王 浪， 張京英， 楊 薇， 樊 瓊

（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

基于裝配自由度分析解決欠約束問題

王 浪， 張京英， 楊 薇， 樊 瓊

（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

裝配是機(jī)械制造過程中的一個重要環(huán)節(jié)，在裝配過程中，經(jīng)常會遇到欠約束問題。在復(fù)雜裝配環(huán)境下，某個裝配零件的欠約束會對其他零件的裝配產(chǎn)生意想不到的結(jié)果。裝配時，約束條件和零件自由度之間存在一種內(nèi)在聯(lián)系，通過建立基體和目標(biāo)零件的自由度空間坐標(biāo)系，對約束條件和自由度關(guān)系分析，得到約束條件和自由度關(guān)系的邏輯值，通過邏輯值判斷剩余自由度的個數(shù)和類型，從而為快速解決欠約束問題提供了一種途徑。

欠約束；自由度分析；邏輯值；裝配；空間坐標(biāo)系

裝配是機(jī)械制造過程中的一個重要環(huán)節(jié)。產(chǎn)品裝配所需工時占產(chǎn)品生產(chǎn)制造總工時的40%～60%[1]。裝配求解問題是三維幾何造型中的基本問題，其實質(zhì)是約束滿足問題，即通過一組幾何裝配約束推理求得實體的空間位置和方向[2]。

欠約束是指零件在裝配時，沒有被完全約束，能在某個方向運動。在裝配體比較簡單時，欠約束問題不明顯，但是在大型復(fù)雜的裝配體中，如果某個零件存在欠約束，那么以此零件表面為約束條件的零件以及其他相關(guān)的零件就會在裝配時發(fā)生錯亂，產(chǎn)生意想不到的結(jié)果，這就是欠約束問題帶來的麻煩。欠約束問題經(jīng)常體現(xiàn)在軸與孔的裝配約束中，當(dāng)某個螺釘需要裝配在板件的孔上時，通常采用軸對齊和貼合兩種約束方式就能在外觀上達(dá)到基本的裝配要求，但螺釘還是可以繞軸線旋轉(zhuǎn)，這就是欠約束。傳統(tǒng)上習(xí)慣的做法是置之不理，因為零件已經(jīng)達(dá)到基本的裝配要求。如果要解決這個欠約束，傳統(tǒng)通常是在螺釘和板件上新建兩個平面，利用平面約束關(guān)系來限制螺釘?shù)霓D(zhuǎn)動，但在大型復(fù)雜的裝配體中操作非常繁瑣。

針對欠約束問題，為使得零件完全被約束，本文通過建立自由度空間坐標(biāo)系，找出自由度和約束條件的相互關(guān)系，得到邏輯值，為快速解決欠約束問題提供了一條有效的途徑。

1 剛體自由度和常見約束類型歸類

1.1 剛體自由度

自由度分析法是一項用以求解一組剛體的位置和方向以滿足特定幾何約束的技術(shù)[3]。自由度是確定一個幾何體或系統(tǒng)所必需的獨立的坐標(biāo)或參數(shù)的個數(shù)[4]。一個剛體在空間任意運動時，可分解為 3個平動自由度和 3個轉(zhuǎn)動自由度。如圖1所示，在空間坐標(biāo)系中，一個沒有受到平任動何自約由束度的可剛表體示，為沿、著X，和Y→，, Z繞軸X方，向Y，的Z3個軸方向的3轉(zhuǎn)動自由度可表示為 Rx、 Ry和 Rz。

圖1 剛體的自由度空間坐標(biāo)系

1.2 常見約束類型

零件裝配的過程實際上就是使被裝配的零件逐步滿足約束的過程[5]，零件之間的約束是通過兩個零件上的幾何元素的不同配合來完成的[6]。常見約束類型如表1所示，這些約束類型在本質(zhì)上是一致的，都是由平面+平面、線+線或平面+線的約束組成，因此，零件裝配過程主要是由這3種約束來限制零件的運動，使零件的自由度完全為零。

表1 約束類型

2 建立約束條件和自由度的關(guān)系，計算邏輯值

2.1 建立自由度空間坐標(biāo)系

在零件裝配過程中，平面約束和軸約束是裝配過程中遇到最多的約束，下面主要對這兩種約束類型的自由度進(jìn)行分析。在零件裝配過程中，定義已經(jīng)被完全約束自由度為零的零件稱為基體，建立基體的空間自由度坐標(biāo)系如圖2(a)所示，定義這個基體的空間自由度坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，基體自由度為零，但是平動和轉(zhuǎn)動的自由度方向依然存在。定義待裝配的零件為目標(biāo)零件，建立目標(biāo)零件的空間自由度坐標(biāo)系如圖2(b)所示，目標(biāo)零件有沿 X1， Y1， Z1軸方向的平動自由度和繞 X， Y， Z軸

111的轉(zhuǎn)動自由度 Rx1、 Ry1、 Rz1。對裝配→過程中目標(biāo)零件自由度的分析就轉(zhuǎn)變?yōu)榉治?i1、 →j1、 k→1和 Rx1、 Ry1、 Rz1這 6個由自由度構(gòu)成的矢量相對基坐標(biāo)系的位置關(guān)系。

