喬美英 陳 鑫 蘭建義

（1.河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南省焦作市，454000；2.河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南省焦作市，454000）

1 概述

我國是煤與瓦斯突出災(zāi)害最嚴(yán)重的國家之一，由于突出是一種復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為，且瓦斯突出的形成條件、演化過程及誘發(fā)因素具有多樣性、復(fù)雜性及隨機(jī)性等特點(diǎn)，最終體現(xiàn)為確定性與隨機(jī)性相統(tǒng)一的特點(diǎn)?；诖颂攸c(diǎn)，當(dāng)前煤礦工作面瓦斯涌出量預(yù)測(cè)方法均存在中長期預(yù)測(cè)方面的不足。

Hurst指數(shù)早已被用于許多領(lǐng)域做中長期趨勢(shì)分析研究，目前，在大多數(shù)求Hurst指數(shù)的文獻(xiàn)中，常用的方法是經(jīng)典R／S法、Lo法及V／S法。而國內(nèi)的文獻(xiàn)在研究分形時(shí)，大多集中在利用經(jīng)典R／S分析上，僅經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域?qū)o法與V／S法有涉及。近年來Hurst指數(shù)在煤炭領(lǐng)域也做了相關(guān)的研究：黃存捍等將R／S分析用于礦井涌水量的預(yù)測(cè)，李業(yè)學(xué)等將其用于圍巖變形趨勢(shì)分析，李遠(yuǎn)耀等將其用于滑坡變形趨勢(shì)預(yù)測(cè)。

本文在已有成果的研究基礎(chǔ)之上，將改進(jìn)的R／S分析法引入到掘進(jìn)工作面的瓦斯涌出量的中長期趨勢(shì)預(yù)測(cè)中。文中在詳細(xì)介紹了R／S 分析基本算法原理基礎(chǔ)上，給出了算法實(shí)現(xiàn)步驟并利用MATLAB2009b對(duì)其進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，同時(shí)利用兩種噪聲序列進(jìn)行了驗(yàn)證。最后選用鶴壁十礦1113掘進(jìn)工作面瓦斯涌出量時(shí)間序列進(jìn)行分析研究，分別計(jì)算了該工作面3次發(fā)生突出時(shí)間序列的Hurst值及兩次未突出的時(shí)間序列的Hurst指數(shù)值，對(duì)所研究的幾個(gè)時(shí)間序列的Hurst值與長程相關(guān)的時(shí)間限度進(jìn)行比較分析。

2 基本原理

R／S分析法是一種已經(jīng)被廣泛使用的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，其最大的優(yōu)點(diǎn)是不必假定時(shí)間序列測(cè)度的分布特征，而且不論是正態(tài)分布還是非正態(tài)分布，R／S分析的結(jié)果都是穩(wěn)健的。R／S分析法是通過計(jì)算非線性時(shí)間序列的Hurst指數(shù)H 值來判斷時(shí)序信號(hào)的分形特性及長程相關(guān)性，以此區(qū)分時(shí)間序列的隨機(jī)性與非隨機(jī)性，最終確定趨勢(shì)性持續(xù)及強(qiáng)度。

2.1 R／S分析法

經(jīng)典R／S分析法基本原理：設(shè)長度為N 的時(shí)間序列數(shù)據(jù) x（1），x（2），…，x（N

｛｝） ，將其分割為長度為n （2≤n≤L）的A 個(gè)相鄰不重疊子區(qū)間Ma（a=1，2，…，A），其中L 為最大子區(qū)間長度，由上面的分析有A×n=N。記Ma中的每個(gè)元素為mk，a（k=1，2，…，n），則可得每個(gè)子區(qū)間的數(shù)學(xué)期望為：

