尚德生

(山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255091)

在文獻[1-2]中，作者利用Blow-up等技巧討論了在函數(shù)F(x)滿足什么條件，下面的奇異攝動Liénard系統(tǒng)

會有鴨環(huán)存在，其中F(x)是光滑函數(shù)，ε>0是個小參數(shù)，λ>0而且系統(tǒng)(L)的鴨環(huán)的個數(shù)可以由系統(tǒng)的慢散度積分

(1)

的零點來衡量，其中Ω是經(jīng)過 (0,Y)的快軌道的兩個端點(x1(Y),Y),(x2(Y),Y)之間的部分慢軌道，如圖1所示.

具體結(jié)論是

引理1如果F(x)是一個Morse函數(shù)，而系統(tǒng)(L)以原點(0,0)為轉(zhuǎn)點，且滿足F(0)=0,F′(0)=0,F″(0)≠0，則系統(tǒng)(L)的環(huán)性可以由前面的慢散度積分(1)的零點的個數(shù)來確定，且其鴨環(huán)的穩(wěn)定性可以由I(Y,λ)關(guān)于Y的導數(shù)的符號來確定.

圖1 系統(tǒng)(L)在ε=0時的軌跡示意圖

(2)由含有快軌道和慢軌道一起構(gòu)成的閉曲線環(huán)稱為系統(tǒng)(L)的一個快慢環(huán)(Slow-Fast Cycle)，也稱為鴨環(huán)(Canard Cycle).

(3)系統(tǒng)(L)的一個鴨環(huán)與前面的慢散度積分的一個零點相對應(yīng)，且其穩(wěn)定性與I(Y)的導數(shù)的相應(yīng)，即當I(Y)=0,I′(Y)<0時，對應(yīng)于系統(tǒng)(L)的一個過 (0,Y)的穩(wěn)定的鴨環(huán)，當I(Y)=0,I′(Y)>0時，對應(yīng)于系統(tǒng)(L)的一個過 (0,Y)的不穩(wěn)定的鴨環(huán).

下面對一種特殊的Morse函數(shù)F(x)，來討論系統(tǒng)(L)的環(huán)性，這里取

在區(qū)間(0,λ)∪(λ,+∞)上的零點即可.

注意到G(0)=0;當z→λ時，G(z)→-∞;且z→+∞時，G(z)→+∞.

又因為

G′(z)=z2n-4+λ2z2n-6+…+

顯然，當z∈(λ,+∞)時，有G′(z)>0，即G(z)在區(qū)間(λ,+∞)單調(diào)遞增.但是當z∈(0,λ)時，容易得到

從而G(z)單調(diào)遞減，亦即有G(z)0，如圖2所示.

圖2 G(Z)的圖形示意圖

從而系統(tǒng)(L)在(0,+∞)上有且只有一個鴨環(huán)，且該鴨環(huán)是不穩(wěn)定的，它包含系統(tǒng)(L)的唯一奇點(λ,F(λ)).另一方面，可以得到在該奇點處系統(tǒng)(L)的散度為

div(L)=-F′(λ)=-nλn-1<0

即系統(tǒng)的這個唯一奇點是穩(wěn)定的焦點，這也說明這個唯一的鴨環(huán)是不穩(wěn)定的.由此得到下面的結(jié)論.

定理1對于任意的正整數(shù)n≥2相應(yīng)的函數(shù)F(x)，奇異攝動系統(tǒng)(L)在整個xoy-平面上有且只有唯一一個不穩(wěn)定的鴨環(huán)存在，此鴨環(huán)包含系統(tǒng)的唯一穩(wěn)定的有限遠奇點(λ,F(λ)).

[1] Dumortier F, Roussarie R. Canard cycles and center manifolds[J]. Memoirs of Amer. Math. Soc, 1996,121:1-100.

[2] De Maesschalck P, Dumortier F. Singular perturbations and vanishing passage through a turning point[J]. Differential Equations,2010,248(9):2 294-2 328.