重構(gòu),效率較低。在ISAR距離向,文獻(xiàn)[4]提出了基于CS的LFM信號(hào)脈沖壓縮實(shí)現(xiàn)算法,能夠在不降低距離分辨率的同時(shí)達(dá)到降低副瓣的目的,同時(shí)能保留回波信號(hào)的相位歷程。

距離-多普勒(Range Doppler,RD)算法成像時(shí)存在方位向分辨率低的問(wèn)題,而基于OMP的ISAR成像方法雖然可獲得方位向的高分辨,但需要預(yù)知稀疏度。為了突破這一限制,本文基于線性Bregman迭代(LBI)算法,實(shí)現(xiàn)ISAR方位向高分辨。首先將其推廣到復(fù)數(shù)域,然后對(duì)LBI進(jìn)行了理論分析,并與OMP對(duì)比分析了LBI的綜合性能,最后將LBI運(yùn)用于ISAR方位向成像,取得了較好的成像效果,仿真驗(yàn)證了LBI具有方位向高分辨能力。

1 基于CS的ISAR成像

ISAR成像中目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)可分為平動(dòng)分量和轉(zhuǎn)動(dòng)分量。假設(shè)目標(biāo)的平動(dòng)分量被完全補(bǔ)償,可利用轉(zhuǎn)動(dòng)分量進(jìn)行成像,目標(biāo)可視為在x-y二維平面繞自身重心原點(diǎn)o以角速度ω勻速逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)臺(tái)成像模型,如圖1所示。

圖1 雷達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)成像模型

方位向分辨率依靠目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)的轉(zhuǎn)動(dòng)獲得,不同的方位向散射點(diǎn)對(duì)應(yīng)的多普勒不同。當(dāng)目標(biāo)以逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí),目標(biāo)上各散射點(diǎn)的多普勒值是不同的,只要多普勒分辨率足夠高,即可確定各散射點(diǎn)的方位向位置。

設(shè)雷達(dá)距目標(biāo)坐標(biāo)系原點(diǎn)o的距離為R o,目標(biāo)上某一散射點(diǎn)P在初始時(shí)刻位于目標(biāo)直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(x P,y P),散射點(diǎn)P到目標(biāo)坐標(biāo)系原點(diǎn)o的距離為P點(diǎn)初始相位為θ,觀測(cè)時(shí)間為T(mén) a。t P時(shí)刻P點(diǎn)到雷達(dá)的瞬時(shí)距離為

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻信號(hào)

式中,rect(·)為矩形函數(shù),fc為載頻,Tp為脈寬,k r為調(diào)頻率,t f=t-n T為距離向快時(shí)間,t m=n T為方位向慢時(shí)間,T為脈沖重復(fù)周期。散射點(diǎn)P的回波為

式中,σ為P點(diǎn)的散射系數(shù),c為光速。距離向脈壓后得到[5]

式中,λ為波長(zhǎng)。此時(shí)即實(shí)現(xiàn)了距離向分辨,若不考慮越距離單元走動(dòng),可將式(4)近似為

式中,多普勒頻率fd=2ωx P/λ。假設(shè)某個(gè)距離單元內(nèi)有K個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn),則此單元的回波信號(hào)表示為

式中,f k為第k個(gè)散射點(diǎn)的多普勒頻率。將式(6)變換到方位向頻域,即沿方位向作傅里葉變換,便可實(shí)現(xiàn)方位向分辨：

上述過(guò)程即為RD成像算法,受sinc函數(shù)的影響,其方位向分辨率較低。將CS應(yīng)用到ISAR成像不但能夠獲得方位向的高分辨,而且能夠減小旁瓣和增強(qiáng)目標(biāo)細(xì)節(jié)信息。

定義慢時(shí)間分辨率為Δt以及多普勒頻率分辨率為Δfd,假設(shè)脈沖重復(fù)頻率為fr,則離散化慢時(shí)間序列可以表示為t m=[1∶M]T·Δt,Δt=1/fr,其中M=T/Δt表示脈沖數(shù)。假設(shè)多普勒域范圍[-fr/2,fr/2],位于各多普勒單元散射點(diǎn)的強(qiáng)度用向量θ表示：

多普勒序列為fd=[1∶Q]·Δfd-fr/2,Q=fr/Δfd,其中Q為多普勒單元數(shù)。方位向稀疏基可構(gòu)造為[6]

此時(shí)可以在相同距離單元不同方位向構(gòu)建如下CS模型：

式中,Φ為量測(cè)矩陣,Θ=ΦΨ為M×N的感知矩陣。文獻(xiàn)[7]證明了當(dāng)感知矩陣Θ滿足約束等距性(RIP)條件時(shí),信號(hào)可以從量測(cè)值y中精確重構(gòu)出來(lái)。此時(shí)可以利用CS重構(gòu)算法求解,下面分析本文所用重構(gòu)算法。