式中：Xa——每個(gè)子區(qū)間的數(shù)學(xué)期望值；

mk，a——Ma中的每個(gè)元素。

計(jì)算每一個(gè)子序列的偏離均值差值序列：

式中：ΔXk，a——每個(gè)子序列的偏離均值差值。

ΔXk，a的均值為零，這一步為重標(biāo)度或標(biāo)準(zhǔn)化。

由此可知，累積均值離差Yk，a、標(biāo)準(zhǔn)差SMa以及極差RMa分別為：

式中：Yk，a——累積均值離差；

SMa——標(biāo)準(zhǔn)差；

RMa——極差。

而經(jīng)典R／S 分析法的統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算每個(gè)子區(qū)間的重標(biāo)度極差值RMa／SMa及A 個(gè)區(qū)間平均重標(biāo)度極差：

Mandelbrot證明R／S（n）與n有冪律關(guān)系，即R／S ∝nH。所以lg（R／S（n））與lgn之間存在線性關(guān)系：

實(shí)際求取過程中是在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中繪制出點(diǎn)（lgn，lg（R／S）），并進(jìn)行回歸分析，如果坐標(biāo)點(diǎn)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中表現(xiàn)出很好的線性關(guān)系，則直線的斜率即為H 值，即Hurst指數(shù)。經(jīng)典R／S分析法在不需要任何假設(shè)前提下所得結(jié)果最穩(wěn)定，也是最接近時(shí)間序列的實(shí)際特性，特別是經(jīng)典R／S 分析法能夠從分形時(shí)間序列中區(qū)分出隨機(jī)時(shí)間序列，并能夠計(jì)算出分形時(shí)間序列內(nèi)在的非周期循環(huán)長度，可以更深刻地揭示非線性時(shí)間序列內(nèi)在統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

2.2 V／S分析法

經(jīng)典R／S 分析方法存在一定的局限性，若一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出很強(qiáng)的短期相關(guān)性，此時(shí)經(jīng)典R／S分析方法會(huì)出現(xiàn)偏差，更易得出具有長期相關(guān)性結(jié)論。鑒于這方面的原因，Lo法在經(jīng)典R／S分析方法的基礎(chǔ)上提出了修正的R／S分析方法。Lo法通過引入樣本協(xié)方差來對(duì)經(jīng)典的R／S分析法進(jìn)行修正。Lo法使用如下的統(tǒng)計(jì)量：

γj——j階樣本自協(xié)方差。在此方法中q的選擇非常重要，其直接影響到檢驗(yàn)效果。Lo法給出選擇的最優(yōu)q值如下：

式中：e——子樣本長度；

＾ρ——一階自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。

當(dāng)q=0時(shí)，Lo法成為經(jīng)典R／S法。Lo法比經(jīng)典法具有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)就是剔除了序列短期相關(guān)性，能更有效地檢測(cè)出時(shí)間序列的長期相關(guān)性。然而Vadim Teverovsky的研究表明：Lo法對(duì)某些具有顯著長期相關(guān)性的時(shí)間序列更傾向于得出沒有長期相關(guān)性的結(jié)果。所以，Lo法可能會(huì)低估序列的長期相關(guān)性。L.Giraitis（2003）在Lo法的基礎(chǔ)上提出V／S法，其使用的統(tǒng)計(jì)量為：

2.3 Hurst指數(shù)判定長程相關(guān)特性分析

長程相關(guān)性 （長記憶性）通常被定義為時(shí)間序列數(shù)據(jù)的具有一種持久性和長期信賴關(guān)系，可用Hurst指數(shù)的相應(yīng)函數(shù)來描述。間隔為τ的時(shí)間序列數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)函數(shù)C（τ）為H 的函數(shù)，其表達(dá)式為：C（τ）=τ2H-1-1。當(dāng)H=0.5時(shí)，C（τ）=0表明時(shí)間序列數(shù)據(jù)間不相關(guān)；當(dāng)H ＞0.5時(shí)，C（τ）＞0表明時(shí)間序列數(shù)據(jù)間正相關(guān)；當(dāng)H ＜0.5 時(shí)，C（τ）＜0表明時(shí)間序列數(shù)據(jù)間負(fù)相關(guān)。時(shí)間序列Hurst指數(shù)值H 與時(shí)間序列的長程相關(guān)性的關(guān)系具體可表述為：

