翁曉明 史小斌 顧 紅 蘇衛(wèi)民

（南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094）

引 言

隨機噪聲雷達是以隨機噪聲信號為發(fā)射信號的一類雷達.由于隨機噪聲信號的無規(guī)律性，隨機噪聲雷達會有一些不同于常規(guī)雷達的特性，包括強電子反對抗能力（Electronic Counter Countermeasure，ECCM）、低截獲概率（Low Probability of Intercept，LPI）、低識別概率（Low Probability of Detecting，LPD）等［1-3］.隨機噪聲信號具有“圖釘型”的模糊函數(shù)，因此不存在測距測速模糊［4-5］，同時由于隨機噪聲信號在頻域同樣具有隨機性，相同頻段的隨機噪聲雷達間的相互干擾很小，使得隨機噪聲雷達具有較高的頻譜利用率［6］.隨機噪聲雷達理論產(chǎn)生于20世紀(jì)50年代［7-8］，并于近些年應(yīng)用于近距離成像，穿墻成像等領(lǐng)域［9-11］，得到了較為廣泛的關(guān)注與發(fā)展.

如今，隨機噪聲雷達已由原先的直接發(fā)射非調(diào)制噪聲信號轉(zhuǎn)向發(fā)射通過噪聲調(diào)頻得到的信號［12］，其好處在于：噪聲調(diào)頻（Noise Frequency Modulation，NFM）信號的功率僅與載波功率有關(guān)，具有較低的峰均功率比（Peak to Average Power Ratio，PAPR）［13］；NFM信號在一定條件下具有高斯型的功率譜，從而具有單瓣的高斯型自相關(guān)函數(shù)，具有較高的峰值旁瓣比（Peak Side-Lobe Ratio，PSLR）［12，14］.但是高斯型 的功率譜存在一個問題，其理論上無窮的寬度與實際工程中有限的系統(tǒng)帶寬形成矛盾.在實際工程中，更多關(guān)心的是NFM信號所需的最低系統(tǒng)帶寬以及在此帶寬下的信號能量與距離分辨力.文獻［14-15］計算并給出了NFM信號的半功率帶寬（Half Power Bandwidth，HPB）以及均方根帶寬（Root Mean Square Bandwidth，RMSB）表達式，由于高斯型功率譜與傳統(tǒng)矩形功率譜相比，形狀上差別較大，兩種帶寬均不能表示NFM信號所需要的最低系統(tǒng)帶寬.文獻［16-17］推導(dǎo)了NFM信號的能量及距離分辨力表達式，但均未考慮系統(tǒng)帶限對于理論寬度無窮的高斯型功率譜的作用，以及由此帶來的對信號能量及距離分辨力的影響.

本文推導(dǎo)了在系統(tǒng)帶限的情況下，具有高斯型功率譜的NFM信號的能量與距離分辨力的精確數(shù)學(xué)表達式，指出了在不過度損失信號能量及距離分辨力的條件下NFM信號所需的最低系統(tǒng)帶寬，通過仿真實驗驗證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性.

1 噪聲調(diào)頻信號

NFM信號的時域復(fù)數(shù)形式表達式為

式中：A為幅度；T為脈寬；f0為載頻；rect（x）＝1，x≤｜0.5｜為矩形函數(shù)；信號相位θ（t）＝2πKfm為調(diào)制斜率，調(diào)制噪聲u（x）為廣義平穩(wěn)窄帶高斯白噪聲，其功率譜密度表達式為

式中fde＝Kfmσu為有效調(diào)制帶寬.由式（3）可以得到XdB帶寬與有效調(diào)制帶寬之間的關(guān)系為

圖1給出了有效調(diào)制帶寬fde＝15MHz時仿真與理論的NFM信號功率譜密度.由式（4），此參數(shù)下NFM信號的3dB帶寬（X＝3時）約為35 MHz，由于高斯函數(shù)具有較長拖尾，圖1中功率譜在頻率軸上占據(jù)的范圍遠大于35MHz，顯然工程中關(guān)心的NFM信號所需的系統(tǒng)帶寬無法用3dB帶寬準(zhǔn)確衡量.此參數(shù)下NFM信號的20dB帶寬（X＝20時）約為90MHz.從圖1中可以看到，超過±45MHz時信號功率譜幅度已經(jīng)低于-20dB，因此近似認為NFM信號的最大調(diào)制帶寬為其20dB帶寬.

