孫慶昭

（中機中聯(lián)工程有限公司，重慶400039）

ABAQUS混凝土塑性損傷模型概述

孫慶昭

（中機中聯(lián)工程有限公司，重慶400039）

該文對大型非線性有限元分析軟件ABAQUS中的混凝土塑性損傷模型進行了詳細的介紹。著重討論了混凝土塑性損傷模型的基本理論和損傷因子基于《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB50010-2010）[4]附錄C應(yīng)力-應(yīng)變曲線的計算方法。同時也對ABAQUS中塑性損傷材料模型的滯回規(guī)則、屈服準則和流動法則作了簡要介紹。

塑性損傷；ABAQUS；損傷因子；滯回規(guī)則；屈服準則；流動法則；混凝土

0 引言

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)在土木工程中的應(yīng)用非常廣泛。對于常規(guī)的建筑結(jié)構(gòu)，多止步于彈性階段的結(jié)構(gòu)設(shè)計，并沒有過多地考察其非線性特性。但是隨著建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計要求的提高、經(jīng)濟投資的加大，越來越多的超限結(jié)構(gòu)需要進行彈性設(shè)計以外的彈塑性時程分析驗算，以獲得結(jié)構(gòu)體系在地震往復(fù)作用下的反應(yīng)。近年來，隨著有限元理論和電子計算機的飛速發(fā)展，大大促進了鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析。ABAQUS作為具有強大非線性計算能力的通用有限元分析軟件在土木工程結(jié)構(gòu)計算中得到了廣泛應(yīng)用。

在ABAQUS中，為混凝土材料定義了一種材料模型——塑性損傷模型，它可以模擬混凝土材料的拉裂和壓碎等力學(xué)現(xiàn)象。ABAQUS中的塑性損傷模型是在Lubliner[1]和Lee and Fenves[2]模型的基礎(chǔ)上建立的。該模型使用各向同性損傷彈性結(jié)合各向同性拉伸和壓縮塑性的模式來表示混凝土的非彈性行為，是一個基于塑性的連續(xù)介質(zhì)損傷模型。同時，它基于各向相同破壞的假設(shè)，可用于單向加載、循環(huán)加載及動態(tài)加載等情況，同時考慮了由于拉壓塑性應(yīng)變導(dǎo)致的彈性剛度的退化以及循環(huán)荷載作用下的剛度恢復(fù)，具有較好的收斂性[3]。

1 ABAQUS塑性損傷模型理論

ABAQUS要求用戶填入的是混凝土單軸的拉伸和壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的一些特征點數(shù)據(jù)，它可以直接被調(diào)用而用于ABAQUS中的一維梁單元，對于二維殼單元和三維實體單元，程序會自動運用廣義胡克定律（彈性）和塑性位勢理論（彈塑性）確定二維和三維應(yīng)力狀態(tài)下的空間應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

混凝土材料單軸拉伸和壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線（如圖1）顯示：應(yīng)力-應(yīng)變曲線存在下降段，應(yīng)力超過彈性范圍以后卸載時存在剛度退化現(xiàn)象，這與混凝土材料內(nèi)部存在微小裂縫（損傷）有關(guān)。

圖1 混凝土單軸拉伸和壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線（上圖：拉伸；下圖：壓縮）

混凝土塑性損傷模型的受拉應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)在ABAQUS中以的形式輸入。其中稱為開裂應(yīng)變，其被定義為總應(yīng)變減去材料無損傷的彈性應(yīng)變，

當拉應(yīng)力超過彈性極限σt0后，將按(1-dt)E0的退化剛度卸載，dt稱為受拉損傷因子，它是受拉等效塑性應(yīng)變的非減函數(shù)，其取值范圍在0（無損傷）到1（完全損傷）之間。受拉損傷數(shù)據(jù)以的形式輸入到程序中，程序自動按下式將開裂應(yīng)變轉(zhuǎn)化為等效塑性應(yīng)變

混凝土塑性損傷模型的受壓應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)在ABAQUS中以的形式輸入。其中稱為受壓非彈性應(yīng)變，其被定義為總應(yīng)變減去材料無損傷的彈性應(yīng)變

