王禮祥

（西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院, 四川 成都 610041）

球函數(shù)加法公式的坐標(biāo)變換解雙環(huán)靜電問題

王禮祥

（西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院, 四川 成都 610041）

用球函數(shù)加法公式的坐標(biāo)變換法與電勢疊加原理導(dǎo)出了雙環(huán)靜電問題的電勢解; 繼而由帶電體系的互能與虛功原理給出了帶電雙環(huán)的相互作用力表達(dá)式并作了特殊討論.

帶電圓環(huán); 坐標(biāo)變換; 電勢; 疊加原理; 勒讓得函數(shù); 球函數(shù)

1 引言

眾所周知, 在靜電問題求解中不少專著與教材都不涉及坐標(biāo)變換法, 大多數(shù)都僅在具有嚴(yán)格對稱性的坐標(biāo)系中求解靜電問題; 本文我們以均勻帶電雙環(huán)靜電問題為例, 借助球函數(shù)的加法公式[1]實現(xiàn)坐標(biāo)變換導(dǎo)出雙環(huán)靜電問題的電勢解析解[2], 最后通過計算帶電雙環(huán)的靜電互能并應(yīng)用虛功原理討論了帶電雙環(huán)的相互作用力問題.

2 單環(huán)靜電問題在軸對稱坐標(biāo)系中的電勢解

文獻(xiàn)[3]給出了如圖1所示的單環(huán)靜電問題在坐標(biāo)原點位于軸線上任意點的軸對稱坐標(biāo)系中的電勢解為

圖1 單環(huán)靜電問題Fig.1 Charged single ring electrostatic problems

3 雙環(huán)靜電問題的球函數(shù)加法公式坐標(biāo)變換疊加法解

雙環(huán)靜電問題是指真空中任意方向、在任意位置處放置的軸線相交的兩個均勻帶電圓環(huán)靜電問題, 如圖2所示.

圖2 雙環(huán)靜電問題Fig.2 Charged double ring electrostatic problems

建立如圖2所示的兩個共原點的兩種球坐標(biāo)Orθφ與Or'θ'φ', 原點位于是雙環(huán)各自對稱軸的交點上, 環(huán)1的軸線為Z軸, 環(huán)1的環(huán)心位于球坐標(biāo)(d1,0,0), 環(huán)1半徑為r1, 帶電總量是Q1; 環(huán)2軸線方向位于球坐標(biāo)Orθφ經(jīng)緯角為φ0和θ0方向上, 環(huán)2的環(huán)心位于球坐標(biāo)( d2, θ0,φ0), 半徑為r2, 帶電總量為Q2. 于是根據(jù)幾何關(guān)系有

4 均勻帶電雙環(huán)的互能計算

5 用虛功原理計算帶電雙環(huán)的相互作用力

6 簡單討論

與文獻(xiàn)[5]一樣相互作用力僅有徑向力.

[1] 胡文忠. 球函數(shù)加法公式在處理物理問題中的應(yīng)用[J]. 大學(xué)物理, 1990,5: 7-8.

[2] 王禮祥. 充電圓環(huán)靜電問題的特殊邊值解[J]. 西南民族學(xué)院學(xué)報: 自然科學(xué)版, 1997, 32(1): 19-22.

[3] 王禮祥. 靜態(tài)場邊值問題的分離變量法理論研究[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2011, 37(3): 360-367.

[4] 王禮祥. 雙環(huán)靜電問題的分區(qū)分離變量解研究[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2009, 35(6): 1236-1240.

[5] 林璇英, 張之翔. 電動力學(xué)題解[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1999: 111-119.

[6] 王禮祥. 帶電圓環(huán)的電荷面密度表象及其在介質(zhì)球與帶電圓環(huán)靜電問題中的應(yīng)用[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2006, 32(4): 794-798.

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[8] 劉景世. 虛功原理在靜電學(xué)中的應(yīng)用[J]. 渤海大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2006, 27(2): 153-155.

[9] 姚端正, 梁家寶. 數(shù)學(xué)物理方法[M]. 3版. 北京:科學(xué)出版社, 2010: 274-280.

[10] 徐燕, 陳浩. 兩共軸帶電圓環(huán)的相互作用能和作用力[J]. 大學(xué)物理, 2007, 6: 26-27.

A solution with the coordinates transformation of spherical function addition formula to electrostatic problem of double charged ring

WANG Li-xiang
(Southwest University for Nationalities, Chengdu 610041, P.R.C.)

In this paper, the electrostatic problem of double charged ring is solved with the spherical function addition formula's special coordinates transformation and the potential principle of superposition. The force’s expression of the double charged ring is given by interaction energy of charged system and the principle of virtual work.

uniform charged ring; coordinate transformation; potential; principle of superposition; electric potential; legendre function; spherical function

O412.3

A

1003-4271(2014)04-0598-05

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.04.25

2014-03-26

王禮祥(1962-), 男, 苗族, 云南彝良人, 副教授, 研究方向: 物理學(xué)和計算機基礎(chǔ)理論.