（1）如果H 值接近0.5，則此時(shí)間序列可以用隨機(jī)游走描述，如利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成白噪聲序列數(shù)據(jù)，或是把尼羅河流量時(shí)間序列打亂，再進(jìn)行R／S分析，得到的Hurst指數(shù)值也接近0.5。

（2）若0.5 ＜H ＜1，表明存在狀態(tài)持續(xù)性即長期記憶性，變量間具有相關(guān)性，表現(xiàn)為趨勢(shì)追隨傾向，暗示著時(shí)間序列是一個(gè)持久性的或趨勢(shì)增強(qiáng)的序列，例如若序列在前一段時(shí)期是向上 （下），那么在下一段時(shí)期將越有可能繼續(xù)是正 （負(fù)），H 越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，H越接近于0.5，其噪聲越大，趨勢(shì)也越不確定。從理論上來說，這種長期記憶性表示當(dāng)前發(fā)生的事件對(duì)以后發(fā)生的事件會(huì)有影響，用混沌動(dòng)力學(xué)的語言來表述這一現(xiàn)象就是系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感信賴性，需要說明的一點(diǎn)是這種長期記憶性并不會(huì)隨著時(shí)間標(biāo)度的改變而改變，例如若以時(shí)間增量為分鐘間隔來觀察，則未來的分鐘變化與過去分鐘變化相關(guān)，若改為以日來觀察，則未來的日變化與過去的日變化相關(guān)。

（3）當(dāng)0＜H ＜0.5時(shí)，存在逆狀態(tài)持續(xù)性，時(shí)間序列是反持久性的，表現(xiàn)為均值回復(fù)傾向，此時(shí)序列比隨機(jī)序列更具有突變性與波動(dòng)性。若序列在前一個(gè)期間向上 （下）走，則它在下一個(gè)期間就越有可能向下 （上）走，反持久性強(qiáng)度隨著H 接近于0逐步加強(qiáng)。

總之，只要H ≠0.5，就可以用有偏的布朗運(yùn)動(dòng) （分形布朗運(yùn)動(dòng)）來描述該時(shí)間序列數(shù)據(jù)。

2.4 長程相關(guān)性的時(shí)間限度分析

絕大多數(shù)復(fù)雜非線性時(shí)間序列的長程相關(guān)性是有時(shí)間尺度做為界限的，若超過這一時(shí)間尺度將表現(xiàn)出不相關(guān)的隨機(jī)特性，自相似行為喪失，而其統(tǒng)計(jì)分布也隨之變?yōu)榻咏龖B(tài)分布，因此時(shí)間序列的長程相關(guān)性是有時(shí)間限度的，而這個(gè)時(shí)間限度常用無標(biāo)度區(qū)來衡量。本文中用臨界點(diǎn)Tm（Crossover point）來表示這一時(shí)間尺度，在求幾種R／S分析中繪制log（R／S（n））-log（n）回歸圖中，這一時(shí)間臨界特性表現(xiàn)為擬合直線斜率的變化?？捎筛餍甭食霈F(xiàn)明顯轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的值可推算出長程相關(guān)的最大時(shí)間尺度Tm。這一時(shí)間尺度也就是時(shí)間序列非周期循環(huán) （Non-periodic cycle）的平均循環(huán)長度 （Average cycle length）。

E.Peters引入了下面的統(tǒng)計(jì)量來判斷平均循環(huán)周期：

當(dāng)R／S（n）與n 的平方根同步增長時(shí)，Vn-log（n）的散點(diǎn)圖將分布在一條水平線上，若比n的平方根增長較快時(shí)，即持續(xù)性存在，則出現(xiàn)上升趨勢(shì)，如果比n的平方根增長較慢時(shí)，即存在反持續(xù)性，則出現(xiàn)下降趨勢(shì)。但是在實(shí)際中Vn-log（n）可能有好幾個(gè)拐點(diǎn)，這些拐點(diǎn)可以作為重要參考。在本文中將同時(shí)利用Vn-log（n）與log（R／S（n））-log（n）曲線圖來確定較明顯的轉(zhuǎn)折斜率點(diǎn)。如果在某一處出現(xiàn)明顯轉(zhuǎn)折，說明此時(shí)出現(xiàn)臨界時(shí)間尺度的對(duì)數(shù)值，再通過相應(yīng)的換算即可求出有效的時(shí)間序列長程相關(guān)性的限度。