2 線性Bregman迭代

由于M＜N,式(10)是一個(gè)NP難的問(wèn)題。對(duì)于滿足特定性質(zhì)的矩陣,式(10)和(11)等價(jià)[7],從而將帶約束的0-范數(shù)最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶約束的1-范數(shù)最小化問(wèn)題。

帶約束的1-范數(shù)最小化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題,進(jìn)而可以利用傳統(tǒng)的線性規(guī)劃方法求解,但是這些方法對(duì)大規(guī)模的感知矩陣并不適用,因此將基追蹤問(wèn)題式(11)轉(zhuǎn)化為以下正則化形式：

式中,μ＞0為正則化參數(shù)。轉(zhuǎn)化為正則化形式的優(yōu)勢(shì)在于：通過(guò)正則化項(xiàng)‖θ‖1控制的稀疏性,通過(guò)保真項(xiàng)‖y-Θθ‖2/2控制^θ的誤差,這樣就同時(shí)保證了解的稀疏性和準(zhǔn)確性,而且能較好地克服噪聲的影響。

文獻(xiàn)[8]利用 ‖θ‖1的Bregman距離代替‖θ‖1提出如下Bregman迭代正則化方法求解式(12)：

式中,向量p∈?J(v)為J在點(diǎn)v的偏微分中的一個(gè)次梯度。

式中,θ0=v0=0,μ＞0為正則化參數(shù),δ＞0為步長(zhǎng)參數(shù),Tμ(·)為收縮算子[10]。

LBI算法的步驟如下：

Step 3 輸出迭代結(jié)果θk。

在式(15)的迭代運(yùn)算v k+1=v k+ΘT(y-Θθk)中,v k+1的更新通過(guò)感知矩陣的轉(zhuǎn)置ΘT和由y=Θθ約束產(chǎn)生的誤差y-Θθk相乘后加上v k實(shí)現(xiàn),這個(gè)可以理解為v k的更新是通過(guò)求解等式Θθ=y-Θθk的近似解。當(dāng)ΘΘT=I N×N時(shí),ΘT(y-是等式的最小2范數(shù)解。在式(15)的運(yùn)算θk+1=δTμ(v k+1)中,利用收縮算子Tμ對(duì)v k+1閾值收縮,其中正則化參數(shù)μ可以看作是v k+1的收縮閾值,v k+1通過(guò)收縮算子Tμ的迭代收縮和步長(zhǎng)參數(shù)δ共同控制得到稀疏解向量θk+1。

需要特別注意的是,正則化參數(shù)μ為實(shí)數(shù),而ISAR回波為復(fù)數(shù)。因此需要將LBI推廣至復(fù)數(shù),因此需將稀疏信號(hào)θ,感知矩陣Θ和量測(cè)值y進(jìn)行如下變換[11]：

式中,Re和Im分別表示實(shí)部和虛部。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 算法性能比較

為驗(yàn)證LBI在壓縮感知稀疏信號(hào)重構(gòu)中的重構(gòu)性能和抗噪性能,和O MP進(jìn)行比較。感知矩陣Θ是128×256維的隨機(jī)高斯矩陣,選擇μ=1×104,δ=7×10-4,θ是256×1維的隨機(jī)幅度的稀疏復(fù)信號(hào),θ的稀疏度即非零個(gè)數(shù)K=10。

仿真1：算法的可行性與有效性

本仿真主要驗(yàn)證算法的可行性與有效性,停止準(zhǔn)則為‖Θθk-y‖/‖y‖≤10-7,重構(gòu)相對(duì)誤差定義為重構(gòu)結(jié)果如圖2所示。

圖2 重構(gòu)結(jié)果比較

仿真結(jié)果中O MP的重構(gòu)相對(duì)誤差errorOMP=2.53×10-7,LBI的重構(gòu)相對(duì)誤差errorLBI=1.29×10-7,可以看出兩種算法都能有效地重構(gòu)出原始信號(hào),驗(yàn)證了LBI的可行性與有效性。

仿真2：重構(gòu)精度與采樣率的關(guān)系

本仿真主要檢驗(yàn)采樣率對(duì)兩種算法重構(gòu)精度的影響,采樣率定義為量測(cè)維度與信號(hào)維度的比值,Monte Carlo仿真次數(shù)為100次,仿真結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出,當(dāng)采樣率較小時(shí)兩種方法都不能有效重構(gòu)出信號(hào),隨著采樣率的增加,重構(gòu)精度逐漸增大,直至能夠精確重構(gòu)出原始信號(hào)。LBI比OMP對(duì)采樣率的要求更低,能夠在更低的采樣率下精確重構(gòu)信號(hào)。

圖3 重構(gòu)精度與采樣率的關(guān)系

仿真3：重構(gòu)精度與稀疏度的關(guān)系

本仿真主要檢驗(yàn)稀疏度對(duì)兩種算法重構(gòu)精度的影響,Monte Carlo仿真次數(shù)為100次,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 重構(gòu)精度與稀疏度的關(guān)系