圖2 自由度空間坐標(biāo)系

2.2 面+面約束和自由度關(guān)系的分析與計算

表2 面+面約束和自由度關(guān)系

表3 A1、A2和A3邏輯與運算

2.3 線+線約束和自由度關(guān)系的分析和計算

表4 線+線約束和自由度關(guān)系

表5 B1、B2和B3邏輯與運算

3 復(fù)合約束條件和自由度關(guān)系的實例分析計算

下面以螺釘和板的裝配關(guān)系為例說明，將螺釘裝入板上的孔中，采用線+線和面+面的聯(lián)合約束方式對螺釘?shù)淖杂啥冗M(jìn)行分析。

使用軸對齊方式使螺釘?shù)妮S線和孔的軸線對齊，建立如圖3所示的自由度空間坐標(biāo)系，目標(biāo)零件的軸線方向向量為孔的軸線的方向向量為，根據(jù)表4中可得到如圖3所示的結(jié)果，圖3中的紅色×符號表示目標(biāo)零件螺釘?shù)淖浴啥缺幌拗谱?，螺釘只剩下兩個自由度，即和 Rz1（一個平動自由度和一個轉(zhuǎn)動自由度），得到的邏輯值為B3=001001。

圖3 軸對齊約束方式

使用平面貼合約束方式使螺釘?shù)南卤砻婧桶宓纳媳砻嫦噘N合，如圖4所示建立自由度空間坐 根k→1據(jù)，標(biāo) 表作系 為，2基中目體標(biāo)(的零 ，板件的螺)上 ，釘表可下面得表的到面方如的向圖方向4向量所向為示量的，為結(jié)果，圖中螺釘處有紅色×符號的 3個自由度被限制，只剩下 、 和 Rz13個方向的自由度，得到的邏輯值為A3=110001。

圖4 平面貼合約束方式

通過軸對齊和平面貼合的復(fù)合約束方式，得到的螺釘?shù)淖杂啥热鐖D5所示，螺釘只剩下Rz1方向的自由度，而采用邏輯值直接進(jìn)行與運算可得A3·B3=000001，結(jié)果中的1表示的是 Rz1方向的自由度，與實際復(fù)合約束結(jié)果一致。

裝配過程中，為使得螺釘完全被約束，自由度為零，還需要利用其他平面的約束方式，使得 Rz1方向的自由度被限制，但是由于目標(biāo)零件的裝配已經(jīng)達(dá)到基本要求，就沒必要再重新構(gòu)建平面，新建約束。對于欠約束，系統(tǒng)可以向用戶彈出一個提醒對話框，告知約束不足，同時系統(tǒng)可通過邏輯值的運算，進(jìn)行(，)或(，)操作，使得邏輯值為 000000，這樣目標(biāo)零件螺釘被完全約束，自由度為零。

圖5 復(fù)合約束方式

4 結(jié) 論

約束條件和自由度之間存在內(nèi)在聯(lián)系，通過建立基體和目標(biāo)零件的自由度空間坐標(biāo)系，對約束條件和自由度關(guān)系進(jìn)行分析，得到約束條件和自由度關(guān)系的邏輯值，邏輯值中1的個數(shù)和位置決定了目標(biāo)零件的自由度的個數(shù)和具體類型。在裝配過程中，通過控制或來控制目標(biāo)零件的自由度，使邏輯值為000000，目標(biāo)零件自由度變?yōu)榱?，目?biāo)零件被完全約束，這為快速解決欠約束問題提供了一種有效途徑。

[1] 陳萬領(lǐng), 嚴(yán)曉光, 陳卓寧, 賓鴻贊. 面向三維 CAD的裝配順序建模系統(tǒng)研究[J]. 中國機(jī)械工程, 2005, 16(20): 1839-1842.

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[3] 張紅哲, 侯文彬, 胡 平, 李運興. 模具裝配中求解約束的自由度分析算法[J]. 機(jī)械設(shè)計與制造, 2003, (1): 38-39.

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[5] 張 翀, 周經(jīng)野, 韓忠愿. 基于自由度分析的裝配體約束求解[J]. 湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2006, 28(1): 41-45.

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Resolution of Under-Constraint Problem Based on DOF Analysis During Assembly Process

Wang Lang, Zhang Jingying, Yang Wei, Fan Qiong
(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China )

Assembly is an important part in the process of mechanical manufacturing. Under-constraint often exists in the assembly process. If a part is in an under-constraint situation during a large and complex assembly process, it will bring an unexpected result to the related parts which take the surface of the part as constraint reference. To solve the under-constraint problem, the relationship between degrees of freedom (DOF) and constraints is established by building space coordinate system. Logical values can be obtained from the tables. The numbers and types of DOF are determined by logical values, and it provides a quick method to solve the under-constraint problem.

under-constraint; DOF analysis; logical value; assembly; space coordinate system

TP 391.72

A

2095-302X (2014)02-0226-04

2013-04-18；定稿日期：2013-06-13

王 浪（1989-），男，湖北武漢人，碩士研究生。主要研究方向為機(jī)械設(shè)計。E-mail：603787864@qq.com