張根保，劉杰，楊毅，高琦樑

(重慶大學機械工程學院先進制造技術研究所，重慶400030)

可靠性是機床性能的重要指標，對機床的可靠性進行定量評估是機床可靠性工作的重要內容。常見的機床可靠性評估方法為壽命分布分析方法，如利用威布爾分布，然而該方法的假設條件即故障間隔時間獨立同分布往往很難實現(xiàn)。近年來，具有最小維修性質的冪律過程已被證明能夠更好地對復雜可修系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)進行建模［1－2］，在機床可靠性評估中的應用也越來越廣泛［3－4］。盡管如此，應用冪律過程進行機床可靠性評估的研究仍有不足之處，主要體現(xiàn)在處理多臺機床故障數(shù)據(jù)融合問題。多臺機床的故障數(shù)據(jù)包含有更多的故障信息，能夠避免單臺機床所帶來的偶然性因素，其結果更能夠代表機床的故障現(xiàn)狀。但是，研究者往往忽視了多臺機床的同質性問題，而貿(mào)然對其故障數(shù)據(jù)進行融合處理，所得到的結果往往會偏離實際。

以某型號液壓折彎機為研究對象，提出了CBT(Common Beta Test)＆ CLT(Common Lambda Test)的分步檢驗法，以驗證能否將多臺機床數(shù)據(jù)進行融合處理，解決了基于冪律過程的多臺機床故障數(shù)據(jù)同質性驗證問題。同時，應用Fisher 信息矩陣法給出了冪律過程參數(shù)的區(qū)間估計和基于Delta 方法的機床可靠性指標區(qū)間估計的計算表達式。

1 PLP 建模及其參數(shù)估計

1.1 多臺機床的PLP 建模

冪律過程(Power Law Process，PLP)亦稱為威布爾過程［5］，是非齊次泊松過程(NHPP)的一種。PLP 模型最初由L H CROW 提出［6］，廣泛應用于復雜可修復系統(tǒng)的可靠性分析。其強度函數(shù)形如式(1)所示:

式中:β 為形狀參數(shù)。

β 對故障過程趨勢具有指示作用。當β ＜1 時，故障強度減小，產(chǎn)品可靠性增長;當β =1 時，故障強度為常數(shù)，產(chǎn)品可靠性相對穩(wěn)定;當β ＞1 時，故障強度增大，產(chǎn)品可靠性惡化。

對于k 臺機床，假定第i 臺的故障統(tǒng)計時間區(qū)間為［ai，bi］，故障發(fā)生時刻為tij，故障總數(shù)為ni，則第i 臺機床故障時間的極大似然函數(shù)表達式為:

所以，k 臺機床故障時間的極大似然函數(shù)為:

兩邊取對數(shù)，分別對β，λ 求偏導并令其為零，得:

上式解沒有封閉形式，可用迭代法進行求解。

1.2 參數(shù)的Fisher 區(qū)間估計

PLP 參數(shù)的區(qū)間值可利用最大似然估計值的漸近對數(shù)正態(tài)分布特性［7］進行估計，對參數(shù)θ 有:

式中:zα/2為置信度為100(1－α)%的標準正態(tài)分布的分位數(shù)。

當式(4)中的參數(shù)為λ，β 時，其方差及協(xié)方差由逆Fisher 信息矩陣［7］給出:

2 數(shù)控機床可靠性指標的估計

機床可靠性指標能夠對機床可靠性的變化給出定量的描述。求解PLP 參數(shù)后就可以對機床的各種可靠性指標進行計算。

2.1 數(shù)控機床可靠性指標的點估計

這里給出兩類可靠性指標:第一類為瞬時可靠性指標，分別是瞬時故障強度函數(shù)λ(t)與瞬時MTBFu(t);第二類為累積可靠性指標:分別是累積故障強度λc(t)、累積平均無故障工作時間uc(t)與累積故障數(shù)m(t)。其中，累積平均無故障工作時間uc(t)即是客戶能夠感受到的平均無故障工作時間MTBF。

將λ，β 點估計值代入式(1)即可得出λ(t)，由u(t)與λ(t)的關系，可得u(t)點估計為:

u(t)= 1/λβtβ－1

uc(t)=t1－β/λ

2.2 數(shù)控機床可靠性指標的區(qū)間估計

采用Delta 方法［8］對以上可靠性指標進行區(qū)間估計。

設Δ為參數(shù)λ，β 的函數(shù)，則Δ的方差為:

從而，的區(qū)間亦可由式(4)求出。

當Δ分別為λ(t)、m(t)、λc(t)、u(t)和uc(t)，便可以得出相應可靠性指標的區(qū)間估計。

3 模型檢驗

3.1 趨勢檢驗

(1)Laplace 檢驗

原假設H0:HPP(齊次泊松過程);備選假設H1:故障間隔為具有單調強度函數(shù)的NHPP。統(tǒng)計檢驗量為［9］:

L 在原假設條件下近似于標準正態(tài)分布。

(2)Military handbook 檢驗

原假設H0:HPP(齊次泊松過程);備選假設H1:故障間隔為具有單調強度函數(shù)的NHPP。統(tǒng)計檢驗量為［10］:

M 在原假設條件下服從于卡方分布，自由度為2n。

3.2 更新過程檢驗

Lewis-Robinson 檢驗。

原假設H0:RP(更新過程);備選假設H1:具有單調趨勢。統(tǒng)計檢驗量為［11］:

