課堂上，老師問：小貓看見魚，小狗看見骨頭，會怎樣向著食物運動?

學生：沿直線運動．

師：其中蘊含什么道理嗎?

生：兩點之間，線段最短．

師：尋求優(yōu)化是人類的一種本能，整個大自然都充斥這一現(xiàn)象．現(xiàn)在讓我們起來探討路徑最短的問題．

問題1：如圖1-1，已知A、B在直線l的兩側(cè)，在直線l上求一點P，使PA+PB最小．

生(紛紛舉手)：根據(jù)“兩點之間，線段最短”，連接AB，AB與直線l的交點P就是所求的點．(如圖1-2)

師：這個問題較容易，它是解決路徑最短問題的基礎．下面我們來看平面幾何中的“將軍飲馬問題”．

問題2：相傳，古希臘亞歷山大里亞城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思未得其解的問題：從圖2-1中的A地出發(fā)，到筆直的河岸邊去飲馬，然后再去B地，怎樣走距離最短?

生1(思考一會兒)：是不是過點A作河岸的垂線，垂足為M，MA+MB最短?(如圖2-2)

師(微笑地說)：是嗎?嘗試在河岸線上找一些點比較．

生2：不對，我在河岸線上另取一點M′，測量到M′A+M′B比他提供的還要小．

師：能否把問題2轉(zhuǎn)化成問題1?在河岸線另一側(cè)找一點A′，在河岸線上任一點到A、A′的距離相等．

生1(恍然大悟)：噢，可作點A關于河岸線的對稱點A′，連接A′B，A′B與河岸線的交點為M，則從A地到M點去飲馬，再從M點到B地去距離最短．(如圖2-3)

師：我為你們而驕傲．當時海倫稍加思考，也是這樣圓滿解答了這個問題，并給出說明．如圖2-4，因為對于河岸上任何異于M點的N點都有AN+NB=A′N+NB>A′B=A′M+MB=AM+MB．(如圖2-4)此題利用軸對稱將直線同側(cè)點最短路徑問題轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)點最短路徑問題．下面請同學們繼續(xù)探討．

問題3：如圖3-1，A、B兩村在一條河的兩邊，該河的兩岸平，要在河上造一座橋，使A、B之間行走的路線最短．問：橋址應選在什么地方?(注意從經(jīng)濟角度考慮，橋必須與河岸垂直)

生(沉默一會兒，自言自語)：連接AB不行，作對稱點也不行……

師：我們一起來分析?？杉僭O橋在某一位置，如圖3-2，從A村到橋頭的距離AE加上橋長(河的寬度)EF再加上B村到橋頭的距離BF最短，即AE+EF+FB最短，意味著什么最短?

生：由于河的寬度不變，不論修到哪里，橋是必經(jīng)之路，且橋長為一定值，只要AE+FB最短．

師：很好，AE+FB最短能否轉(zhuǎn)化成直線問題，即問題1呢?

生(思考)：可平移FB至EC，轉(zhuǎn)化為在直線l₁上找一點E使EA+EC最短．(如圖3-3)

師：真棒!找這樣的點E，必須先找到這樣的點C，怎樣找呢?大家討論．

生(討論后)：連接BC．四邊形EFBC為平行四邊形，BC∥EF，BC=EE．所以從B村沿垂直于河岸l₂方向走完橋長就能找到點C．(如圖3-4)

師：真聰明!現(xiàn)在你們能設計橋址嗎?

生：過點B作河岸的垂線，在垂線上截取BC的長等于河寬，連AC交A村一側(cè)的河岸l₁于E點，作EF垂直于另一岸l₂于F點，則EF為架橋的位置，也就是說，AE+EF+FB是最短路徑．(如圖3－5)

師：這道題可假設河的寬度為零，將河岸l₂與B村一起向河岸l₁平移，l₂與l₁重合，相應地，點B平移至點C，這樣就轉(zhuǎn)化成問題1．(如圖3-6)

師：這節(jié)課，同學們探索的熱情很高，思維很活躍．我們通過軸對稱、平移等方法轉(zhuǎn)化成直線問題來尋求最佳路徑．“兩點之間，線段最短”真是奧妙無窮，以后我們還會探索不在同一平面上的最短路徑問題．下面的一道思考題，相信聰明的你會找到最佳的路徑．

某班舉行文藝晚會，桌子擺成兩條直線(如圖4中OA、OB)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿糖果，坐在C處的學生小明先拿橘子，再拿糖果，然后回到座位，請你幫他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短．

責任編輯／沈紅艷bbshy@e172．com