當壓應(yīng)力超過彈性極限σco后，將按(1-dc)E0的退化剛度卸載，dc稱為受壓損傷因子，它是受壓等效塑性應(yīng)變的非減函數(shù)，其取值范圍在0（無損傷）到1（完全損傷）之間。受壓損傷數(shù)據(jù)以的形式輸入到程序中，程序自動按下式將開裂應(yīng)變轉(zhuǎn)化為等效塑性應(yīng)變

2 損傷因子的取值

ABAQUS需要用戶輸入的材料信息包括混凝土材料的單軸的受壓、受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線以及受壓、受拉時的損傷因子-非彈性應(yīng)變曲線（僅輸入曲線上的一組離散點，程序會自動根據(jù)所輸入的離散點進行擬合，因此離散點的選擇至關(guān)重要）。材料本構(gòu)曲線和損傷因子曲線一般通過實驗得到，當缺少實驗數(shù)據(jù)時，可以結(jié)合《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB50010-2010）[4]附錄C提供的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線利用能量等價原理計算得到所需參數(shù)。

規(guī)范[4]給出的混凝土單軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示，其中ft,r、fc,r分別為混凝土單軸抗拉、抗壓強度代表值；εt,r、εc,r分別為與單軸抗拉強度代表值和單軸抗壓強度代表值對應(yīng)的混凝土峰值應(yīng)變。

圖2 混凝土單軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線

混凝土單軸受拉的應(yīng)力應(yīng)變曲線公式如下：

當x≤1時，

當x＞1時，

αt為混凝土單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段的參數(shù)值，按規(guī)范[4]表C.2.3取用。

當x≤1時，

當x＞1時，

Sidiroff的能量等價原理認為，應(yīng)力作用在受損材料產(chǎn)生的彈性余能與作用在無損材料產(chǎn)生的彈性余能在形式上是相同的[5]，只要將應(yīng)力改為等效應(yīng)力，或?qū)椥阅Ａ扛臑閾p傷時的等效彈性模量即可。

無損傷材料彈性余能：

等效有損傷材料彈性余能：

將式（12）歸一化得：

將式（8）、式（9）分別與式（13）對應(yīng)，即可解出：

當x≤1時，

當x＞1時，

同理，可得單軸受壓損傷因子計算公式如下：當x≤1時，

當x＞1時，

3 滯回規(guī)則

ABAQUS中混凝土塑性損傷模型的滯回準則由損傷因子d和剛度恢復(fù)系數(shù)ω共同決定。剛度恢復(fù)系數(shù)ω分為受拉剛度恢復(fù)系數(shù)ωt和受壓剛度恢復(fù)系數(shù)ωc，分別表示混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線從受壓區(qū)過渡到受拉區(qū)和從受拉區(qū)過渡到受壓區(qū)時，彈性模量的變化程度。ωc=1表示混凝土從受拉區(qū)進入受壓區(qū)時彈性模量可完全恢復(fù)至上一次受壓卸載時的彈性模量，ωc=0表示混凝土彈性模量不能恢復(fù)，如圖3所示。ωt=1表示混凝土從受壓區(qū)進入受拉區(qū)時彈性模量可完全恢復(fù)至上一次受拉卸載時的彈性模量，ωt=0表示混凝土彈性模量不能恢復(fù)[6]。

圖3 受壓剛度恢復(fù)因子ωc影響示意圖

很多準脆性材料（混凝土）的試驗表明，當從拉應(yīng)力變到壓應(yīng)力時，由于裂紋閉合，受壓剛度將會恢復(fù)。但是另一方面，當受壓的微裂紋壓碎時，由受壓變?yōu)槭芾瓡r的受拉剛度將不會恢復(fù)。鑒于此，ABAQUS默認條件下，假定ωt=0及ωc=1，即只有受壓剛度恢復(fù)而沒有受拉剛度恢復(fù)[3]。圖4為默認條件下的一個應(yīng)力循環(huán)的曲線圖。

圖4 默認條件下（ωt=0及ωc=1）單軸應(yīng)力循環(huán)曲線圖（拉-壓-拉）

4 屈服準則

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，物體內(nèi)某一點開始產(chǎn)生塑性變形時，應(yīng)力必須滿足一定的條件，它就是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服準則。一般來說，它應(yīng)是6個應(yīng)力分量的函數(shù)，可表示為：式中，C為與材料有關(guān)的常數(shù)，F(xiàn)為屈服函數(shù)[7]。