3.3 同質性檢驗

多臺機床盡管屬于同一型號，但往往由于其處于不同的工況下，它們的故障也可能呈現(xiàn)出不同的機制與趨勢。對于呈現(xiàn)出相似故障機制與趨勢的多臺機床，稱之為多臺機床同質，其故障數(shù)據(jù)可用式(2)進行融合處理;否則，稱之為多臺機床異質，所采集的故障數(shù)據(jù)不能進行直接融合處理。同質性檢驗在機床評估中的作用常常被忽視，導致評估結果偏離實際。文中提出采用CBT(Common Beta Test)和CLT(Common Lambda Test)的分步檢驗法對多臺機床進行同質性檢驗。

(1)CBT 檢驗

原假設H0:β1=β2=… =βn;備選假設H1:至少有兩個β 不相等。統(tǒng)計檢驗量為［6］:

lr 在原假設條件下服從卡方分布，自由度為(k－1)。

(2)CLT 檢驗

原假設H0:λ1=λ2=… =λn;備選假設H1:至少有兩個λ 不相等。統(tǒng)計檢驗量為［12］:

q 在原假設條件下服從于自由度為(k－1)的卡方分布。

3.4 擬合優(yōu)度檢驗

采用Cramér-von Mises 方法對模型擬合優(yōu)度進行檢驗，其檢驗的統(tǒng)計量為［6］:

式中:zi為從小至大的秩序排列。

4 實例分析

表1 給出了某型號4 臺液壓折彎機現(xiàn)場故障時間數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)為時間截尾型，共24 次故障，4 個截尾時間。

表1 4 臺液壓折彎機故障數(shù)據(jù) h

4 臺機床的故障間隔趨勢如圖1所示，可以得出:整體上看，趨勢曲線上凸，故障間隔時間不斷增大，表明故障數(shù)據(jù)可用非齊次泊松過程來建模。

圖1 故障過程趨勢圖

對表1 數(shù)據(jù)進行模型統(tǒng)計檢驗，結果如表2所示。

表2 液壓折彎機故障數(shù)據(jù)模型檢驗結果

由表2 知:Laplace 檢驗、M-H 檢驗和L-R 檢驗的統(tǒng)計量的p-值均遠小于顯著水平，因此，有充分的理由認為故障數(shù)據(jù)符合具有單調強度函數(shù)的NHPP 過程;同時，CBT 檢驗和CLT 檢驗的統(tǒng)計量的p-值分別為0.728 8 和0.331 6，均高于顯著水平，因此，可以接受4 臺機床的故障數(shù)據(jù)來自同一個冪律過程函數(shù)的假設，即對4 臺機床故障數(shù)據(jù)能夠進行融合處理。

模型參數(shù)的極大似然點估計與90%置信區(qū)間值如表3所示。

表3 PLP 模型參數(shù)的點估計與90%置信區(qū)間

對模型進行擬合優(yōu)度檢驗，計算所得C2M值為0.041 5，查表知，C2M(24，0.05)= 0.217 ＞0.041 5表明所建模型有效。

機床的可靠性指標表達式如下:

t=1 500 時的可靠性指標點估計與置信度90%的置信區(qū)間見表4。

表4 可靠性指標點估計與區(qū)間估計

圖2所示為機床瞬時與累積可靠性指標置信度90%的雙側區(qū)間圖。

由以上結果可知，形狀參數(shù)β 的區(qū)間上限值為0.820 3，說明至故障數(shù)據(jù)截尾時，液壓折彎機處于可靠性增長的階段，這與圖1 的結論一致。

圖2(e)顯示機床實際故障均值均落在置信區(qū)間內，并與模型曲線的擬合較好;圖2(a)中瞬時故障強度曲線顯示，其形狀近似于浴盆曲線的左部分，表明折彎機跨越了早期故障階段;這里需要注意區(qū)分的是:瞬時故障強度－浴盆曲線與一般說法上不可修產(chǎn)品的失效率－ 浴盆曲線是兩類不同性質的曲線［13］。其次，圖2(c)中瞬時MTBF 曲線和圖2(d)累積MTBF 曲線對比表明，盡管到數(shù)據(jù)截止時液壓折彎機的瞬時MTBF 可達到500 h 以上，但其累積MTBF 只有300 h 左右，這是早期故障所帶來的不利影響，它降低了折彎機整體可靠性水平的表現(xiàn)。

圖2 可靠性指標的雙側90%置信區(qū)間曲線

針對該類型折彎機的可靠性現(xiàn)狀，建議生產(chǎn)廠家在折彎機出廠前實施早期故障消除技術，使瞬時故障強度曲線盡可能左移，降低早期故障對累積MTBF 的影響，提高折彎機在顧客使用時的可靠性表現(xiàn)水平。

5 結論

(1)數(shù)控機床屬于復雜可修產(chǎn)品，其故障維修往往只是進行個別零部件的更換或修復，符合最小維修的物理背景，可以用冪律過程建模。實例分析也表明，PLP 模型能夠同時給出產(chǎn)品瞬時和累積可靠性指標，具有實踐指導意義。

(2)機床的可靠性評估，往往要先對其故障趨勢進行判斷，評估時可采用圖形法與統(tǒng)計法相結合來進行檢驗;對于多臺機床故障數(shù)據(jù)進行融合處理時，要首先保證故障數(shù)據(jù)的同質性，在冪律建模中可以用所提出的CBT＆CLT 分步檢驗方法進行驗證。

(3)文中對質保期內的液壓折彎機進行了基于冪律過程的可靠性分析，但產(chǎn)品整個壽命周期的可靠性狀況仍需要進一步探索。主要原因在于折彎機在數(shù)年后的故障趨勢可能會發(fā)生變化，需要更多的故障數(shù)據(jù)來進行建模;并且，模型需要利用分段PLP［14］或是混合PLP［15］，這也是接下研究的方向之一。

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