而且在Vn-log（n）圖中有另一個(gè)顯著的特點(diǎn)，若0.5＜H ≤1時(shí)，Vn-log（n）曲線圖是一條向上傾斜的直線，若0＜H ＜0.5時(shí)，則Vn-log（n）是一條向下傾斜的直線。確定長程相關(guān)性的時(shí)間限度為利用時(shí)間序列趨勢(shì)預(yù)測(cè)提供許多定量參考。

3 實(shí)例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

鶴壁煤業(yè)集團(tuán)十礦為煤與瓦斯突出礦井，到目前為止十礦共發(fā)生5次突出，其中5次突出中有4次發(fā)生在1113工作面，所以本文以1113工作面做為研究對(duì)象。

本文利用每隔5min的工作面瓦斯涌出量時(shí)間序列來研究工作面瓦斯涌出的復(fù)雜行為特性，對(duì)于已發(fā)生突出的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，本文選取包括突出發(fā)生當(dāng)天與前一天的檢測(cè)數(shù)據(jù)，即共48h時(shí)間序列數(shù)據(jù)，所以本文時(shí)間序列至少為576個(gè)。

文中給出的數(shù)據(jù)是已經(jīng)對(duì)原始數(shù)據(jù)經(jīng)過初步分析與預(yù)處理，利用前一監(jiān)測(cè)值與后一監(jiān)測(cè)值之和平均來代替。首先給出該工作未突出時(shí)的兩次時(shí)間序列數(shù)據(jù)。未突出的時(shí)間序列數(shù)據(jù)均選取了3d 時(shí)間，數(shù)據(jù)長度為864個(gè)。未突出時(shí)瓦斯時(shí)間序列數(shù)據(jù)見圖1所示。

圖1 未突出時(shí)瓦斯時(shí)間序列數(shù)據(jù)

由圖1可知，未發(fā)生煤與瓦斯突出時(shí)瓦斯?jié)舛茸兓厔?shì)均勻且平緩。掘進(jìn)中無突出現(xiàn)象發(fā)生，瓦斯?jié)舛茸兓椒€(wěn)，變化幅度小。

1113工作面3 次已突出的瓦斯涌出量時(shí)間序列數(shù)據(jù)波形見圖2所示。由圖2可以看出，這3次煤與瓦斯突出前或是突出過程中均出現(xiàn)了瓦斯含量即涌出量變化異常。而這種異?，F(xiàn)象用普通的統(tǒng)計(jì)方法很難深刻刻畫。本文引入V／S分析法對(duì)1113掘進(jìn)工作面的瓦斯涌出時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

3.2 算法實(shí)現(xiàn)步驟

（1）導(dǎo)入數(shù)據(jù)；

（2）按照時(shí)間序列數(shù)據(jù)的長度分割子序列，子序列的最短長度為10，最長長度為總時(shí)間序列長度的1／2，在程序過程中子序列的長度由最短依次增加，共生成的子序列數(shù)為50；

（3）利用autocorr函數(shù)求出時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)并求q值；

（4）設(shè)置子序列分割數(shù)進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，計(jì)算每一個(gè)子序列下R 值與S 值；

圖2 發(fā)生突出時(shí)瓦斯時(shí)間序列數(shù)據(jù)

（5）根據(jù)式 （1），利用reshape函數(shù)將依次生成子序列矩陣，利用mean函數(shù)得均值。據(jù)式 （2）和 （3）求子序列的差值序列及每個(gè)差值序列的累積和；

