陳殿華，王向東，邵 兵

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京 210098)

由于混凝土是由水泥、砂、骨料、水等材料組成的復(fù)合材料，所以在實(shí)際工程中混凝土結(jié)構(gòu)難免會(huì)出現(xiàn)裂縫。為了確?；炷两Y(jié)構(gòu)的安全，裂縫的穩(wěn)定性分析和擴(kuò)展規(guī)律的研究是工程界普遍關(guān)心的問題［1-2］。

實(shí)驗(yàn)表明，混凝土結(jié)構(gòu)縫端存在微裂紋區(qū)，稱為損傷區(qū)域。隨著外界因素的作用，損傷區(qū)域不斷演化發(fā)展，導(dǎo)致裂縫向損傷區(qū)域內(nèi)擴(kuò)展，因此裂縫縫端損傷場(chǎng)及變化規(guī)律與裂縫擴(kuò)展密切相關(guān)［3-4］。目前，對(duì)于單一型裂縫的損傷方程、損傷場(chǎng)計(jì)算等研究成果較多［5-6］。對(duì)于Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型等單一型裂縫及Ⅰ～Ⅲ復(fù)合型裂縫的擴(kuò)展角研究大多是基于斷裂力學(xué)的方法［7-8］。根據(jù)損傷理論和斷裂理論［9-10］的經(jīng)典判據(jù)，包括應(yīng)力強(qiáng)度因子判據(jù)、能量判據(jù)等，可以從損傷的角度來研究裂縫擴(kuò)展角。Ⅱ型裂縫擴(kuò)展角相對(duì)比較復(fù)雜，所以本文基于Ⅰ型裂縫的損傷方程，推導(dǎo)出更適用于Ⅱ型裂縫的損傷演化方程，研究縫端損傷場(chǎng)的發(fā)展規(guī)律，將Ⅱ型裂縫縫端的損傷梯度出現(xiàn)極值時(shí)對(duì)應(yīng)的角度確定為Ⅱ型裂縫的擴(kuò)展角，并將該擴(kuò)展角與經(jīng)典判據(jù)得到的擴(kuò)展角進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證該方法的可行性。

1 單一型裂縫三維空間內(nèi)縫端應(yīng)變間的關(guān)系

材料相同的兩塊帶縫混凝土試件，分別在Ⅰ型裂縫和Ⅱ型裂縫損傷的受力情況下，對(duì)處于純剪狀態(tài)的Ⅱ型裂縫試件采用第二強(qiáng)度理論分析，對(duì)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)的Ⅰ型裂縫試件采用第一強(qiáng)度理論分析，得

由式(1)得

式中:τxz——切應(yīng)力;ν——混凝土的泊松比，ν∈(0.16，0.18)［11］;nτ——剪切安全因子;σ——混凝土材料的許用拉應(yīng)力;nσ——受拉形式下的安全因子。

假設(shè)外荷載產(chǎn)生的拉應(yīng)力σ1與τxz按一定的比例分別對(duì)兩塊混凝土試件加載，根據(jù)胡克定律、G=為剪切模量;E為彈性模量)和式(2)，得

式中:γxz——Ⅱ型裂縫切應(yīng)變;ε1——Ⅰ型裂縫線應(yīng)變。

2 建立Ⅱ型裂縫的損傷方程

Loland［12］在對(duì)混凝土等脆塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)力將要達(dá)到峰值應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系已經(jīng)不再是線性關(guān)系，表明在達(dá)到最大應(yīng)力之前，材料內(nèi)部已經(jīng)存在損傷，在峰值應(yīng)力之后，裂縫周圍材料的損傷積累并發(fā)展。

將裂縫混凝土單軸拉伸試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合可以得到損傷方程［13］:

式中:D0——混凝土初始損傷;C1、C2、β——材料常數(shù);εu、εc——極限拉應(yīng)變、峰值拉應(yīng)變。

根據(jù)式(3)和式(4)，可得適用于Ⅱ型裂縫用切應(yīng)變表示的損傷方程:

式中:γu、γc——極限切應(yīng)變、峰值切應(yīng)變。

根據(jù)G和E的關(guān)系，本文采用文獻(xiàn)［14］中由E研究得到的D0=0.05和峰值損傷Dc=0.18，其他參數(shù)為τc=2.1 MPa，γc=2×10-4，γu=10-3，τu=2.6 MPa，G0=1.4×104MPa，~G=1.3×104MPa。

由式(6)(7)可以得到λ=0.75，β=4，C1=2×1015，C2=938。

將材料常數(shù)代入式(5)得

由式(8)得到結(jié)論:隨著混凝土材料受損程度的不斷變大，應(yīng)變量逐漸變大。

3 混凝土Ⅱ型裂縫損傷區(qū)域分析

Ⅱ型裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)公式為

式中:r、θ——縫端極坐標(biāo);KⅡ——應(yīng)力強(qiáng)度因子。定義縫端的微裂紋區(qū)為縫端損傷區(qū)，由式(9)(10)求出第一、第三主應(yīng)力代入莫爾強(qiáng)度理論［11］，得到混凝土材料Ⅱ型裂縫試件裂縫尖端損傷區(qū)r的計(jì)算公式:

由式(12)得到Ⅱ型裂縫損傷演化規(guī)律如圖1所示。

圖1 Ⅱ型裂縫損傷演化示意圖Fig.1 Damage evolution schema of modeⅡcrack

4 Ⅱ型裂縫損傷梯度及擴(kuò)展角

4.1 計(jì)算

將τxy=G0(1-D)γxy帶入式(9)～(11)，得，進(jìn)行分析，得到縫尖損傷梯度的表達(dá)式為

將式(12)帶入式(13)，則縫尖損傷梯度與裂縫擴(kuò)展角的關(guān)系可以表示為

式中:τ——切向荷載在帶縫混凝土表面產(chǎn)生的切應(yīng)力。

裂縫的擴(kuò)展是由于隨著荷載的加大，材料所受的損傷也不斷變大造成的，其擴(kuò)展角必定是損傷梯度極大時(shí)對(duì)應(yīng)的θ。由式(14)得到極大時(shí)，M(θ)必定出現(xiàn)極大值。通過軟件計(jì)算，得到M(θ)～θ曲線圖(圖2)，最終得到M(θ)極大時(shí)對(duì)應(yīng)的θ分別為:4°，16°，26°，29°，39°，43°，52°，65°，79°。

4.2 驗(yàn)證

圖2 M(θ)隨擴(kuò)展角θ變化的規(guī)律Fig.2 Variation of M(θ)with propagation angle θ

根據(jù)經(jīng)典理論求得的Ⅱ型裂縫擴(kuò)展角約為79.3°［15］，本文方法所求得的裂縫擴(kuò)展角與經(jīng)典理論所求得的擴(kuò)展角誤差為0.3%，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

5 結(jié) 論

目前，對(duì)于裂縫擴(kuò)展角的研究大多是基于斷裂力學(xué)理論。本文從損傷角出發(fā)，由損傷梯度研究Ⅱ型裂縫擴(kuò)展方向的變化規(guī)律，得到了裂縫擴(kuò)展方向是按損傷梯度逐步增大的規(guī)律變化的結(jié)論，計(jì)算出Ⅱ型裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展角為79°，該結(jié)論與經(jīng)典理論求得的結(jié)果吻合很好，表明基于縫端損傷梯度研究裂縫擴(kuò)展角的可行性。

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