陳 潔

（濟寧學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 曲阜 273155）

閾值分紅下的稀疏風(fēng)險模型

陳 潔

（濟寧學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 曲阜 273155）

考慮帶閾值分紅的稀疏風(fēng)險模型．在該模型下,我們得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分-微分方程,并研究了當(dāng)索賠額為特殊假設(shè)時,積分- 微分方程的Laplace變換的解．

稀疏；閾值分紅；期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；積分-微分方程

1 模型介紹

保險精算學(xué)的破產(chǎn)理論主要從定量的角度研究保險公司經(jīng)營的安全性.目前,由于分紅保險為客戶有效規(guī)避風(fēng)險、獲得最大收益提供了良好機會.因此,紅利與破產(chǎn)問題便成為很多學(xué)者研究的熱點問題,例如文獻[1]-[4].紅利與破產(chǎn)問題是指在風(fēng)險模型中引入一個紅利界, 只要保險公司的盈余在這個紅利界以下便不發(fā)放紅利,若盈余在紅利界以上,每單位時間便發(fā)放一定量的紅利.本文是在文獻[5]的基礎(chǔ)上加入了閾值分紅,建立了閾值分紅下的稀疏風(fēng)險模型,并得到該模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分微分方程,給出了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的特殊解.

定義1 設(shè)u≥0,給定完備空間（Ω，F(xiàn)，P）.令

其中：u≥0, 為c＞0保險公司的初始盈余；{Nt, t≥0}, {, t≥0}分別表示（O,t]內(nèi)保險公司收到的保單數(shù)及發(fā)生的理賠次數(shù)；Xi表示第i張保單收取的保費,Yi表示第i次的索賠.記為保險公司在時刻i的總索賠.

對模型(1.1)作假設(shè)：

1){Xi, i≥1},{Yi, i≥1}是獨立同分布的取值非負的隨機變量序列,分布為F( x)和G( y)；

2){Nt, t≥0}是參數(shù)為λ＞0的泊松過程,{, t≥0}為{Nt, t≥0}的P-稀疏過程,{, t≥0}為參數(shù)為λp, 0＜p＜1的泊松過程；

3 ）{Xi, i≥1}與{Nt, t≥0}相互獨立,{Yi, i≥1}與{, t≥0}相互獨立,{Xi, i≥1}與{Yi, i≥1}相互獨立.

定義2 對模型(1.1)作如下修正：設(shè)定一個分紅界限b＞0,如果盈余在紅利界限以下,便不發(fā)放分紅c1＞0是收取的保費率,這里c1=(1+θ1) λE( Y1)；設(shè)α(0＜α≤c1)是分紅率,若盈余在紅利界限以上,以α比率分紅,分紅后的凈保費率記為c2=c1?α≥0,類似的c2=(1+θ2) λE( Y1),這里θi(i=1,2)為相對安全負荷.于是盈余過程U( t)滿足

定義3 記破產(chǎn)時刻Tb=inf{t∶ U( t)＜0|U(0)=u},這里規(guī)定,若{t∶ U( t)＜0}=φ,Tb=∞.引入Gerber-Shiu函數(shù)

其中δ≥0可理解為利息強度或拉普拉斯變換的變量,ω(x1, x2), x1≥0, x2≥0,為關(guān)于破產(chǎn)前的瞬間盈余x1和破產(chǎn)前赤字χ2的一個非負二元函數(shù),I( E)是事

件E的示性函數(shù).

2 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的積分方程

本節(jié)先在稀疏風(fēng)險模型上加入閾值分紅,然后在此基礎(chǔ)上給出索賠到達數(shù){}和保費到達數(shù){Nt}相依的風(fēng)險模型.

定理2.1 令u≥0, mb( u)滿足的積分方程

證明 設(shè)T1為{Nt}的第一跳躍時間,定義T1是服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,因此P( T1＜∞)=1.因為在0＜t≤T1時,U( t)≥0.先考慮破產(chǎn)在T1時刻沒有發(fā)生,使用強馬氏性,有

可以將(2.2)在T1時刻有無索賠取條件：

對E1,E2考慮分紅,并運用獨立性假設(shè)有

這時破產(chǎn)在T1沒有發(fā)生,運用獨立性假設(shè)有

下面考慮破產(chǎn)在T1時刻發(fā)生,由于稀疏過程就是在保費來到的前提下考慮索賠是否發(fā)生以及索賠發(fā)生有沒有破產(chǎn)的問題,考慮破產(chǎn)即考慮破產(chǎn)時刻、破產(chǎn)前的瞬間盈余和破產(chǎn)赤字三者的聯(lián)合分布,有

3 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的解

上一章中得到盈余方程的Gerber-Shiu函數(shù)mb( u)的表達式,可以看出求解mb( u)的解析形式是困難的,但是在一些特殊的條件下,可以找出它們較為精確的表達形式.設(shè)每次索賠額Yi的分布為G( y)=1?e?ay,a＞0,y ＞0且設(shè)ω(x, y)=1,令D=λ+ δ,上式變?yōu)?/p>

則方程變?yōu)?/p>

對(3.1)關(guān)于u求導(dǎo),得

對(3.2)式關(guān)于u求導(dǎo),得

將(3.3)、(3.4)帶入(3.5)中,有

所以(3.6)、(3.7)可變?yōu)?/p>

顯然只要知道m(xù)b(0)的值,就可以求出m?b( u).

[1]Gerber H U, Shiu E S W. On optimal dividend strategies in the compound Poisson model[J]. North American Actuarial Journal, 2005, 10(2): 76-93.

[2]宗昭軍, 胡峰, 元春梅. 具有線性紅利界限的破產(chǎn)理論[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報, 2006, 23(2): 319-323.

[3] Lin X S, Willmot G E, Drekic S. The classical risk model with a constant dividend barrier: analysis of the Gerber-Shiu discounted penalty function[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 33(3): 551-566.

[4] Li S. The distribution of the dividend payments in the compound Poisson risk model perturbed by diffusion[J]. Scandinavian Actuarial Journal, 2006, 2(1): 73-85.

[5] Pan J, Wang G J. Expected discounted penalty function for a thinning risk model[J]. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics, 2009, 25(5): 544-552.

（責(zé)任編輯 龐新琴）

Thinning Risk Model with Threshold Dividend

CHEN Jie

(Mathematics Department of Jining University, Qufu 273155, China)

In this paper, we present a thinning risk model with the threshold strategy. Under such a model, we obtain the integro-differential equation for the expected discounted penalty function. Then we study the expression for the Laplace transform of the integro-differential equation when the claim size is special distributed.

thinning process; threshold dividend; expected discounted penalty function; integro-differential equation

O211．6

A

2014-03-06

陳潔(1985 -),女,山東泗水人,濟寧學(xué)院數(shù)學(xué)系教師,碩士,研究方向：隨機過程.