（6）據(jù)式（4）求子序列標(biāo)準(zhǔn)差；

（7）據(jù)式（6）計(jì)算每個(gè)子序列的重標(biāo)度極差，并求其平均后的對(duì)數(shù)值；

（8）利用式 （16）求Vn值；

（9）重復(fù)（4）～ （7）步后計(jì)算完所有子序列參數(shù) 時(shí)，用 最 小 二 乘 法 擬 合 求log（R／S（n））-log（n）的斜率值，并繪制log（R／S（n））-log（n）與Vn-log（n）曲線，求曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。并求出明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的橫坐標(biāo)值。將此值換算可得出所研究時(shí)間序列的長程相關(guān)性的限度。

3.3 實(shí)例分析

根據(jù)程序計(jì)算出不同的分割長度n 下的log10（VS）-log10（n）曲線，在此基礎(chǔ)上利用最小二乘擬合其斜率即為H 值，如圖3 （a）、圖4（a）、圖5 （a）、圖6 （a）、圖7 （a）所示。同時(shí)在同一個(gè)橫坐標(biāo)下，再繪制出Vn-log10（n）關(guān)系曲線，利用這一曲線可以較明顯地確定所分析時(shí)間序列的長程相關(guān)性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，如圖3 （b）、圖4 （b）、圖5 （b）、圖6 （b）、圖7 （b）所示，其中幾個(gè)圖中的橫、縱坐標(biāo)無量綱。瓦斯時(shí)間序列的Hurst曲線特征情況見表1所示。

圖3 未突出時(shí)數(shù)據(jù)I長程趨勢(shì)圖

表1 瓦斯時(shí)間序列的Hurst曲線特征

圖3～圖7及表1表明，1113工作面的幾組瓦斯時(shí)間序列的Hurst指數(shù)值均大于0.5，說明這幾個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)服從分形布朗運(yùn)動(dòng)且具有正相關(guān)長程趨勢(shì)特性。從其Vn曲線的走向上也可以看出，幾種情況的Vn曲線均向上傾斜，進(jìn)一步說明其趨勢(shì)具有可持續(xù)性，在所測(cè)定的時(shí)間周期內(nèi)表現(xiàn)的特征將得以延續(xù)。

從未發(fā)生突出的兩組數(shù)據(jù) （第I組與第II組）的特征參數(shù)中可以看出，未發(fā)生突出時(shí)其Hurst指數(shù)值均較大，第I組的Hurst指數(shù)為0.9137，第II組的Hurst指數(shù)為0.8358，說明未發(fā)生瓦斯突出時(shí)的數(shù)據(jù)其正相關(guān)特征較強(qiáng)，即用前面的數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)后面數(shù)據(jù)時(shí)可預(yù)測(cè)的有效時(shí)間要長。

圖4 未突出時(shí)數(shù)據(jù)II長程趨勢(shì)圖

圖5 突出發(fā)生時(shí)數(shù)據(jù)III的長程趨勢(shì)圖

圖6 突出發(fā)生時(shí)數(shù)據(jù)IV 的長程趨勢(shì)圖

從圖3中看出，Vn曲線的第一個(gè)小幅變化的橫坐標(biāo)處的值為1.699，而在較明顯發(fā)生轉(zhuǎn)折處的橫坐標(biāo)值為2，通過計(jì)算其有效關(guān)聯(lián)長度為102。從圖4中可以得出，Vn曲線的第一個(gè)小幅變化的橫坐標(biāo)處的值為1.833，而發(fā)生較大幅度的轉(zhuǎn)折時(shí)的橫坐標(biāo)值為2.134，同樣其對(duì)應(yīng)的有效關(guān)聯(lián)長度為102.134。由于有效關(guān)聯(lián)長度是通過Vn曲線發(fā)生明顯轉(zhuǎn)折處的橫坐標(biāo)值計(jì)算得出，所以計(jì)算結(jié)果可能稍有出入。

