李云飛，陳振茂

（1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900；2.西安交通大學航天航空學院，陜西 西安 710049）

Ar瞬態(tài)方程非線性渦流檢測信號數(shù)值模擬研究

李云飛1，陳振茂2

（1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621900；2.西安交通大學航天航空學院，陜西 西安 710049）

針對一個簡化的三維鐵磁性材料數(shù)值計算模型，對其非線性渦流檢測信號進行數(shù)值模擬研究?；贏r瞬態(tài)方程的基本原理改良并開發(fā)用于計算非線性渦流檢測信號的數(shù)值模擬程序，得出非線性渦流檢測信號與磁性材料因塑性變形而產(chǎn)生的磁導率變化之間的相關(guān)性。對比非線性渦流數(shù)值模擬結(jié)果和實驗檢測結(jié)果表明：塑性變形導致的磁導率變化是非線性渦流檢測信號變化的直接誘因。

非線性渦流；磁性材料；數(shù)值模擬；塑性變形

0 引 言

碳素鋼等鐵磁材料因其良好的機械性能和耐腐蝕性被用作核電站中主要結(jié)構(gòu)材料。因地震等強載荷產(chǎn)生的塑性變形等損傷可能導致結(jié)構(gòu)材料斷裂和失效，進而引發(fā)核電事故。因此，結(jié)構(gòu)材料塑性變形等機械損傷的定量無損檢測和評價成為保證核電安全的關(guān)鍵技術(shù)。

國內(nèi)對于塑性變形損傷的傳統(tǒng)評價方法主要有基于金相分析、硬度壓痕測試和X射線衍射法等，屬于破壞性測試或者無法在現(xiàn)場使用。國外基于非線性渦流檢測的研究：日本M.SHIWA[1]研究發(fā)現(xiàn)，非線性渦流信號頻譜分析后的三次諧波分量幅值隨鉻鉬鋼焊后熱處理溫度發(fā)生顯著變化；日本東北大學T.TAKAGI和T.UCHIMOTO[2-4]研究過非線性渦流信號與石墨鑄鐵中白口含量以及鑄鐵內(nèi)石墨形態(tài)特征的相關(guān)性。

作者前期采用非線性渦流檢測對碳素鋼材料的塑性損傷評價做過一定研究[5]，而國內(nèi)外關(guān)于非線性渦流檢測的數(shù)值模擬鮮見報道。本文作為非線性渦流數(shù)值模擬的一個嘗試，基于Ar瞬態(tài)方程和Crank-Nicholson直接積分法首次開發(fā)了非線性渦流數(shù)值模擬程序，并且對比數(shù)值模擬結(jié)果與實驗檢測結(jié)果。

1 Ar瞬態(tài)方程

磁準靜態(tài)場（MQS）的麥克斯韋方程忽略位移電流密度項，其微分形式的基本方程組為

式中：H——磁場強度，A/m；

J——電流面密度，A/m2；

E——電場強度，V/m；

B——磁感應強度，T；

D——電通密度，C/m2；

ρ——電荷體密度，C/m3。

由于磁場B是無源場，所以有▽·B=0，引入一個矢量函數(shù)A（稱為磁矢量）使得B=▽×A，推導可得：

對全體分析區(qū)域進行劃分，并定義各個劃分區(qū)域（見圖1）。

圖1 Ar法計算區(qū)域劃分

全體區(qū)域：衰減區(qū)域+混合區(qū)域+正常區(qū)域。

衰減區(qū)域：僅由變形矢量磁位Ar記述的區(qū)域Vr。

混合區(qū)域：Ar和僅依賴電流源的As相混合的一層有限元區(qū)域Vtr。

正常區(qū)域：由通常矢量磁位A=（Ar+As）記述的區(qū)域Vt。

導體區(qū)域：包含在正常區(qū)域中的導體區(qū)域。

其中A=Ar+As，Ar稱為變形磁矢位，As是僅僅由電流源所產(chǎn)生的磁矢位。由于在Ar法中僅依賴電流源的場As和僅依賴渦電流源的場Ar是獨立考慮的，所以不劃分電流源的網(wǎng)格。

利用六面體棱邊元方法對Ar方法的控制方程式（9）～式（12）進行有限元離散可得伽遼金有限元方程：

式中：[N]——矢量形狀函數(shù)；

n——單位法線矢量。

可簡寫為

2 數(shù)值模擬方法與程序開發(fā)

本文將非線性渦流數(shù)值模擬作為瞬態(tài)問題處理，基于Ar方法的低頻渦流場控制方程式（14）可寫成

式中：[K]，[C]，[M]——全局系數(shù)矩陣；

I（t）——依賴于時間函數(shù)的激勵電流，本文采用正弦激勵電流；

A——矢量磁位，Wb/m。

對于瞬態(tài)問題，矢量磁位A關(guān)于時間的導數(shù)?A/?t可由關(guān)于時間步的差分（Ak-Ak-1）/Δt近似計算，其中Ak=A（t0+kt），k表示第k次時間步，t表示時間步長，t0表示初始時間。為了提高計算穩(wěn)定性，矢量磁位A可由Crank-Nicholson直接積分法替換。

其中0≤θ≤1是控制積分穩(wěn)定性的參數(shù)。

將式（16）代入式（15），則當前步的矢量磁位A可通過下式計算：

對于常規(guī)渦流法的數(shù)值模擬通常將材料的磁導率視為定值來處理，這與鐵磁材料實際磁化曲線不符。因控制方程的剛度矩陣與單元的磁導率相關(guān)，本文將所有導體單元的磁導率定義為一個數(shù)組，以每個單元中心的磁感應強度作為判定參數(shù)，滿足一定條件則對該單元的磁導率進行重新賦值，然后進入下一個積分時間步。直至所有積分時間步計算完成，輸出所有時間步檢測線圈的電壓檢測值。