圖1 NFM信號在fde＝15MHz時理論與仿真的功率譜密度

2 信號能量

由式（1），幅度為A、脈寬為T的NFM信號總能量為［16］

實際信號處理系統(tǒng)帶寬必然有限，為了避免混疊，信號需要通過抗混疊濾波器強制帶限至系統(tǒng)帶寬.理想的抗混疊濾波器的頻率響應(yīng)為

式中Ωc為濾波器帶寬.由于高斯型功率譜具有無窮的寬度，通過抗混疊濾波器后，NFM信號能量會有一定的損失.由式（3）及式（6），通過抗混疊濾波器后，幅度為A、脈寬為T的NFM信號能量為

式中erf-1（·）表示誤差函數(shù)的反函數(shù).舉例來說，若希望因帶限造成的NFM信號能量損失小于其總能量的5%，即α＞0.95，由式（8）得到Ωc＞3.92 fde，又由式（4）得到3.92fde≈9dB帶寬.綜上可知，能量損失小于5%所需的抗混疊濾波器帶寬或者說系統(tǒng)帶寬應(yīng)至少大于NFM信號的9dB帶寬.

3 距離分辨力

根據(jù)Wiener-Khinchine定理，NFM信號的自相關(guān)函數(shù)為其功率譜的傅里葉逆變換，即由式（3）的傅里葉逆變換得到

式中F-1（·）表示對于頻率f的傅里葉逆變換.圖2給出了有效調(diào)制帶寬為15MHz時NFM信號仿真與理論的自相關(guān)函數(shù).由圖2，NFM信號的自相關(guān)函數(shù)僅具有單一主瓣，旁瓣表現(xiàn)為均勻噪聲基底且幅度較低［12，18］，因此，其自相關(guān)函數(shù)的-3dB主瓣寬度可以較準(zhǔn)確地衡量其距離分辨力.令C（tρ）代入式（9），得到時間量綱下NFM信號自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣寬度，即距離分辨力為

系統(tǒng)帶限時，由于抗混疊濾波器對于高斯型功率譜形狀的修正，自相關(guān)函數(shù)主瓣存在一定程度的展寬，距離分辨力會有所下降.考慮由式（6）表示的抗混疊濾波器的影響，式（9）修正為

式中?為卷積符號，且有

式中sinc（x）＝sin（πx）／（πx）.式（11）中sinc函數(shù)與高斯函數(shù)的卷積無法計算得到解析表達式，需要對式（12）做近似處理.根據(jù)Taylor展開，在x＝0點附近可以近似認為sinc（x）≈exp（-π2x2／6），同時考慮到當(dāng)Ωc與fde相近時，Ha（f）在邊緣處應(yīng)具有陡峭的衰減，體現(xiàn)出其帶限作用；當(dāng)Ωc?fde時，Ha（f）應(yīng)近似為一矩形函數(shù)，具有較為平坦的幅頻響應(yīng).綜上，對ha（t）作如下近似：當(dāng)Ωc／fde＜6時，ha（t）的近似高斯函數(shù)表達式為

當(dāng)Ωc／fde≥6時，ha（t）主峰寬度要比C（t）窄得多，近似認為ha（t）＝δ（t）為一個沖激函數(shù).則式（11）可以改寫成

圖2 NFM信號在fde＝15MHz時理論與仿真的自相關(guān)函數(shù)

由式（15）可知，當(dāng)Ωc／fde＜6時，NFM信號自相關(guān)函數(shù)主瓣寬度因為多了一項foc而有所展寬；當(dāng)Ωc／fde≥6時，近似認為系統(tǒng)帶限對NFM信號沒有影響，其自相關(guān)函數(shù)主瓣寬度沒有變化.此處同樣以Ωc等于9dB帶寬為例，由前文所述可知此時Ωc≈4fde，代回式（15），得到.即由于帶限的影響，NFM信號的自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣展寬了約倍.由于主瓣展寬程度隨著foc的增大而減小，可知展寬不超過原寬度的1.12倍所需的抗混疊濾波器帶寬，或者說系統(tǒng)帶寬應(yīng)至少大于NFM信號的9dB帶寬.