圖7 突出發(fā)生時(shí)數(shù)據(jù)V 的長程趨勢(shì)圖

對(duì)已發(fā)生突出的時(shí)間序列數(shù)據(jù) （即第III、IV與V 組）的特征參數(shù)中可以看出，第III組數(shù)據(jù)的Hurst指數(shù)為0.7199，從圖5中可以看出，其Vn曲線的第一個(gè)小幅變化的橫坐標(biāo)處的值為1.462，第二個(gè)發(fā)生轉(zhuǎn)折的坐標(biāo)值為1.556，文中選取這一點(diǎn)作為計(jì)算其關(guān)聯(lián)長度的值，之后一個(gè)大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的坐標(biāo)值為1.949。第IV 組數(shù)據(jù)的Hurst指數(shù)為0.6556，從圖6中可以看出，Vn曲線的第一個(gè)小幅變化的橫坐標(biāo)處的值為1.462，第二個(gè)發(fā)生轉(zhuǎn)折的坐標(biāo)值為1.556，文中選取這一點(diǎn)作為計(jì)算其關(guān)聯(lián)長度的值，之后一個(gè)大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的坐標(biāo)值為1.949。第V 組數(shù)據(jù)的Hurst指數(shù)為0.6301，從圖7中可以看出，Vn曲線的第一個(gè)較明顯轉(zhuǎn)折處的橫坐標(biāo)值為1.415，之后的Vn曲線均出現(xiàn)較大幅度的波動(dòng)，特別是在2.161點(diǎn)之后出現(xiàn)了較大幅度的反趨勢(shì)，說明此時(shí)間序列的突變特性特別強(qiáng)，同樣從第III組數(shù)據(jù)的時(shí)間序列曲線中也可以看出，此次突出時(shí)瓦斯涌出量總體是呈現(xiàn)增長的趨勢(shì)，趨勢(shì)性較明顯，所以所求得的Hurst指數(shù)值較大；從第IV 組數(shù)據(jù)曲線中可以看出發(fā)生突出前瓦斯涌出量有兩次小的異常出現(xiàn)，但是在突出發(fā)生前卻表現(xiàn)的比較正常，所以其趨勢(shì)性沒有第III組強(qiáng)，但是通過Hurst指數(shù)的求取，發(fā)現(xiàn)其序列仍然具有正向趨勢(shì)性；從第V 組數(shù)據(jù)曲線中可以看出此次突出時(shí)其瓦斯含量的超限值較多，而且突出發(fā)生了兩次，且涌出的瓦斯量也是最大的，所以其非線性特性特別復(fù)雜、隨機(jī)性比上面幾種情況都要復(fù)雜，所以其Hurst指數(shù)值最接近0.5，但是由于其是實(shí)際的動(dòng)力學(xué)行為，所以并非純粹的隨機(jī)行為，表現(xiàn)的趨勢(shì)行為仍然為正趨勢(shì)。

4 結(jié)論

利用V／S法分析后發(fā)現(xiàn)，無論是發(fā)生突出時(shí)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，還是未突出的時(shí)間序列數(shù)據(jù)均表現(xiàn)出一定長程正相關(guān)性，說明未來的時(shí)間序列數(shù)據(jù)與之前的時(shí)間序列具有較強(qiáng)的正相關(guān)性。所以利用V／S法對(duì)掘進(jìn)工作面瓦斯涌出量時(shí)間序列的長程相關(guān)特性的研究結(jié)果可作為工作面瓦斯突出預(yù)報(bào)的一種輔助手段。

對(duì)于發(fā)生突出時(shí)的瓦斯涌出時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)分形特性的深入研究是建立在突出實(shí)例基礎(chǔ)之上，而這又與煤礦安全生產(chǎn)將相違背，所以利用V／S 分析法深入分析突出發(fā)生時(shí)的分形特性為突出時(shí)工作面瓦斯涌出量時(shí)間序列的分形特性尋找普遍規(guī)律還需要做大量的研究工作。

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