從圖4可以看出,兩種算法在稀疏度較小時(shí)都能有效地重構(gòu)出原始信號(hào),隨著稀疏度的增大重構(gòu)精度都有所下降,LBI相對(duì)于OMP能夠在更大的稀疏度范圍內(nèi)重構(gòu)出原始信號(hào)。

綜合以上仿真,LBI是整體性能優(yōu)于OMP的有效CS重構(gòu)算法。為在ISAR成像中獲得更高的方位向分辨率和成像效果,選擇LBI作為ISAR重構(gòu)算法。下面通過(guò)仿真驗(yàn)證LBI在ISAR方位向成像中的性能。

3.2 ISAR成像仿真與分析

為驗(yàn)證利用LBI的ISAR成像性能,本節(jié)對(duì)34點(diǎn)飛機(jī)模型進(jìn)行成像仿真。仿真參數(shù)設(shè)置如下：發(fā)射信號(hào)為L(zhǎng)FM信號(hào),載頻為10 GHz,發(fā)射脈沖時(shí)寬為10μs,信號(hào)帶寬為400 MHz,采樣率為800 MHz,脈沖重復(fù)頻率為200 Hz。假設(shè)飛機(jī)勻速飛行,速度為300 m/s,觀測(cè)距離門(mén)參考位置50 000 m。34點(diǎn)飛機(jī)散射模型如圖5所示。仿真中,脈沖回波數(shù)為256個(gè)。為驗(yàn)證LBI的有效性與成像效果,分別與RD和OMP成像結(jié)果比較。三種算法的成像結(jié)果如圖6,7和8所示。

圖5 目標(biāo)模型

圖6 RD成像結(jié)果

圖7 OMP成像結(jié)果

圖8 LBI成像結(jié)果

從圖中可以看出,RD成像結(jié)果聚焦性較差,方位向分辨率較低,且方位向副瓣較高,機(jī)頭與機(jī)尾方位向距離較近的散射點(diǎn)不能分辨;OMP成像結(jié)果方位向分辨率明顯好于RD結(jié)果,能夠分辨機(jī)頭與機(jī)尾方位向距離較近的散射點(diǎn),但聚集性不好;LBI成像結(jié)果比OMP成像結(jié)果的聚焦性更好,方位向分辨率更高,且明顯地降低了副瓣,成像效果最好,從而驗(yàn)證了LBI的有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)RD算法方位向分辨率低,OMP算法需要預(yù)知稀疏度,提出了一種利用LBI的方位向高分辨的ISAR成像算法,該算法實(shí)現(xiàn)了方位高分辨,仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性,為基于CS的ISAR方位向成像提供了一種較好的方法。但本文算法運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng),下一步研究的重點(diǎn)是減小算法的復(fù)雜度。

[1]DONOHO D L.Compressed Sensing[J].IEEE Trans on Information Theory,2006,52(4)：1289-1306.

[2]李寧,汪玲.基于統(tǒng)計(jì)壓縮感知的短孔徑ISAR成像方法研究[J].中國(guó)雷達(dá),2011(2)：24-28.

[3]張龍,張磊,邢孟道.一種基于改進(jìn)壓縮感知的低信噪比ISAR高分辨成像方法[J].電子信息學(xué)報(bào),2011,32(9)：2263-2267.

[4]李少東,裴文炯,楊軍.基于CS的LFM信號(hào)脈沖壓縮實(shí)現(xiàn)算法研究[J].雷達(dá)科學(xué)與技術(shù),2013,11(3)：295-301. LI Shao-dong,PEI Wen-jiong,YANG Jun.Pulse Compression Implementation of LFM Signal via CS[J].Radar Science and Technology,2013,11(3)：295-301.(in Chinese)

[5]ZHANG L,XING M D,QIU C W,et al.Achieving Higher Resolution ISAR Imaging with Limited Pulses via Compressed Sampling[J].IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters,2009,6(3)：567-571.

[6]李少東,楊軍,馬曉巖.基于壓縮感知的ISAR高分辨成像算法[J].通信學(xué)報(bào),2013,34(9)：150-157.

[7]CANDES E,TAO T.Decoding by Linear Programming[J].IEEE Trans on Information Theory,2005,51(12)：4203-4215.

[8]YIN W,OSHER S,GOLDFARB D,et al.Bregman Iterative Algorithms for l1-Minimization with Applications to Compressed Sensing[J].SIAM Journal on Imaging Sciences,2008,1(1)：143-168.

[9]BREGMAN L M.The Relaxation Method of Finding the Common Point of Convex Sets and Its Application to the Solution of Problems in Convex Programming[J].USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics,1967,7(3)：200-217.

[10]DONOHO D L.De-Noising by Soft-Thresholding[J].IEEE Trans on Information Theory,1995,41(3)：613-627.

[11]ENDER H G.On Compressive Sensing Applied to Radar[J].Signal Processing,2010,90(5)：1402-1414.