ABAQUS中混凝土塑性損傷模型采用的屈服準則是基于Lubliner等人（1989）[1]建議的屈服函數(shù)，它綜合了Lee and Fenves（1998）[2]的修正以考慮拉壓不同時強度的不同演化規(guī)律。用有效應(yīng)力表達時的屈服函數(shù)為：

5 流動法則

材料在初始彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，即廣義胡克定律。進入塑性狀態(tài)以后，一般來說，不再存在著應(yīng)力與應(yīng)變之間的一一對應(yīng)關(guān)系，只能建立應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系。這種用增量形式表示的材料本構(gòu)關(guān)系，稱為增量理論或流動法則[7]。流動法則是關(guān)于塑性應(yīng)變增量方向的假定準則，經(jīng)典塑性位勢理論假定塑性應(yīng)變增量方向滿足正交流動規(guī)則，即塑性應(yīng)變增量ε&pl的方向與塑性勢函數(shù)的梯度方向或塑性勢面的外法線方向一致。其數(shù)學(xué)表達式為：

式中λ&是一個非負的標量因子，表示塑性應(yīng)變增量的大?。籕為塑性勢函數(shù)。

如果假定塑性勢函數(shù)等于加載函數(shù)或屈服函數(shù)，即Q=F，這樣塑性勢函數(shù)與加載函數(shù)或屈服函數(shù)相關(guān)聯(lián)，稱為相關(guān)聯(lián)的流動法則；如果Q≠F，則ε&pl的方向與加載面或屈服面不正交，但仍與塑性勢面正交，這時稱為不相關(guān)聯(lián)的流動法則，這樣塑性勢函數(shù)的選取就非唯一。

ABAQUS中混凝土塑性損傷模型采用的是非關(guān)聯(lián)流動法則，其塑性勢的數(shù)學(xué)表達式取為Drucker-Prager雙曲面函數(shù)的形式：

式中ψ為膨脹角，σt0是單軸抗拉強度，∈是勢函數(shù)偏心率。

6 結(jié)語

本文詳細介紹了ABAQUS混凝土塑性損傷模型的基本理論，基于能量等效原理推導(dǎo)了與現(xiàn)行《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB50010-2010）[4]附錄C提供的混凝土受壓和受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線對應(yīng)的損傷因子計算公式。并對復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性有限元分析中較難理解的滯回規(guī)則、屈服準則以及流動法則進行了簡單闡述，有助于工程界對ABAQUS軟件和彈塑性有限元分析理論的理解與掌握。

[1]Lubliner J，Oliver J，Oller S，et al.A Plastic-damage model for concrete[J].International Journal of Solids and Structures，1989，25（3）:299-326.

[2]Lee J，F(xiàn)enves G L.Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures[J].Journal of Engineering Mechanics，1998，124（8）:892-900.

[3]ABAQUS analysis user’s manual v6.10[M].ABAQUS Inc，2010.

[4]中華人民共和國國家標準.GB50010-2010?混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[S].北京:中國建筑工業(yè)出版社,2010.

[5]李兆霞.損傷力學(xué)及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2002.

[6]聶建國，王宇航.ABAQUS中混凝土本構(gòu)模型用于模擬結(jié)構(gòu)靜力行為的比較研究[J].工程力學(xué)，2013，30（4）:59-67，82.

[7]朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用[M].北京:中國水利水電出版社，2009.

責任編輯：孫蘇

An Overview of Plastic Damage Model of ABAQUS Concrete

Concrete plastic damage model in nonlinear finite element analysis software ABAQUS is introduced in detail.The basic theories of concrete plastic damage model and the calculation methods of the damage factors based on stress-strain curve in appendix C of Code for Concrete Structures Design（GB50010-2010）[4]are discussed in particular.Also,the hysteresis rules，yield criterion and flow rule for plastic damage material model in ABAQUS are introduced for reference.

plastic damage;ABAQUS;damage factor;hysteresis rules;yield criterion;flow rule;concrete

TU313

A

1671-9107（2014）11-0070-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2014.11.070

2014-10-23

孫慶昭（1989-），男，河南虞城人，本科，主要從事建筑設(shè)計工作。