利用定長時間步的Crank-Nicholson直接積分法改良Ar法的數(shù)值模擬程序，在逐步積分法的每個時間步中導入碳素鋼磁導率μ和磁感應強度B的非線性磁化曲線，通過非線性磁化曲線對磁導率進行重新賦值，而不同于常規(guī)渦流法中將磁導率視為一個定值來處理。圖2為碳素鋼μ-B近似磁化關(guān)系曲線[6]。

圖2 碳素鋼μ-B關(guān)系曲線

將μ-B關(guān)系曲線近似分為若干個區(qū)間，通過式（17）計算出矢量磁位A，從而可以計算出磁感應強度B。如果某一積分時間步計算所得的單元中心磁感應強度B滿足Bi＜B＜Bi+1，則通過下式迭代方法對該單元磁導率重新賦值：

重新賦值后的磁導率進行單元剛度陣組裝并進行下一次的積分時間步的信號計算，最后輸出所有時間步的檢測信號。由此，利用基于Ar方法并改良后的程序可計算得出非線性渦流模擬信號。

3 模型算例與結(jié)果分析

利用定長時間步的Crank-Nicholson直接積分法改良Ar法數(shù)值模擬程序，在逐步積分法的時間步中導入碳素鋼的非線性磁化曲線，可獲取非線性渦流的數(shù)值模擬信號。圖3為非線性渦流法的數(shù)值計算模型，為了提高計算速度，采用有限元和棱邊元方法對整個分析區(qū)域進行離散，將導體外電流源的作用等效在導體的邊界上，因此線圈是不需要網(wǎng)格劃分的，只需要對導體區(qū)域和空氣區(qū)域進行網(wǎng)格劃分。算例中激勵線圈和檢出線圈直徑為15mm，高為3mm，匝數(shù)為500匝。

根據(jù)導入的非線性磁化曲線，采用改良后的Ar法數(shù)值模擬程序計算得到在任意激勵頻率下的非線性渦流檢測信號。在激勵線圈中施加一正弦電流，圖4為檢出線圈中得到的檢測信號與正弦激勵信號對比圖，從圖中可知檢測信號不完全是一正弦信號，也出現(xiàn)了倍頻信號。

圖3 非線性渦流數(shù)值計算模型

圖4 檢測線圈的非線性渦流模擬信號

因碳素鋼塑性變形后會產(chǎn)生反磁致伸縮效應，并且導致材料的磁各向異性，使磁疇無法自由移動，從而影響材料的電磁特性[7-10]。根據(jù)該原理，本文在非線性渦流檢測信號的數(shù)值模擬中通過改變材料不同的初始磁導率，等效模擬材料不同程度塑性變形的情況。對所得到的檢測信號進行傅里葉變換的頻譜分析，得到信號的功率頻譜圖如圖5所示，圖中可見基波和高次諧波的波峰。

在數(shù)值模擬中任意選取10kHz作為激勵頻率，計算得到不同初始磁導率情況下材料的非線性渦流信號，提取檢測信號頻譜圖中基波、三次諧波對應的幅值參數(shù)，可得到不同初始磁導率（即不同塑性變形）下的關(guān)系結(jié)果，如圖6所示。

圖5 非線性渦流模擬信號頻譜圖

圖6 幅值與塑性變性關(guān)系

可發(fā)現(xiàn)非線性渦流模擬信號頻譜圖中基波幅值和三次諧波隨材料的初始磁導率即塑性變形程度的增大出現(xiàn)下降的趨勢，這一趨勢與此前實驗研究中碳素鋼的實驗檢測結(jié)果是一致的[5]。

4 結(jié)束語

本文基于Ar方法，采用Crank-Nicholson直接積分法改良開發(fā)了非線性渦流數(shù)值模擬程序。對簡化的磁性材料三維模型，以不同初始磁導率等效材料不同塑性損傷，計算得到不同損傷程度下非線性渦流信號。提取信號中基波幅值和三次諧波幅值，得出與塑性損傷之間關(guān)系曲線。通過對比，該關(guān)系曲線與此前實驗研究中碳素鋼的實驗檢測結(jié)果是一致的，證明了塑性變形導致的磁導率變化是非線性渦流檢測信號變化的直接誘因，也驗證了非線性渦流檢測對碳素鋼等磁性材料塑性變形無損定量評價的可行性。

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Numerical simulation method of nonlinear eddy current testing signals based on transient Ar formulation

LI Yun-fei1，CHEN Zhen-mao2
（1.Institute of Systems Engineering，CAEP，Mianyang 621900，China；2.School of Aerospace，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China）

For a simplified three-dimensional numerical model of magnetic materials，numerical simulation research of nonlineareddy currentdetection signal of the model wascarried out. Numerical simulation program used to calculate nonlinear eddy current detection signal was improved and developed based on Ar method principle.Furthermore，relationship between nonlinear eddy currentdetection signaland permeability variation caused by plastic deformation ofmagnetic materials was obtained.It is proved that the permeability variation caused by plastic deformation be the direct incentive of nonlinear eddy current detection signal’s change through comparing the results of numerical simulation with experimental testing results.

nonlinear eddy current；magnetic material；numerical simulation；plastic deformation

TG115.28；O482.54；TN911.7；TM930.114

：A

：1674-5124（2014)06-0006-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2014.06.002

2014-01-22；

：2014-03-16

國家自然科學基金項目（50977070，11372295，11302206）

李云飛（1986-），男，廣西桂林市人，工程師，碩士，研究方向為電磁無損檢測與評價。