4 仿真實驗

以下通過仿真實驗驗證前文結(jié)論的正確性.仿真信號為具有高斯型功率譜的NFM信號，仿真參數(shù)：信號脈寬為50μs，有效調(diào)制帶寬（fde）為15 MHz，抗混疊濾波器帶寬（Ωc）從NFM信號的1dB帶寬（約20.4MHz）變化至25dB帶寬（約101.8MHz）.

圖3給出了在不同抗混疊濾波器帶寬（Ωc）時，NFM信號能量的理論與仿真曲線.圖3縱坐標(biāo)為濾波后與濾波前NFM信號能量之比，橫坐標(biāo)為抗混疊濾波器帶寬Ωc（換算為XdB帶寬）.仿真曲線與理論曲線吻合.由圖3可知，Ωc／fde越大，El／E∞越大，能量的損失越小.當(dāng)Ωc＞9dB帶寬時，El／E∞＞0.958，此時帶限造成的能量損失小于信號總能量的5%.當(dāng)Ωc＞20dB帶寬時，El／E∞＞0.99，幾乎不存在能量損失，與式（7）的結(jié)論相吻合.

圖3 NFM信號在不同Ωc時理論與仿真的能量

圖4給出了在不同抗混疊濾波器帶寬（Ωc）時，NFM信號自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣寬度，即信號距離分辨力的理論與仿真曲線.圖4縱坐標(biāo)為濾波后與濾波前NFM信號自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣寬度之比，橫坐標(biāo)為抗混疊濾波器帶寬Ωc（換算為XdB帶寬）.仿真曲線與理論曲線吻合，圖4中誤差主要來自式（13）的近似處理.由圖4可知，Ωc／fde越大，ρl／ρ∞越小，主瓣展寬程度越小.同樣可以看到，當(dāng)Ωc＝9dB帶寬時，ρl／ρ∞＝1.118，即主瓣展寬為原寬度的1.118倍.當(dāng)Ωc＞20dB帶寬時，ρl／ρ∞≈1，其主瓣寬度幾乎沒有任何展寬，與式（15）的結(jié)論相吻合.

圖4 NFM信號在不同Ωc時理論與仿真的距離分辨力

由圖3以及圖4還可知，若信號處理系統(tǒng)帶寬以NFM信號的3dB帶寬（半功率帶寬，約等于2.35倍有效調(diào)制帶寬）為設(shè)計依據(jù)，能量損失超過信號總能量的23%，主瓣展寬超過原寬度的1.5倍，顯然與設(shè)計初衷不符，故3dB帶寬明顯小于NFM信號所需的最低系統(tǒng)帶寬.當(dāng)系統(tǒng)帶寬不低于NFM信號的9dB帶寬（約等于4倍有效調(diào)制帶寬）時，信號能量損失不超過5%，主瓣展寬不超過12%，可近似認為9dB帶寬為NFM信號所需的最低系統(tǒng)帶寬.當(dāng)系統(tǒng)帶寬不低于NFM信號的20dB帶寬（最大調(diào)制帶寬，約等于6倍有效調(diào)制帶寬）時，信號能量以及主瓣展寬程度均小于1%，幾乎可以忽略不計，但與系統(tǒng)帶寬限定于9dB帶寬相比，所需的系統(tǒng)帶寬提高了50%，而信號能量及距離分辨力的提高并不明顯，說明最大調(diào)制帶寬作為NFM信號的系統(tǒng)帶寬過寬，實際對系統(tǒng)資源造成了一定的浪費.

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了在帶限情況下，具有高斯型功率譜的NFM信號能量與距離分辨力的數(shù)學(xué)表達式，并指出NFM信號所需的系統(tǒng)帶寬應(yīng)大于等于其9dB帶寬以使得信號能量與距離分辨力均不會因帶限而產(chǎn)生較大損失，同時應(yīng)小于等于其20dB帶寬以避免對于系統(tǒng)資源的浪費.實際工程中，也可根據(jù)需求，直接利用式（7）及式（15）推算出NFM信號能量、距離分辨力與所需系統(tǒng)帶寬等參數(shù)，為NFM信號的波形設(shè)計提供理論依據(jù).

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